Diámetros conjugados

Diámetros perpendiculares de un círculo o diámetros hiperbólicos-ortogonales de una hipérbola

En geometría , se dice que dos diámetros de una sección cónica son conjugados si cada cuerda paralela a un diámetro es bisecada por el otro diámetro. Por ejemplo, dos diámetros de un círculo son conjugados si y solo si son perpendiculares .

De elipse

Dos diámetros conjugados de una elipse . Cada borde del paralelogramo delimitador es paralelo a uno de los diámetros.

Para una elipse , dos diámetros son conjugados si y solo si la línea tangente a la elipse en un punto final de un diámetro es paralela al otro diámetro. Cada par de diámetros conjugados de una elipse tiene un paralelogramo tangente correspondiente , a veces llamado paralelogramo límite (sesgado en comparación con un rectángulo límite ). En su manuscrito De motu corporum in gyrum , y en los ' Principia ', Isaac Newton cita como lema probado por autores anteriores que todos los paralelogramos (limitantes) para una elipse dada tienen la misma área .

Es posible reconstruir una elipse a partir de cualquier par de diámetros conjugados, o a partir de cualquier paralelogramo límite. Por ejemplo, en la proposición 14 del Libro VIII de su Colección , Pappus de Alejandría da un método para construir los ejes de una elipse a partir de un par dado de diámetros conjugados. Otro método es utilizar la construcción de Rytz , que aprovecha el teorema de Tales para encontrar las direcciones y longitudes de los ejes mayor y menor de una elipse independientemente de su rotación o cizallamiento .

En geometría analítica , si dejamos que los vectores de los dos semidiámetros conjugados sean , entonces la elipse está parametrizada por ya que varía en . ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$ ${\displaystyle \cos \theta {\vec {a}}+\sin \theta {\vec {b}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

De hipérbola

Para cualquier φ, los diámetros indicados de los círculos e hipérbolas son conjugados.

De manera similar al caso elíptico, los diámetros de una hipérbola son conjugados cuando cada uno biseca todas las cuerdas paralelas a la otra. ^[1] En este caso, tanto la hipérbola como su conjugado son fuentes de las cuerdas y los diámetros.

Apolonio de Perge dio la siguiente construcción de diámetros conjugados, dada la hipérbola conjugada : "Si Q es cualquier punto de una hipérbola y CE se dibuja desde el centro paralelo a la tangente en Q para encontrarse con la hipérbola conjugada en E, entonces (1) la tangente en E será paralela a CQ y (2) CQ y CE serán diámetros conjugados". ^[2]

En geometría analítica , si dejamos que los vectores de los dos semidiámetros conjugados sean , entonces la hipérbola está parametrizada por como varía en . ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$ ${\displaystyle \cosh \theta {\vec {a}}+\sinh \theta {\vec {b}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En el caso de una hipérbola rectangular, su conjugado es la reflexión en una asíntota . El diámetro de una hipérbola es conjugado con su reflexión en la asíntota, que es el diámetro de la otra hipérbola. Así como la perpendicularidad es la relación de los diámetros conjugados de un círculo, la ortogonalidad hiperbólica es la relación de los diámetros conjugados de las hipérbolas rectangulares.

La colocación de tirantes que refuerzan un conjunto cuadrado de vigas está guiada por la relación de diámetros conjugados en un libro sobre geometría analítica . ^[3]

Los diámetros conjugados de hipérbolas también son útiles para enunciar el principio de relatividad en la física moderna del espacio-tiempo . El concepto de relatividad se introduce por primera vez en un plano que consta de una única dimensión en el espacio , siendo la segunda dimensión el tiempo . En dicho plano, una hipérbola corresponde a eventos que se encuentran a un intervalo constante de tipo espacial desde el evento de origen, la otra hipérbola corresponde a eventos que se encuentran a un intervalo constante de tipo temporal desde él. El principio de relatividad se puede formular como "Cualquier par de diámetros conjugados de hipérbolas conjugadas se puede tomar como los ejes del espacio y el tiempo". Esta interpretación de la relatividad fue enunciada por ET Whittaker en 1910. ^[4]

En geometría proyectiva

Toda línea en geometría proyectiva contiene un punto en el infinito , también llamado punto figurativo . La elipse, la parábola y la hipérbola se consideran cónicas en geometría proyectiva, y cada cónica determina una relación de polo y polar entre puntos y líneas. Usando estos conceptos, "dos diámetros son conjugados cuando cada uno es el polar del punto figurativo del otro". ^[5]

Sólo uno de los diámetros conjugados de una hipérbola corta la curva.

La noción de separación de pares de puntos distingue una elipse de una hipérbola: en la elipse, cada par de diámetros conjugados separa a todos los demás pares. En una hipérbola, un par de diámetros conjugados nunca separa a otro par de diámetros conjugados.

Referencias

1. España, Barry (1957). Cónicas analíticas. Serie internacional de monografías sobre matemáticas puras y aplicadas. v.3. Nueva York: Pergamon Press. p. 49.
2. Thomas Heath (1896) Apolonio de Perga: Tratado sobre secciones cónicas , página 64
3. Osgood, William F.; Graustein, William C. (1921). Geometría analítica plana y sólida. Nueva York: The Macmillan Company. pág. 307.
4. Whittaker, ET (1910). Una historia de las teorías del éter y la electricidad (1.ª ed.). Dublín: Longman, Green and Co., pág. 441.
5. GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , n.° 135, n.° 141

Lectura adicional

• Chasles, Michel (1865). "Diámetros conjugados". Traité dessections coniques, es decir, partie. faisant suite autreatment de géométrie supérieure (en francés). París: Gauthier-Villars. págs. 116-23.

• WK Clifford (1878) Elementos de dinámica, página 90, enlace de HathiTrust .

• Coxeter, HSM (1955). El plano proyectivo real (2.ª ed.). Cambridge University Press . pp. 130–5.

• Salmon, George (1900). Tratado sobre secciones cónicas. Londres: Longmans, Green & Co., pág. 165.

Enlaces externos

• "Diámetros conjugados en elipse". cut-the-knot.org .
• Besant, WH (1895). "Propiedades de los diámetros conjugados". Secciones cónicas tratadas geométricamente. Historical Math Monographs. Londres; Ithaca, NY: G. Bell; Cornell University . pág. 109.