Proceso Ornstein-Uhlenbeck

Proceso estocástico modelado de paseo aleatorio con fricción.

Cinco simulaciones con θ = 1, σ = 1 y μ = 0.

Una simulación 3D con θ = 1, σ = 3, μ = (0, 0, 0) y la posición inicial (10, 10, 10).

En matemáticas, el proceso Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estocástico con aplicaciones en matemáticas financieras y ciencias físicas. Su aplicación original en física fue como modelo para la velocidad de una partícula browniana masiva bajo la influencia de la fricción. Lleva el nombre de Leonard Ornstein y George Eugene Uhlenbeck .

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estacionario de Gauss-Markov , lo que significa que es un proceso gaussiano , un proceso de Markov , y es temporalmente homogéneo. De hecho, es el único proceso no trivial que satisface estas tres condiciones, hasta permitir transformaciones lineales de las variables espacio y tiempo. ^[1] Con el tiempo, el proceso tiende a desviarse hacia su función media: tal proceso se llama inversión de la media .

El proceso puede considerarse como una modificación del paseo aleatorio en tiempo continuo , o proceso de Wiener , en el que las propiedades del proceso se han cambiado de modo que hay una tendencia del paseo a retroceder hacia una ubicación central, con una Mayor atracción cuando el proceso está más alejado del centro. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también puede considerarse como el análogo en tiempo continuo del proceso AR(1) en tiempo discreto .

Definición

Fórmula simplificada para el proceso Ornstein-Uhlenbeck del mural que se muestra a continuación.

Colectivo de artistas holandeses De Strakke Hand: mural de Leonard Ornstein, que muestra a Ornstein como cofundador de la Sociedad Holandesa de Física ( Sociedad Física de los Países Bajos ) en su escritorio en 1921, e ilustra el doble del paseo aleatorio de un borracho con una fórmula simplificada para Ornstein-Uhlenbeck. proceso. Oosterkade, Utrecht, Países Bajos, no lejos del laboratorio de Ornstein. Texto traducido: El profesor Ornstein investiga el movimiento aleatorio 1930.

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se define mediante la siguiente ecuación diferencial estocástica : ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

donde y son parámetros y denota el proceso Wiener . ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle W_{t}}$

A veces se añade un término de deriva adicional:

${\displaystyle dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

donde es una constante. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck a veces también se escribe como una ecuación de Langevin de la forma ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)}$

donde , también conocido como ruido blanco , representa el supuesto derivado del proceso de Wiener. ^[5] Sin embargo, no existe porque el proceso de Wiener no es diferenciable en ninguna parte, por lo que la ecuación de Langevin es, estrictamente hablando, sólo heurística. ^[6] En las disciplinas de física e ingeniería, es una representación común para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck y ecuaciones diferenciales estocásticas similares al asumir tácitamente que el término de ruido es un derivado de una interpolación diferenciable (por ejemplo, de Fourier) del proceso de Wiener. ${\displaystyle \eta (t)}$ ${\displaystyle dW_{t}/dt}$ ${\displaystyle dW_{t}/dt}$

Representación de la ecuación de Fokker-Planck

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también se puede describir en términos de una función de densidad de probabilidad, que especifica la probabilidad de encontrar el proceso en el estado en el momento . ^[5] Esta función satisface la ecuación de Fokker-Planck ${\displaystyle P(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}$

dónde . Esta es una ecuación diferencial parcial parabólica lineal que se puede resolver mediante una variedad de técnicas. La probabilidad de transición, también conocida como función de Green , es gaussiana con media y varianza : ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$ ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ ${\displaystyle x'e^{-\theta (t-t')}}$ ${\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (t-t')}\right)}$

${\displaystyle P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x'e^{-\theta (t-t')})^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t')}}}\right]}$

Esto da la probabilidad de que el estado ocurra en el momento dado el estado inicial en el momento . De manera equivalente, es la solución de la ecuación de Fokker-Planck con condición inicial . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle t'<t}$ ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ ${\displaystyle P(x,t')=\delta (x-x')}$

Propiedades matemáticas

Condicionada a un valor particular de , la media es ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (x_{t}\mid x_{0})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}$

y la covarianza es

${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).}$

Para el proceso estacionario (incondicionado), la media de es y la covarianza de y es . ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta |t-s|}}$

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un ejemplo de proceso gaussiano que tiene una varianza acotada y admite una distribución de probabilidad estacionaria , en contraste con el proceso de Wiener ; la diferencia entre los dos está en su término de "deriva". Para el proceso de Wiener, el término de deriva es constante, mientras que para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck depende del valor actual del proceso: si el valor actual del proceso es menor que la media (a largo plazo), la deriva será positivo; si el valor actual del proceso es mayor que la media (a largo plazo), la deriva será negativa. En otras palabras, la media actúa como nivel de equilibrio del proceso. Esto le da al proceso su nombre informativo, "reversión de la media".

