Trigonometría generalizada

Study of triangles in other spaces than the Euclidean plane

La trigonometría ordinaria estudia los triángulos en el plano euclidiano . Hay ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ varias formas de definir las funciones trigonométricas geométricas euclidianas ordinarias en números reales , por ejemplo , definiciones de triángulos rectángulos , definiciones de círculos unitarios , definiciones de series ^{[ ancla rota ]} , definiciones mediante ecuaciones diferenciales ^{[ ancla rota ]} y definiciones mediante ecuaciones funcionales . Las generalizaciones de funciones trigonométricas a menudo se desarrollan comenzando con uno de los métodos anteriores y adaptándolo a una situación distinta a los números reales de la geometría euclidiana. En general, la trigonometría puede ser el estudio de triples de puntos en cualquier tipo de geometría o espacio . Un triángulo es el polígono con el menor número de vértices, por lo que una dirección para generalizar es estudiar análogos de ángulos y polígonos de dimensiones superiores: ángulos sólidos y politopos como tetraedros y n -símplices .

Trigonometría

• En trigonometría esférica se estudian los triángulos que se encuentran en la superficie de una esfera . Las identidades de los triángulos esféricos se escriben en términos de funciones trigonométricas ordinarias, pero difieren de las identidades de los triángulos planos .
• Trigonometría hiperbólica:
  1. Estudio de triángulos hiperbólicos en geometría hiperbólica con funciones hiperbólicas .
  2. Funciones hiperbólicas en geometría euclidiana: el círculo unitario está parametrizado por (cos  t , sin  t ) mientras que la hipérbola equilátera está parametrizada por (cosh  t , sinh  t ).
  3. Girotrigonometría : Una forma de trigonometría utilizada en el enfoque del espacio girovectorial para la geometría hiperbólica , con aplicaciones a la relatividad especial y la computación cuántica .
• Trigonometría para la geometría del taxi ^[1]
• Trigonometrías del espacio-tiempo ^[2]
• Trigonometría cualitativa difusa ^[3]
• Trigonometría de operadores ^[4]
• Trigonometría reticular ^[5]
• Trigonometría en espacios simétricos ^{[6] [7] [8]}

Dimensiones superiores

• Ortoesquemas de Schläfli - símplex rectángulos (triángulos rectángulos generalizados a n dimensiones) - estudiados por Schoute quien llamó poligonometría a la trigonometría generalizada de n dimensiones euclidianas .
  • Teoremas de Pitágoras para n -símplices con un "ángulo ortogonal"
• Trigonometría de un tetraedro ^[9]
  • Teorema de De Gua : un teorema de Pitágoras para un tetraedro con un cubo en la esquina
  • Una ley de senos para tetraedros
• Seno polar

Funciones trigonométricas

• Se pueden definir funciones trigonométricas para ecuaciones diferenciales fraccionarias . ^[10]

• En el cálculo de escalas temporales , las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones de diferencia se unifican en ecuaciones dinámicas en escalas temporales, que también incluyen ecuaciones de diferencia q . Las funciones trigonométricas se pueden definir en una escala temporal arbitraria (un subconjunto de los números reales).
• Las definiciones de series ^{[ ancla rota ]} de seno y coseno definen estas funciones en cualquier álgebra donde las series convergen , como números complejos ^{[ ancla rota ]} , números p -ádicos , matrices y varias álgebras de Banach .

Otro

• Formas polares/trigonométricas de números hipercomplejos ^{[11] [12]}
• Poligonometría : identidades trigonométricas para múltiples ángulos distintos ^[13]
• Las funciones elípticas lemniscatas , sinlem y coslem

Véase también

• El teorema de Pitágoras en geometría no euclidiana

Referencias

1. Thompson, K.; Dray, T. (2000), "Ángulos y trigonometría de taxis" (PDF) , Pi Mu Epsilon Journal , 11 (2): 87–96, arXiv : 1101.2917 , Bibcode :2011arXiv1101.2917T
2. Herranz, Francisco J.; Ortega, Ramón; Santander, Mariano (2000), "Trigonometría de espaciotiempos: un nuevo enfoque autodual para una trigonometría (in)dependiente de la curvatura/firma", Journal of Physics A , 33 (24): 4525–4551, arXiv : math-ph/9910041 , Bibcode :2000JPhA...33.4525H, doi :10.1088/0305-4470/33/24/309, MR  1768742, S2CID  15313035
3. Liu, Honghai; Coghill, George M. (2005), "Trigonometría cualitativa difusa", Conferencia internacional IEEE de 2005 sobre sistemas, hombre y cibernética (PDF) , vol. 2, págs. 1291–1296, archivado desde el original (PDF) el 25 de julio de 2011
4. Gustafson, KE (1999), "Una trigonometría computacional y contribuciones relacionadas de los rusos Kantorovich, Krein, Kaporin", Вычислительные технологии , 4 (3): 73–83
5. Karpenkov, Oleg (2008), "Nociones elementales de trigonometría reticular", Mathematica Scandinavica , 102 (2): 161–205, arXiv : math/0604129 , doi :10.7146/math.scand.a-15058, MR  2437186, S2CID  49911437
6. Aslaksen, Helmer; Huynh, Hsueh-Ling (1997), "Leyes de trigonometría en espacios simétricos", Geometry from the Pacific Rim (Singapur, 1994) , Berlín: de Gruyter, págs. 23–36, CiteSeerX 10.1.1.160.1580 , MR  1468236 
7. Leuzinger, Enrico (1992), "Sobre la trigonometría de espacios simétricos", Commentarii Mathematici Helvetici , 67 (2): 252–286, doi :10.1007/BF02566499, MR  1161284, S2CID  123684622
8. Masala, G. (1999), "Triángulos regulares y triángulos isoclínicos en las variedades de Grassmann G ₂ ( R ^N ) ", Rendiconti del Seminario Matematico Università e Politecnico di Torino , 57 (2): 91–104, MR  1974445
9. Richardson, G. (1 de marzo de 1902). "La trigonometría del tetraedro". The Mathematical Gazette . 2 (32): 149–158. doi :10.2307/3603090. JSTOR  3603090. S2CID  125115660.
10. West, Bruce J.; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003), Física de operadores fractales , Institute for Nonlinear Science, Nueva York: Springer-Verlag, p. 101, doi :10.1007/978-0-387-21746-8, ISBN 0-387-95554-2, Sr.  1988873
11. Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (2004), "Geometría de números complejos generalizados", Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129, doi :10.1080/0025570X.2004.11953236, JSTOR  3219099, MR  1573734, S2CID  7837108
12. Yamaleev, Robert M. (2005), "Álgebras complejas sobre polinomios de orden n y generalizaciones de trigonometría, modelo de oscilador y dinámica de Hamilton" (PDF) , Advances in Applied Clifford Algebras , 15 (1): 123–150, doi :10.1007/s00006-005-0007-y, MR  2236628, S2CID  121144869, archivado desde el original (PDF) el 2011-07-22
13. Antippa, Adel F. (2003), "La estructura combinatoria de la trigonometría" (PDF) , Revista internacional de matemáticas y ciencias matemáticas , 2003 (8): 475–500, doi : 10.1155/S0161171203106230 , MR  1967890