Niveles de Landau

Cuantización de órbitas de ciclotrones

En mecánica cuántica , las energías de las órbitas de ciclotrón de partículas cargadas en un campo magnético uniforme se cuantifican en valores discretos, conocidos como niveles de Landau . Estos niveles son degenerados , y el número de electrones por nivel es directamente proporcional a la fuerza del campo magnético aplicado. Recibe su nombre en honor al físico soviético Lev Landau . ^[1]

La cuantificación de Landau contribuye a la susceptibilidad magnética de los metales, conocida como diamagnetismo de Landau . Bajo campos magnéticos fuertes, la cuantificación de Landau conduce a oscilaciones en las propiedades electrónicas de los materiales en función del campo magnético aplicado, conocidas como efectos De Haas–Van Alphen y Shubnikov–de Haas .

La cuantificación de Landau es un ingrediente clave en la explicación del efecto Hall cuántico entero .

Derivación

Diagrama de una órbita ciclotrón de una partícula con velocidad v , que es la trayectoria clásica de una partícula cargada (aquí carga positiva) bajo un campo magnético uniforme B . La cuantificación de Landau se refiere a una partícula cargada cuántica bajo un campo magnético uniforme.

Consideremos un sistema de partículas que no interactúan, con carga q y espín S, confinadas en un área A = L _x L _y en el plano xy . Apliquemos un campo magnético uniforme a lo largo del eje z . En unidades del SI , el hamiltoniano de este sistema (aquí se descuidan los efectos del espín) es Aquí, es el operador de momento canónico y es el operador del potencial vectorial electromagnético (en el espacio de posición ). ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}.}$$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}}$ ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} }$

El potencial vectorial está relacionado con el campo magnético por ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} .}$

Existe cierta libertad de calibración en la elección del potencial vectorial para un campo magnético determinado. El hamiltoniano es invariante de calibración , lo que significa que al sumar el gradiente de un campo escalar a A, se modifica la fase general de la función de onda en una cantidad correspondiente al campo escalar. Pero las propiedades físicas no se ven influenciadas por la elección específica de la calibración.

En el calibre Landau

De las posibles soluciones para A , a menudo se utiliza una fijación de calibre introducida por Lev Landau para partículas cargadas en un campo magnético constante. ^[2]

¿Cuándo es entonces posible una solución ^[3] en el calibre de Landau? ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0\\B\cdot x\\0\end{pmatrix}}}$

En este calibre, el hamiltoniano es El operador conmuta con este hamiltoniano, ya que el operador ŷ está ausente por la elección del calibre. Por lo tanto, el operador puede reemplazarse por su valor propio ħk _y . Como no aparece en el hamiltoniano y solo el momento z aparece en la energía cinética, este movimiento a lo largo de la dirección z es un movimiento libre. $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

El hamiltoniano también se puede escribir de forma más sencilla observando que la frecuencia del ciclotrón es ω _c = qB / m , lo que da Este es exactamente el hamiltoniano para el oscilador armónico cuántico , excepto que el mínimo del potencial se desplaza en el espacio de coordenadas por x ₀ = ħk _y / mω _c . $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$

Para encontrar las energías, tenga en cuenta que la traducción del potencial del oscilador armónico no afecta las energías. Las energías de este sistema son, por tanto, idénticas a las del oscilador armónico cuántico estándar , ^[4] La energía no depende del número cuántico k _y , por lo que habrá un número finito de degeneraciones (si la partícula se coloca en un espacio no confinado, esta degeneración corresponderá a una secuencia continua de ). El valor de es continuo si la partícula no está confinada en la dirección z y discreto si la partícula también está acotada en la dirección z. Cada conjunto de funciones de onda con el mismo valor de n se denomina nivel de Landau . $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0~.}$$ ${\displaystyle p_{y}}$ ${\displaystyle p_{z}}$

En el caso de las funciones de onda, recordemos que conmuta con el hamiltoniano. Luego, la función de onda se factoriza en un producto de los estados propios del momento en la dirección y y los estados propios del oscilador armónico desplazados en una cantidad x ₀ en la dirección x : donde . En suma, el estado del electrón se caracteriza por los números cuánticos n , k _y y k _z . ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ $${\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})}$$ ${\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar }$

En el calibre simétrico

La derivación consideró que x e y son asimétricas. Sin embargo, debido a la simetría del sistema, no existe ninguna cantidad física que distinga estas coordenadas. Se podría haber obtenido el mismo resultado con un intercambio apropiado de x e y .