Propiedades de rutas de muestra

Un proceso de Ornstein-Uhlenbeck temporalmente homogéneo se puede representar como un proceso de Wiener escalado y transformado en el tiempo :

${\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}}}$

¿Dónde está el proceso Wiener estándar? Esto es aproximadamente el Teorema 1.2 de Doob 1942. De manera equivalente, con el cambio de variable esto se convierte en ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle s=e^{2\theta t}}$

${\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}$

Usando este mapeo, se pueden traducir propiedades conocidas de en declaraciones correspondientes para . Por ejemplo, la ley del logaritmo iterado para se convierte en ^[1] ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}}$

Solución formal

La ecuación diferencial estocástica se puede resolver formalmente mediante variación de parámetros . ^[7] Escritura ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}$

obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$

Integrando de a obtenemos ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}$

con lo cual vemos

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,}$

A partir de esta representación, se muestra que el primer momento (es decir, la media) es

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }$

suponiendo que es constante. Además, la isometría de Itō se puede utilizar para calcular la función de covarianza mediante ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$

Dado que la integral Itô del integrando determinista tiene una distribución normal, se deduce que ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle x_{t}=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}W_{1-e^{-2\theta t}}}$

Ecuaciones de Kolmogorov

El generador infinitesimal del proceso es ^[8]

$${\displaystyle Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''}$$

${\displaystyle y=x{\sqrt {\frac {2\mu }{\sigma ^{2}}}}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi +{\frac {\lambda }{\mu }}\phi =0}$$

los polinomios de Hermite ${\displaystyle \phi (y)=He_{n}(y)}$ ${\displaystyle \lambda =n\mu }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}}$

Simulación numérica

Al utilizar datos muestreados discretamente en intervalos de tiempo de ancho , los estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros del proceso de Ornstein-Uhlenbeck son asintóticamente normales a sus valores verdaderos. ^[9] Más precisamente, ^{[ verificación fallida ]} ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right)\xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)}$$

Cuatro rutas de muestra de diferentes procesos OU con θ  = 1, σ  =  : azul : valor inicial a  = 10, μ  = 0 naranja : valor inicial a  = 0, μ  = 0 verde : valor inicial a  = −10, μ  = 0 rojo : valor inicial a  = 0, μ  = −10 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Para simular numéricamente un proceso de OU con desviación estándar y tiempo de correlación , un método es aplicar la fórmula de diferencias finitas ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Theta }$

$${\displaystyle x(t+dt)=x(t)-\Theta \,dt\,x(t)+\Sigma {\sqrt {2\,dt\,\Theta }}\nu _{i}}$$

^[10] ${\displaystyle \nu _{i}}$ ${\displaystyle dt}$

Interpretación del límite de escala

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck puede interpretarse como un límite de escala de un proceso discreto, de la misma manera que el movimiento browniano es un límite de escala de paseos aleatorios . Considere una urna que contiene bolas azules y amarillas. En cada paso se elige una bola al azar y se reemplaza por una bola del color opuesto. Sea el número de bolas azules en la urna después de los pasos. Luego converge en ley a un proceso de Ornstein-Uhlenbeck cuando tiende al infinito. Esto fue obtenido por Mark Kac . ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle n}$

Heurísticamente se puede obtener esto de la siguiente manera.

Sea , y obtendremos la ecuación diferencial estocástica en el límite. Primero deducir ${\displaystyle X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

$${\displaystyle \Delta t=1/n,\quad \Delta X_{t}^{(n)}=X_{t+\Delta t}^{(n)}-X_{t}^{(n)}.}$$

${\displaystyle \Delta X_{t}^{(n)}}$ ${\displaystyle -2X_{t}^{(n)}\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle dX_{t}=-2X_{t}\,dt+dW_{t}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{t}=e^{-2t}W_{e^{4t}}}$

