La descripción de las fuerzas estáticas mediante partículas virtuales permite identificar la forma espacial de las fuerzas, como el comportamiento del cuadrado inverso en la ley de gravitación universal de Newton y en la ley de Coulomb . También permite predecir si las fuerzas son atractivas o repulsivas para cuerpos similares.
La formulación de la integral de trayectoria es el lenguaje natural para describir los portadores de fuerza. Este artículo utiliza la formulación de la integral de trayectoria para describir los portadores de fuerza para campos de espín 0, 1 y 2. Los piones , los fotones y los gravitones se incluyen en estas categorías respectivas.
La validez de la imagen de la partícula virtual tiene límites. La formulación de la partícula virtual se deriva de un método conocido como teoría de perturbaciones , que es una aproximación que supone que las interacciones no son demasiado fuertes, y fue pensada para problemas de dispersión, no para estados ligados como los átomos. Para la fuerza fuerte que une a los quarks en nucleones a bajas energías, la teoría de perturbaciones nunca ha demostrado que dé resultados acordes con los experimentos [3] , por lo que la validez de la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas" es cuestionable. De manera similar, para los estados ligados el método falla [4] . En estos casos, la interpretación física debe ser reexaminada. Como ejemplo, los cálculos de la estructura atómica en física atómica o de la estructura molecular en química cuántica no podrían repetirse fácilmente, si es que se pueden repetir, utilizando la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas". [ cita requerida ]
El uso de la imagen de la "partícula mediadora de fuerza" (FMPP) es innecesario en la mecánica cuántica no relativista , y la ley de Coulomb se utiliza tal como se da en la física atómica y la química cuántica para calcular estados ligados y de dispersión. Una teoría cuántica relativista no perturbativa , en la que se conserva la invariancia de Lorentz, se puede lograr evaluando la ley de Coulomb como una interacción de 4 espacios utilizando el vector de posición de 3 espacios de un electrón de referencia que obedece la ecuación de Dirac y la trayectoria cuántica de un segundo electrón que depende solo del tiempo escalado. La trayectoria cuántica de cada electrón en un conjunto se infiere de la corriente de Dirac para cada electrón al establecerla igual a un campo de velocidad por una densidad cuántica, calculando un campo de posición a partir de la integral de tiempo del campo de velocidad y, finalmente, calculando una trayectoria cuántica a partir del valor esperado del campo de posición. Las trayectorias cuánticas dependen, por supuesto, del espín, y la teoría se puede validar comprobando que se cumple el principio de exclusión de Pauli para una colección de fermiones .
Fuerzas clásicas
La fuerza ejercida por una masa sobre otra y la fuerza ejercida por una carga sobre otra son sorprendentemente similares. Ambas se reducen al cuadrado de la distancia entre los cuerpos. Ambas son proporcionales al producto de las propiedades de los cuerpos: la masa en el caso de la gravitación y la carga en el caso de la electrostática.
También tienen una diferencia sorprendente: dos masas se atraen, mientras que dos cargas iguales se repelen.
En ambos casos, los cuerpos parecen actuar entre sí a distancia. El concepto de campo se inventó para mediar la interacción entre los cuerpos, eliminando así la necesidad de acción a distancia . La fuerza gravitatoria está mediada por el campo gravitatorio y la fuerza de Coulomb está mediada por el campo electromagnético .
La fuerza también se puede escribir
donde es el campo gravitacional descrito por la ecuación de campo,
donde es la densidad de masa en cada punto del espacio.
En la teoría de perturbaciones, las fuerzas se generan mediante el intercambio de partículas virtuales . La mecánica del intercambio de partículas virtuales se describe mejor con la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica. Sin embargo, se pueden obtener algunas ideas sin entrar en el mecanismo de las integrales de trayectorias, como por ejemplo por qué las fuerzas gravitacionales y electrostáticas clásicas disminuyen como el cuadrado inverso de la distancia entre los cuerpos.
Formulación de la integral de trayectorias del intercambio de partículas virtuales
Una partícula virtual se crea por una perturbación del estado de vacío y se destruye cuando es absorbida nuevamente por el estado de vacío por otra perturbación. Se supone que las perturbaciones se deben a cuerpos que interactúan con el campo de la partícula virtual.