Una elección más adecuada de calibre, es el calibre simétrico, que se refiere a la elección $${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$$

En términos de longitudes y energías adimensionales, el hamiltoniano se puede expresar como $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$$

Las unidades correctas se pueden restaurar introduciendo los factores de y . ${\displaystyle q,\hbar ,\mathbf {B} }$ ${\displaystyle m}$

Considere operadores $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

Estos operadores siguen ciertas relaciones de conmutación $${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1.}$$

En términos de los operadores anteriores, el hamiltoniano se puede escribir como donde reintroducimos las unidades. $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right),}$$

El índice de nivel de Landau es el valor propio del operador . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

La aplicación de aumenta en una unidad mientras se conserva , mientras que la aplicación aumenta y disminuye simultáneamente en una unidad. La analogía con el oscilador armónico cuántico proporciona soluciones donde y ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle m_{z}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{z}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}|n,m_{z}\rangle =E_{n}|n,m_{z}\rangle ,}$$ $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle |n,m_{z}\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m_{z}+n}}{\sqrt {(m_{z}+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}$$

Se puede verificar que los estados anteriores corresponden a la elección de funciones de onda proporcionales a donde . $${\displaystyle \psi _{n,m_{z}}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}}$$ ${\displaystyle w=x-iy}$

En particular, el nivel de Landau más bajo consiste en funciones analíticas arbitrarias que multiplican una gaussiana, . ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$

Degeneración de los niveles de Landau

En el calibre Landau

Los efectos de los niveles de Landau solo pueden observarse cuando la energía térmica media kT es menor que la separación de niveles de energía, kT ≪ ħω _c , lo que significa bajas temperaturas y campos magnéticos fuertes.

Cada nivel de Landau está degenerado debido al segundo número cuántico k _y , que puede tomar los valores donde N es un entero. Los valores permitidos de N están además restringidos por la condición de que el centro de fuerza del oscilador, x ₀ , debe estar físicamente dentro del sistema, 0 ≤ x ₀ < L _x . Esto da el siguiente rango para N , $${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}},}$$ $${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{\rm {c}}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$$

Para partículas con carga q = Ze , el límite superior de N se puede escribir simplemente como una relación de flujos , donde Φ ₀ = h / e es el cuanto de flujo magnético fundamental y Φ = BA es el flujo a través del sistema (con área A = L _x L _y ). $${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(h/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$$

Así, para partículas con espín S , el número máximo D de partículas por nivel de Landau es que para los electrones (donde Z = 1 y S = 1/2 ) da D = 2Φ/Φ ₀ , dos estados disponibles para cada cuanto de flujo que penetra en el sistema. $${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~,}$$

Lo anterior sólo da una idea aproximada de los efectos de la geometría de tamaño finito. Estrictamente hablando, el uso de la solución estándar del oscilador armónico sólo es válido para sistemas no acotados en la dirección x (franjas infinitas). Si el tamaño L _x es finito, las condiciones de contorno en esa dirección dan lugar a condiciones de cuantificación no estándar en el campo magnético, que involucran (en principio) ambas soluciones de la ecuación de Hermite. El llenado de estos niveles con muchos electrones sigue siendo ^[5] un área activa de investigación.

En general, los niveles de Landau se observan en los sistemas electrónicos. A medida que aumenta el campo magnético, cada vez más electrones pueden caber en un nivel de Landau determinado. La ocupación del nivel de Landau más alto varía de completamente lleno a completamente vacío, lo que da lugar a oscilaciones en varias propiedades electrónicas (véase el efecto De Haas-Van Alphen y el efecto Shubnikov-de Haas ).