Aplicaciones

Relajación ruidosa

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un prototipo de proceso de relajación ruidoso . Un ejemplo canónico es un resorte de Hooke ( oscilador armónico ) con constante de resorte cuya dinámica está sobreamortiguada con el coeficiente de fricción . En presencia de fluctuaciones térmicas con la temperatura , la longitud del resorte fluctúa alrededor de la longitud de reposo del resorte ; su dinámica estocástica se describe mediante un proceso de Ornstein-Uhlenbeck con ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

donde se deriva de la ecuación de Stokes-Einstein para la constante de difusión efectiva. ^{[12] [13]} Este modelo se ha utilizado para caracterizar el movimiento de una partícula browniana en una trampa óptica . ^{[13] [14]} ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2=k_{B}T/\gamma }$

En equilibrio, el resorte almacena una energía promedio de acuerdo con el teorema de equipartición . ^[15] ${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$

En matemáticas financieras

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se utiliza en el modelo de Vasicek de la tasa de interés. ^[16] El proceso Ornstein-Uhlenbeck es uno de varios enfoques utilizados para modelar (con modificaciones) tasas de interés, tipos de cambio de divisas y precios de productos básicos de manera estocástica. El parámetro representa el equilibrio o valor medio sustentado por los fundamentos ; el grado de volatilidad a su alrededor causado por los shocks , y la velocidad a la que estos shocks se disipan y la variable revierte hacia la media. Una aplicación del proceso es una estrategia comercial conocida como comercio de pares . ^{[17] [18] [19]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta }$

Marcello Minenna deriva una implementación adicional del proceso de Ornstein-Uhlenbeck para modelar el rendimiento de las acciones bajo una dinámica de distribución lognormal . Este modelo tiene como objetivo la determinación del intervalo de confianza para predecir fenómenos de abuso de mercado . ^{[20] [21]}

En biología evolutiva

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se ha propuesto como una mejora con respecto al modelo de movimiento browniano para modelar el cambio en los fenotipos de los organismos a lo largo del tiempo. ^[22] Un modelo de movimiento browniano implica que el fenotipo puede moverse sin límite, mientras que para la mayoría de los fenotipos la selección natural impone un costo por moverse demasiado en cualquier dirección. Un metanálisis de 250 series temporales de fenotipos fósiles mostró que un modelo de Ornstein-Uhlenbeck era el que mejor se ajustaba a 115 (46%) de las series temporales examinadas, lo que respalda la estasis como un patrón evolutivo común. ^[23] Dicho esto, existen ciertos desafíos para su uso: los mecanismos de selección de modelos a menudo están sesgados hacia la preferencia de un proceso de OU sin suficiente apoyo, y la interpretación errónea es fácil para el científico de datos desprevenido. ^[24]

Generalizaciones

Es posible definir un proceso Ornstein-Uhlenbeck impulsado por Lévy , en el que el proceso impulsor en segundo plano es un proceso de Lévy en lugar de un proceso de Wiener: ^{[25] [26]}

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dL_{t}}$

Aquí, el diferencial del proceso Wiener ha sido sustituido por el diferencial de un proceso Lévy . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle L_{t}}$

Además, en finanzas se utilizan procesos estocásticos donde la volatilidad aumenta para valores mayores de . En particular, el proceso CKLS (Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) ^[27] con el término de volatilidad reemplazado por puede resolverse en forma cerrada para , así como para , que corresponde al proceso OU convencional. Otro caso especial es , que corresponde al modelo de Cox-Ingersoll-Ross (modelo CIR). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}}$ ${\displaystyle \gamma =1}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle \gamma =1/2}$

Dimensiones superiores

Una versión multidimensional del proceso de Ornstein-Uhlenbeck, denotada por el vector N -dimensional , se puede definir a partir de ${\displaystyle \mathbf {x} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}$

donde es un proceso de Wiener N -dimensional y y son matrices N × N constantes . ^[28] La solución es ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}$

y la media es

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}$

Estas expresiones hacen uso de la matriz exponencial .