Amplitud de probabilidad
Usando unidades naturales , , la amplitud de probabilidad para la creación, propagación y destrucción de una partícula virtual se da, en la formulación de la integral de trayectoria por
donde es el operador hamiltoniano , es el tiempo transcurrido, es el cambio de energía debido a la perturbación, es el cambio en la acción debido a la perturbación, es el campo de la partícula virtual, la integral es sobre todas las trayectorias, y la acción clásica está dada por
donde es la densidad lagrangiana .
La integral de trayectoria a menudo se puede convertir a la forma
donde es un operador diferencial con y funciones del espacio-tiempo . El primer término del argumento representa la partícula libre y el segundo término representa la perturbación del campo proveniente de una fuente externa como una carga o una masa.
Suponemos que hay dos perturbaciones puntuales que representan dos cuerpos y que las perturbaciones son inmóviles y constantes en el tiempo. Las perturbaciones se pueden escribir
donde las funciones delta están en el espacio, las perturbaciones se ubican en y , y los coeficientes y son las intensidades de las perturbaciones.
Si descuidamos las autointeracciones de las perturbaciones, entonces W se convierte en
que se puede escribir
Aquí está la transformada de Fourier de
Finalmente, el cambio de energía debido a las perturbaciones estáticas del vacío es
Si esta cantidad es negativa, la fuerza es atractiva. Si es positiva, la fuerza es repulsiva.
Ejemplos de corrientes estáticas, inmóviles e interactuantes son el potencial de Yukawa, el potencial de Coulomb en el vacío y el potencial de Coulomb en un plasma simple o un gas de electrones.
La expresión de la energía de interacción se puede generalizar a la situación en la que las partículas puntuales se mueven, pero el movimiento es lento en comparación con la velocidad de la luz. Ejemplos de ello son la interacción de Darwin en el vacío y en un plasma.
Finalmente, la expresión para la energía de interacción puede generalizarse a situaciones en las que las perturbaciones no son partículas puntuales, sino posiblemente cargas lineales, tubos de cargas o vórtices de corriente. Algunos ejemplos incluyen: dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones, potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético y la interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma o gas de electrones simple. Como se ve en el ejemplo de interacción de Coulomb entre tubos de carga, que se muestra a continuación, estas geometrías más complicadas pueden conducir a fenómenos tan exóticos como los números cuánticos fraccionarios .
Ejemplos seleccionados
Potencial de Yukawa: la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico
Considere la densidad lagrangiana de espín -0 [2] : 21–29
Yukawa propuso que este campo describe la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico, lo que le permitió predecir tanto el alcance como la masa de la partícula, ahora conocida como pión , asociada a este campo.
Además, suponemos que la perturbación solo tiene un componente temporal . En lenguaje corriente, esto significa que hay una carga en los puntos de perturbación, pero no hay corrientes eléctricas.
Si seguimos el mismo procedimiento que hicimos con el potencial Yukawa encontramos lo
que implica
y
Esto da como resultado
el propagador temporal
que tiene el signo opuesto al caso de Yukawa.
Por lo tanto, la energía se reduce a la energía potencial de la fuerza de Coulomb y los coeficientes y son proporcionales a la carga eléctrica. A diferencia del caso de Yukawa, los cuerpos iguales, en este caso electrostático, se repelen entre sí.
Potencial de Coulomb en un plasma simple o gas de electrones
Para frecuencias bajas, la relación de dispersión se convierte
en donde
es el número de Debye, que es el inverso de la longitud de Debye . Esto sugiere que el propagador es
De hecho, si no se descuidan los efectos de retardo, entonces la relación de dispersión es
que efectivamente produce el propagador supuesto. Este propagador es el mismo que el propagador masivo de Coulomb con la masa igual a la longitud de Debye inversa. La energía de interacción es, por lo tanto,
El potencial de Coulomb se apantalla en escalas de longitud de una longitud de Debye.
Esta expresión se puede derivar del potencial químico de un gas de electrones y de la ecuación de Poisson . El potencial químico de un gas de electrones cerca del equilibrio es constante y está dado por
donde es el potencial eléctrico . Linealizando la energía de Fermi al primer orden en la fluctuación de densidad y combinándola con la ecuación de Poisson se obtiene la longitud de apantallamiento. El portador de fuerza es la versión cuántica de la onda de plasma .
Dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones
Consideramos una línea de carga con eje en la dirección z incrustada en un gas de electrones
donde es la distancia en el plano xy desde la línea de carga, es el ancho del material en la dirección z. El superíndice 2 indica que la función delta de Dirac es bidimensional. El propagador es
donde es la longitud de apantallamiento inversa de Debye-Hückel o la longitud de apantallamiento inversa de Thomas-Fermi .
Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente inmersos en un campo magnético
Energía de interacción para vórtices
Consideramos una densidad de carga en un tubo con eje a lo largo de un campo magnético incrustado en un gas de electrones
donde es la distancia desde el centro guía , es el ancho del material en la dirección del campo magnético
donde la frecuencia del ciclotrón es ( unidades gaussianas )
y
es la velocidad de la partícula alrededor del campo magnético, y B es la magnitud del campo magnético. La fórmula de velocidad proviene de establecer la energía cinética clásica igual al espaciamiento entre los niveles de Landau en el tratamiento cuántico de una partícula cargada en un campo magnético.
En esta geometría, la energía de interacción se puede escribir
donde es la distancia entre los centros de los bucles de corriente y es una función de Bessel de primera especie. Para obtener la energía de interacción, utilizamos la integral
Campo eléctrico debido a una perturbación de densidad
El potencial químico cerca del equilibrio, está dado por
donde es la energía potencial de un electrón en un potencial eléctrico y y son el número de partículas en el gas de electrones en ausencia y en presencia de un potencial electrostático, respectivamente.
La fluctuación de densidad es entonces
donde es el área del material en el plano perpendicular al campo magnético.
El propagador es entonces
y la energía de interacción se convierte
en donde en la segunda igualdad ( unidades gaussianas ) asumimos que los vórtices tenían la misma energía y la carga del electrón.
A diferencia de las corrientes clásicas, los bucles de corriente cuántica pueden tener varios valores del radio de Larmor para una energía dada. [7] : 187–190 Los niveles de Landau , los estados de energía de una partícula cargada en presencia de un campo magnético, son degenerados múltiples . Los bucles de corriente corresponden a estados de momento angular de la partícula cargada que pueden tener la misma energía. Específicamente, la densidad de carga alcanza su pico alrededor de radios de
donde es el número cuántico del momento angular . Cuando recuperamos la situación clásica en la que el electrón orbita el campo magnético en el radio de Larmor . Si las corrientes de dos momentos angulares y interactúan, y asumimos que las densidades de carga son funciones delta en el radio , entonces la energía de interacción es
La energía de interacción para se muestra en la Figura 1 para varios valores de . La energía para dos valores diferentes se muestra en la Figura 2.
Cuasipartículas
Para valores grandes de momento angular, la energía puede tener mínimos locales a distancias distintas de cero e infinito. Se puede verificar numéricamente que los mínimos ocurren en
Esto sugiere que el par de partículas que están unidas y separadas por una distancia actúan como una única cuasipartícula con momento angular .
Si escalamos las longitudes como , entonces la energía de interacción se convierte
en donde
El valor de la energía en el que es mínima, , es independiente de la relación . Sin embargo, el valor de la energía en el mínimo depende de la relación. El mínimo de energía más bajo ocurre cuando
Cuando la relación es distinta de 1, el mínimo de energía es mayor (Figura 3). Por lo tanto, para valores pares de momento total, la energía más baja se produce cuando (Figura 4)
o
donde el momento angular total se escribe como
Cuando el momento angular total es impar, los mínimos no pueden ocurrir para Los estados de energía más bajos para el momento angular total impar ocurren cuando
o
y
que también aparecen como series para el factor de llenado en el efecto Hall cuántico fraccional .
Densidad de carga distribuida a lo largo de una función de onda
La densidad de carga no está realmente concentrada en una función delta, sino que está distribuida en una función de onda. En ese caso, la densidad electrónica es [7] : 189
Al igual que con las cargas de función delta, el valor de en el que la energía es un mínimo local solo depende del momento angular total, no de los momentos angulares de las corrientes individuales. Además, al igual que con las cargas de función delta, la energía en el mínimo aumenta a medida que la relación de los momentos angulares varía de uno. Por lo tanto, las series
y
aparecen también en el caso de cargas distribuidas por la función de onda.
