En el campo de la geometría hiperbólica , el panal de mosaico hexagonal es uno de los 11 panales paracompactos regulares en el espacio hiperbólico tridimensional . Es paracompacto porque tiene celdas compuestas por un número infinito de caras. Cada celda es un mosaico hexagonal cuyos vértices se encuentran en una horósfera , una superficie en el espacio hiperbólico que se acerca a un único punto ideal en el infinito.
El símbolo de Schläfli del panal de mosaico hexagonal es {6,3,3}. Dado que el del mosaico hexagonal es {6,3}, este panal tiene tres mosaicos hexagonales que se encuentran en cada borde. Dado que el símbolo de Schläfli del tetraedro es {3,3}, la figura del vértice de este panal es un tetraedro. Por lo tanto, cuatro mosaicos hexagonales se encuentran en cada vértice de este panal, seis hexágonos se encuentran en cada vértice y cuatro aristas se encuentran en cada vértice. [1]
Vista en perspectiva fuera de un modelo de disco de Poincaré , la imagen de arriba muestra una celda de mosaico hexagonal dentro del panal y su horósfera de radio medio (la horósfera que incide con los puntos medios de los bordes). En esta proyección, los hexágonos se vuelven infinitamente pequeños hacia el límite infinito, haciendo asíntota hacia un único punto ideal. Puede verse como similar al mosaico apeirogonal de orden 3 , {∞,3} de H 2 , con horociclos que circunscriben los vértices de las caras apeirogonales .
Tiene un total de cinco construcciones reflectantes de cinco grupos Coxeter relacionados, todos con cuatro espejos y solo el primero es regular:
[6,3,3],[3,6,3],[6,3,6],
[6,3 [3] ] y [3 [3,3] ]
, con dominios fundamentales 1, 4, 6, 12 y 24 veces más grandes respectivamente . En las marcas de subgrupos de notación de Coxeter , se relacionan como: [6,(3,3) * ] (eliminar 3 espejos, indexar 24 subgrupos); [3,6,3 * ] o [3 * ,6,3] (eliminar 2 espejos, indexar el subgrupo 6); [1 + ,6,3,6,1 + ] (eliminar dos espejos ortogonales, índice 4 subgrupo); todos estos son isomorfos a [3 [3,3] ]. Los diagramas de Coxeter anillados son
,,,
y, que representa diferentes tipos (colores) de mosaicos hexagonales en la construcción Wythoff .
El panal de mosaico hexagonal es un panal hiperbólico regular en 3 espacios y uno de los 11 que son paracompactos.
Es uno de los 15 panales paracompactos uniformes del grupo [6,3,3] Coxeter, junto con su panal dual, el tetraédrico de orden 6 .
Es parte de una secuencia de policora regular , que incluye el {3,3,3} de 5 celdas , el teseracto {4,3,3} y el {5,3,3} de 120 celdas del 4 espacio euclidiano. junto con otros panales hiperbólicos que contienen figuras de vértices tetraédricos .
También es parte de una secuencia de panales regulares de la forma {6,3,p}, cada uno de los cuales está compuesto por celdas de mosaico hexagonal :
El panal de mosaico hexagonal rectificado , t 1 {6,3,3},Tiene facetas de mosaico tetraédrico y trihexagonal , con figura de vértice de prisma triangular . ElLa construcción de semisimetría alterna dos tipos de tetraedros.
El panal de mosaico hexagonal truncado , t 0,1 {6,3,3},tiene facetas de mosaico tetraédricas y hexagonales truncadas , con figura de vértice de pirámide triangular .
Es similar al mosaico apeirogonal 2D hiperbólico truncado de orden 3 , t{∞,3} con caras apeirogonales y triangulares:
El panal de mosaico hexagonal bitruncado o el panal tetraédrico de orden 6 bitruncado , t 1,2 {6,3,3},Tiene tetraedros truncados y celdas de mosaico hexagonales , con una figura de vértice diesfenoide digonal .
El panal de mosaico hexagonal cantelado , t 0,2 {6,3,3},tiene octaedro , mosaico rombitrihexagonal y celdas de prisma triangular , con figura de vértice en cuña .
El panal de mosaico hexagonal cantitruncado , t 0,1,2 {6,3,3},tiene tetraedro truncado , mosaico trihexagonal truncado y celdas de prisma triangular , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
El panal de mosaico hexagonal runcinado , t 0,3 {6,3,3},Tiene tetraedro , mosaico hexagonal , prisma hexagonal y celdas de prisma triangular , con una figura de vértice antiprisma triangular irregular .
El panal de mosaico hexagonal runcitruncado , t 0,1,3 {6,3,3},tiene cuboctaedro , prisma triangular , prisma dodecagonal y celdas de mosaico hexagonal truncado , con figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
El panal de mosaico hexagonal runcicantelado o el panal tetraédrico de orden 6 runcicantelado , t 0,2,3 {6,3,3},tiene tetraedro truncado , prisma hexagonal y celdas de mosaico rombitrihexagonal , con figura de vértice de pirámide isósceles-trapezoidal .
El panal de mosaico hexagonal omnitruncado o el panal tetraédrico de orden 6 omnitruncado , t 0,1,2,3 {6,3,3},Tiene octaedro truncado , prisma hexagonal , prisma dodecagonal y celdas de mosaico trihexagonales truncadas , con una figura de vértice de tetraedro irregular .