El proceso también se puede describir en términos de la función de densidad de probabilidad , que satisface la ecuación de Fokker-Planck ^[29] ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.}$

donde la matriz con componentes está definida por . En cuanto al caso 1d, el proceso es una transformación lineal de variables aleatorias gaussianas y, por lo tanto, debe ser gaussiano. Debido a esto, la probabilidad de transición es gaussiana y puede escribirse explícitamente. Si las partes reales de los valores propios de son mayores que cero, además existe una solución estacionaria , dada por ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle D_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}$ ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right)}$

donde la matriz se determina a partir de la ecuación de Lyapunov . ^[5] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}$

Ver también

• cálculo estocástico
• proceso de salchicha
• proceso gaussiano
• finanzas matemáticas
• El modelo Vasicek de tipos de interés
• Modelo de tasa corta
• Difusión
• Teorema de disipación de fluctuaciones
• Ecuación de Klein-Kramers

Notas

1. Doob 1942.
2. Karatzas y Shreve 1991, pág. 358.
3. Gard 1988, pág. 115.
4. Gardiner 1985.
5. Arriesgado 1989.
6. Leyler 2006.
7. Gardiner 1985, pág. 106.
8. Holmes-Cerfon, Miranda (2022). "Conferencia 12: Métodos detallados de equilibrio y función propia" (PDF) .
9. Aït-Sahalia 2002, págs. 223–262.
10. Kloeden, Platen y Schurz 1994.
11. Iglehart 1968.
12. Nørrelykke y Flyvbjerg 2011.
13. Goerlich et al. 2021.
14. Li y col. 2019.
15. Nelson 1967.
16. Björk 2009, págs.375, 381.
17. Leung y Li 2016.
18. Ventajas del comercio de pares: neutralidad del mercado
19. Un marco de Ornstein-Uhlenbeck para el comercio de pares
20. "Detección de abuso de mercado". Revista Riesgo. 2 de noviembre de 2004.
21. "La detección de Abuso de Mercado en los mercados financieros: un enfoque cuantitativo". Consob – Comisión Italiana de Bolsa y Valores.
22. Martins 1994, págs. 193-209.
23. Caza 2007.
24. Cornualles 2022.
25. Jespersen, Metzler y Fogedby 1999.
26. Fink y Klüppelberg 2011.
27. Chan y col. 1992.
28. Gardiner 1985, pág. 109.
29. Gardiner 1985, pág. 97.