Una partícula cargada en movimiento puede generar un campo magnético que afecta el movimiento de otra partícula cargada. La versión estática de este efecto se denomina interacción de Darwin . Para calcularla, considere las corrientes eléctricas en el espacio generadas por una carga en movimiento
con una expresión comparable para .
La transformada de Fourier de esta corriente es
La corriente se puede descomponer en una parte transversal y una longitudinal (véase descomposición de Helmholtz ).
El sombrero indica un vector unitario . El último término desaparece porque
resulta de la conservación de la carga. Aquí se desvanece porque estamos considerando fuerzas estáticas.
Con la corriente en esta forma la energía de interacción se puede escribir
La ecuación del propagador para el Proca Lagrangiano es
La solución espacial es
que da como resultado
donde . La integral se evalúa como (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Potencial transversal con masa )
que se reduce a
en el límite de m pequeño . La energía de interacción es el negativo del lagrangiano de interacción. Para dos partículas similares que viajan en la misma dirección, la interacción es atractiva, que es lo opuesto a la interacción de Coulomb.
Interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o un gas de electrones
Energía de interacción
Consideremos un tubo de corriente que gira en un campo magnético incrustado en un plasma simple o gas de electrones. La corriente, que se encuentra en el plano perpendicular al campo magnético, se define como
donde
y es el vector unitario en la dirección del campo magnético. Aquí indica la dimensión del material en la dirección del campo magnético. La corriente transversal, perpendicular al vector de onda , impulsa la onda transversal .
La energía de interacción es
donde es la distancia entre los centros de los bucles de corriente y es una función de Bessel de primera especie. Para obtener la energía de interacción utilizamos las integrales
y
Aquí n es la densidad electrónica, e es la magnitud de la carga del electrón y m es la masa del electrón.
La energía de interacción se convierte, para corrientes similares, en
Límite de distancia pequeña entre bucles de corriente
En el límite en que la distancia entre los bucles de corriente es pequeña,
donde
y
e I y K son funciones de Bessel modificadas, hemos asumido que las dos corrientes tienen la misma carga y velocidad.
Para los casos de interés en el efecto Hall cuántico, es pequeño. En ese caso, la energía de interacción es
donde ( unidades gaussianas )
es la energía de interacción para el factor de llenado cero. Hemos establecido la energía cinética clásica en la energía cuántica.
Gravitación
Una perturbación gravitatoria es generada por el tensor de tensión-energía ; en consecuencia, el lagrangiano para el campo gravitatorio es espín -2. Si las perturbaciones están en reposo, entonces el único componente del tensor de tensión-energía que persiste es el componente . Si usamos el mismo truco de darle al gravitón cierta masa y luego llevar la masa a cero al final del cálculo, el propagador se convierte en
y
que una vez más es atractivo en lugar de repulsivo. Los coeficientes son proporcionales a las masas de las perturbaciones. En el límite de pequeña masa del gravitón, recuperamos el comportamiento del cuadrado inverso de la Ley de Newton. [2] : 32–37
Sin embargo, a diferencia del caso electrostático, tomar el límite de masa pequeña del bosón no arroja el resultado correcto. Un tratamiento más riguroso arroja un factor de uno en la energía en lugar de 4/3. [2] : 35
Referencias
^ Jaeger, Gregg (2019). "¿Son las partículas virtuales menos reales?". Entropy . 21 (2): 141. Bibcode :2019Entrp..21..141J. doi : 10.3390/e21020141 . PMC 7514619 . PMID 33266857.
^ abcde Zee, A. (2003). Teoría cuántica de campos en pocas palabras . Universidad de Princeton. ISBN0-691-01019-6.
^ "Grupo de Física de Altas Energías - Física Hadrónica". Archivado desde el original el 17 de julio de 2011. Consultado el 31 de agosto de 2010 .
^ "Teoría de perturbación independiente del tiempo". virginia.edu .
^ abcd Chen, Francis F. (1974). Introducción a la física del plasma . Plenum Press. ISBN0-306-30755-3.
^ ab Ezewa, Zyun F. (2008). Efecto Hall cuántico: enfoque teórico de campo y temas relacionados (segunda edición). World Scientific. ISBN978-981-270-032-2.