Si se incluye la división de Zeeman , cada nivel de Landau se divide en un par, uno para los electrones de espín hacia arriba y el otro para los electrones de espín hacia abajo. Entonces, la ocupación de cada nivel de Landau de espín es simplemente la relación de flujos D = Φ/Φ ₀ . La división de Zeeman tiene un efecto significativo en los niveles de Landau porque sus escalas de energía son las mismas, 2 μ _B B = ħω _c . Sin embargo, la energía de Fermi y la energía del estado fundamental permanecen aproximadamente iguales en un sistema con muchos niveles llenos, ya que los pares de niveles de energía divididos se cancelan entre sí cuando se suman.

Además, la derivación anterior en el calibre de Landau supuso un electrón confinado en la dirección z , que es una situación experimental relevante, que se encuentra en gases de electrones bidimensionales, por ejemplo. Aún así, esta suposición no es esencial para los resultados. Si los electrones son libres de moverse a lo largo de la dirección z , la función de onda adquiere un término multiplicativo adicional exp( ik _z z ) ; la energía correspondiente a este movimiento libre, ( ħ k _z ) ² /(2 m ) , se agrega a la E analizada. Este término luego completa la separación en energía de los diferentes niveles de Landau, desdibujando el efecto de la cuantificación. Sin embargo, el movimiento en el plano x - y , perpendicular al campo magnético, todavía está cuantificado.

En el calibre simétrico

Cada nivel de Landau tiene orbitales degenerados etiquetados por los números cuánticos en calibre simétrico. La degeneración por unidad de área es la misma en cada nivel de Landau. ${\displaystyle m_{z}}$

El componente z del momento angular es $${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$$

Aprovechando la propiedad, elegimos funciones propias que diagonalizan y , El valor propio de se denota por , donde es claro que en el nivel de Landau . Sin embargo, puede ser arbitrariamente grande, lo cual es necesario para obtener la degeneración infinita (o degeneración finita por unidad de área) exhibida por el sistema. ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ ${\displaystyle -m_{z}\hbar }$ ${\displaystyle m_{z}\geq -n}$ ${\displaystyle n}$

Caso relativista

Niveles de Landau en grafeno . Los portadores de carga en el grafeno se comportan como partículas de Dirac relativistas sin masa.

Un electrón que sigue la ecuación de Dirac bajo un campo magnético constante, se puede resolver analíticamente. ^{[6] [7]} Las energías están dadas por $${\displaystyle E_{\rm {rel}}=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \omega _{\rm {c}}mc^{2}}}}$$

donde c es la velocidad de la luz, el signo depende del componente partícula-antipartícula y ν es un entero no negativo. Debido al espín, todos los niveles son degenerados excepto el estado fundamental en ν = 0 .

El caso 2D sin masa se puede simular en materiales de una sola capa como el grafeno cerca de los conos de Dirac , donde las energías propias están dadas por ^[8] donde la velocidad de la luz debe reemplazarse con la velocidad de Fermi v _F del material y el signo menos corresponde a los huecos de electrones . $${\displaystyle E_{\rm {graphene}}=\pm {\sqrt {2\nu \hbar eBv_{\rm {F}}^{2}}}}$$

Susceptibilidad magnética de un gas de Fermi

El gas de Fermi (un conjunto de fermiones que no interactúan ) es parte de la base para comprender las propiedades termodinámicas de los metales. En 1930, Landau derivó una estimación de la susceptibilidad magnética de un gas de Fermi, conocida como susceptibilidad de Landau , que es constante para campos magnéticos pequeños. Landau también notó que la susceptibilidad oscila con alta frecuencia para campos magnéticos grandes, ^[9] este fenómeno físico se conoce como el efecto De Haas-Van Alphen .