Referencias

• Aït-Sahalia, Y. (abril de 2002). "Estimación de máxima verosimilitud de difusión muestreada discretamente: un enfoque de aproximación de forma cerrada". Econométrica . 70 (1): 223–262. doi :10.1111/1468-0262.00274.
• Bibbona, E.; Pánfilo, G.; Tavella, P. (2008). "El proceso de Ornstein-Uhlenbeck como modelo de ruido blanco filtrado de paso bajo". Metrología . 45 (6): S117-S126. Código Bib : 2008 Metro..45S.117B. doi :10.1088/0026-1394/45/6/S17. hdl : 2318/58227 . S2CID  56160285.
• Björk, Tomas (2009). Teoría del arbitraje en tiempo continuo (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-957474-2.
• Chan, KC; Karolyi, GA; Longstaff, FA; Lijadoras, AB (1992). "Una comparación empírica de modelos alternativos de tipo de interés a corto plazo". Revista de Finanzas . 47 (3): 1209-1227. doi : 10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x .
• Cornuault, Josselin (2022). "Análisis bayesianos de datos comparativos con el modelo de Ornstein-Uhlenbeck: posibles obstáculos". Biología Sistemática . 71 (6): 1524-1540. doi : 10.1093/sysbio/syac036. PMC  9558839 . PMID  35583306.
• Doob, JL (abril de 1942). "El movimiento browniano y las ecuaciones estocásticas". Anales de Matemáticas . 43 (2): 351–369. doi :10.2307/1968873. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968873.
• Fink, Holger; Klüppelberg, Claudia (1 de febrero de 2011). "Procesos fraccionales de Ornstein-Uhlenbeck impulsados ​​por Lévy y ecuaciones diferenciales estocásticas". Bernoulli . 17 (1). arXiv : 1102.1830 . doi :10.3150/10-bej281. ISSN  1350-7265. S2CID  9269536.
• Cazar, G. (14 de noviembre de 2007). "La importancia relativa del cambio de dirección, los paseos aleatorios y la estasis en la evolución de los linajes fósiles". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 104 (47): 18404–18408. doi : 10.1073/pnas.0704088104 . ISSN  0027-8424. PMC  2141789 . PMID  18003931.
• Gard, Thomas C. (1988), Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-7776-0
• Gardiner, Crispin W. (1985), Manual de métodos estocásticos (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-15607-1
• Gillespie, DT (1996). "Simulación numérica exacta del proceso Ornstein-Uhlenbeck y su integral". Física. Rev. E. 54 (2): 2084–2091. Código Bib : 1996PhRvE..54.2084G. doi :10.1103/PhysRevE.54.2084. PMID  9965289.
• Iglehart, Donald L. (junio de 1968). "Teoremas de límite para el modelo de Ehrenfest de múltiples urnas". Los anales de la estadística matemática . 39 (3): 864–876. doi : 10.1214/aoms/1177698318 . ISSN  0003-4851.
• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991), Movimiento browniano y cálculo estocástico (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97655-6
• Goerlich, Rémi; Li, Minghao; Alberto, Samuel; Manfredi, Giovanni; Hervieux, Paul-Antoine; Genet, Cyriaque (19 de marzo de 2021). "Ruido y propiedades ergódicas del movimiento browniano en una pinza óptica: análisis de cruces de regímenes en un proceso de Ornstein-Uhlenbeck". Revisión física E. 103 (3): 032132. arXiv : 2007.12246 . Código bibliográfico : 2021PhRvE.103c2132G. doi : 10.1103/physreve.103.032132. ISSN  2470-0045. PMID  33862817. S2CID  220768666.
• Jespersen, Sune; Metzler, Ralf; Fogedby, Hans C. (1 de marzo de 1999). "Vuelos de Lévy en campos de fuerza externos: ecuaciones de Langevin y fraccionarias de Fokker-Planck y sus soluciones". Revisión física E. 59 (3): 2736–2745. arXiv : cond-mat/9810176 . Código bibliográfico : 1999PhRvE..59.2736J. doi :10.1103/physreve.59.2736. ISSN  1063-651X. S2CID  51944991.
• Kloeden, Peter E.; Platina, Eckhard; Schurz, Henri (1994). Solución numérica de SDE mediante experimentos informáticos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57074-8. OCLC  29788831.
• Lawler, Gregory F. (2006). Introducción a los procesos estocásticos (2ª ed.). Chapman y Hall/CRC. ISBN 978-1584886518.
• Leung, Tim; Li, Xin (2016). Comercio óptimo de reversión a la media: análisis matemático y aplicaciones prácticas . ISBN de la empresa World Scientific Publishing Co.  978-9814725910.
• Leung, Tim; Li, Xin (2015). "Negociación de reversión a la media óptima con costos de transacción y salida de stop-loss". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062 . doi :10.1142/S021902491550020X.
• Li, Minghao; Sentissi, Oussama; Azzini, Stefano; Schnoering, Gabriel; Canaguier-Durand, Antoine; Genet, Cyriaque (10 de diciembre de 2019). "Campos de fuerza subfemtonewton medidos con conjuntos brownianos ergódicos". Revisión física A. 100 (6): 063816. arXiv : 1908.00610 . Código Bib : 2019PhRvA.100f3816L. doi :10.1103/physreva.100.063816. ISSN  2469-9926. S2CID  199405409.
• Martíns, Emilia P. (1994). "Estimación de la tasa de evolución fenotípica a partir de datos comparativos". El naturalista americano . 144 (2): 193–209. doi :10.1086/285670. ISSN  0003-0147. S2CID  85300707.
• Nørrelykke, Simon F.; Flyvbjerg, Henrik (4 de abril de 2011). "Oscilador armónico en baño térmico: simulación exacta de datos registrados en lapso de tiempo y estadísticas analíticas exactas de referencia". Revisión física E. 83 (4): 041103. arXiv : 1102.0524 . Código bibliográfico : 2011PhRvE..83d1103N. doi :10.1103/physreve.83.041103. ISSN  1539-3755. PMID  21599111. S2CID  18518657.
• Arriesgado, H. (1989). La ecuación de Fokker-Planck: métodos de solución y aplicaciones . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
• Nelson, Eduardo (1967). Teorías dinámicas del movimiento browniano (PDF) . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-07950-1. OCLC  769464.
• Uhlenbeck, GE; Ornstein, LS (1930). "Sobre la teoría del movimiento browniano". Física. Rdo . 36 (5): 823–841. Código bibliográfico : 1930PhRv...36..823U. doi : 10.1103/PhysRev.36.823.

enlaces externos

• Un conjunto de herramientas de procesos estocásticos para la gestión de riesgos, Damiano Brigo, Antonio Dalessandro, Matthias Neugebauer y Fares Triki
• Simulación y calibración del proceso Ornstein-Uhlenbeck, MA van den Berg
• Estimación de máxima verosimilitud de procesos de reversión media, José Carlos García Franco
• "Aplicación web interactiva: procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas". Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2015 . Consultado el 3 de julio de 2015 .