Red bidimensional

Se sabe que el espectro de energía de enlace estrecho de partículas cargadas en una red infinita bidimensional es autosimilar y fractal , como se demuestra en la mariposa de Hofstadter . Para una relación entera del cuanto de flujo magnético y el flujo magnético a través de una celda de red, se recuperan los niveles de Landau para números enteros grandes. ^[10]

Efecto Hall cuántico entero

El espectro de energía del semiconductor en un campo magnético intenso forma niveles de Landau que pueden etiquetarse mediante índices enteros. Además, la resistividad de Hall también exhibe niveles discretos etiquetados mediante un entero ν . El hecho de que estas dos cantidades estén relacionadas se puede mostrar de diferentes maneras, pero se puede ver más fácilmente a partir del modelo de Drude : la conductividad de Hall depende de la densidad electrónica n como

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {B}{ne}}.}$

Dado que la meseta de resistividad está dada por

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {2\pi \hbar }{e^{2}}}{\frac {1}{\nu }},}$

La densidad requerida es

${\displaystyle n={\frac {B}{\Phi _{0}}}\nu ,}$

que es exactamente la densidad necesaria para llenar el nivel de Landau. La brecha entre los diferentes niveles de Landau junto con la gran degeneración de cada nivel hace que la resistividad esté cuantizada.

Véase también

• Función de onda de Laughlin

Referencias

1. Landau, L. (1930). "Dimagnetismus der Metalle" [Diamagnetismo de los metales]. Zeitschrift für Physik (en alemán). 64 (9-10). Springer Science y Business Media LLC: 629–637. Código Bib : 1930ZPhy...64..629L. doi :10.1007/bf01397213. ISSN  1434-6001. S2CID  123206025.
2. "Carga en campo magnético" (PDF) . courses.physics.illinois.edu . Consultado el 11 de marzo de 2023 .
3. Una solución igualmente correcta en el calibre Landau sería: . ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-By&0&0\end{pmatrix}}^{T}}$
4. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista (3.ª ed.). Ámsterdam: Butterworth Heinemann. pp. 424–426. ISBN 978-0-7506-3539-4.OCLC 846962062  .
5. Mikhailov, SA (2001). "Un nuevo enfoque para el estado fundamental de los sistemas Hall cuánticos. Principios básicos". Physica B: Condensed Matter . 299 (1–2): 6–31. arXiv : cond-mat/0008227 . Código Bibliográfico :2001PhyB..299....6M. doi :10.1016/S0921-4526(00)00769-9. S2CID  118500817.
6. Rabí, II (1928). "Das freie Elektron im homogenen Magnetfeld nach der Diracschen Theorie". Zeitschrift für Physik (en alemán). 49 (7–8): 507–511. Código Bib : 1928ZPhy...49..507R. doi :10.1007/BF01333634. ISSN  1434-6001. S2CID  121121095.
7. Berestetskii, VB; Pitaevskii, LP; Lifshitz, EM (2 de diciembre de 2012). Electrodinámica cuántica: volumen 4. Elsevier. ISBN 978-0-08-050346-2.
8. Yin, Long-Jing; Bai, Ke-Ke; Wang, Wen-Xiao; Li, Si-Yu; Zhang, Yu; He, Lin (2017). "Cuantización de Landau de fermiones de Dirac en grafeno y sus multicapas". Frontiers of Physics . 12 (4): 127208. arXiv : 1703.04241 . Bibcode :2017FrPhy..12l7208Y. doi : 10.1007/s11467-017-0655-0 . ISSN  2095-0462.
9. Landau, LD; Lifshitz, EM (22 de octubre de 2013). Física estadística: volumen 5. Elsevier. pág. 177. ISBN 978-0-08-057046-4.
10. Analytis, James G.; Blundell, Stephen J.; Ardavan, Arzhang (mayo de 2004). "Niveles de Landau, orbitales moleculares y la mariposa de Hofstadter en sistemas finitos". American Journal of Physics . 72 (5): 613–618. Bibcode :2004AmJPh..72..613A. doi :10.1119/1.1615568. ISSN  0002-9505.

Enlaces externos

• Lev Landau (1930). "Dimagnetismus der Metalle" (PDF) (en alemán).{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)

Lectura adicional

• Landau, LD; y Lifschitz, EM; (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista. Curso de física teórica . Vol. 3 (3.ª ed. Londres: Pergamon Press). ISBN 0750635398 .