La ley de Ohm establece que la corriente eléctrica que pasa por un conductor entre dos puntos es directamente proporcional al voltaje que pasa por los dos puntos. Si introducimos la constante de proporcionalidad, la resistencia [ 1], llegamos a las tres ecuaciones matemáticas que se utilizan para describir esta relación: [2]
donde I es la corriente a través del conductor, V es el voltaje medido a través del conductor y R es la resistencia del conductor. Más específicamente, la ley de Ohm establece que la R en esta relación es constante, independiente de la corriente. [3] Si la resistencia no es constante, la ecuación anterior no se puede llamar ley de Ohm , pero aún se puede usar como una definición de resistencia estática/CC . [4] La ley de Ohm es una relación empírica que describe con precisión la conductividad de la gran mayoría de materiales conductores de electricidad en muchos órdenes de magnitud de corriente. Sin embargo, algunos materiales no obedecen la ley de Ohm; estos se denominan no óhmicos .
La ley recibe su nombre del físico alemán Georg Ohm , quien, en un tratado publicado en 1827, describió las mediciones de voltaje y corriente aplicados a través de circuitos eléctricos simples que contenían cables de distintas longitudes. Ohm explicó sus resultados experimentales mediante una ecuación ligeramente más compleja que la forma moderna anterior (véase § Historia a continuación).
En física, el término ley de Ohm también se utiliza para referirse a varias generalizaciones de la ley; por ejemplo, la forma vectorial de la ley utilizada en electromagnetismo y ciencia de los materiales:
donde J es la densidad de corriente en una ubicación dada en un material resistivo, E es el campo eléctrico en esa ubicación y σ ( sigma ) es un parámetro dependiente del material llamado conductividad , definida como la inversa de la resistividad ρ ( rho ). Esta reformulación de la ley de Ohm se debe a Gustav Kirchhoff . [5]
En enero de 1781, antes del trabajo de Georg Ohm , Henry Cavendish experimentó con frascos de Leyden y tubos de vidrio de distintos diámetros y longitudes llenos de una solución salina. Midió la corriente observando la fuerza de la descarga que sentía al completar el circuito con su cuerpo. Cavendish escribió que la "velocidad" (corriente) variaba directamente con el "grado de electrificación" (voltaje). No comunicó sus resultados a otros científicos en ese momento, [6] y sus resultados fueron desconocidos hasta que James Clerk Maxwell los publicó en 1879. [7]
En 1814, Francis Ronalds definió la "intensidad" (voltaje) y la "cantidad" (corriente) para la pila seca —una fuente de alto voltaje— utilizando un electrómetro de hoja de oro . Descubrió que, en el caso de una pila seca, la relación entre los dos parámetros no era proporcional en determinadas condiciones meteorológicas. [8] [9]
Ohm realizó su trabajo sobre la resistencia en los años 1825 y 1826, y publicó sus resultados en 1827 como el libro Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet ("El circuito galvánico investigado matemáticamente"). [10] Se inspiró considerablemente en el trabajo de Joseph Fourier sobre la conducción del calor en la explicación teórica de su trabajo. Para los experimentos, inicialmente utilizó pilas voltaicas , pero más tarde utilizó un termopar , ya que esto proporcionaba una fuente de voltaje más estable en términos de resistencia interna y voltaje constante. Usó un galvanómetro para medir la corriente y sabía que el voltaje entre los terminales del termopar era proporcional a la temperatura de la unión. Luego agregó cables de prueba de longitud, diámetro y material variables para completar el circuito. Descubrió que sus datos podían modelarse a través de la ecuación donde x era la lectura del galvanómetro , ℓ era la longitud del conductor de prueba, a dependía de la temperatura de la unión del termopar y b era una constante de toda la configuración. A partir de esto, Ohm determinó su ley de proporcionalidad y publicó sus resultados.
En notación moderna escribiríamos, donde es la fem de circuito abierto del termopar, es la resistencia interna del termopar y es la resistencia del cable de prueba. En términos de la longitud del cable, esto se convierte en, donde es la resistencia del cable de prueba por unidad de longitud. Por lo tanto, los coeficientes de Ohm son,
La ley de Ohm fue probablemente la más importante de las primeras descripciones cuantitativas de la física de la electricidad. Hoy en día la consideramos casi obvia. Cuando Ohm publicó por primera vez su trabajo, no fue así; los críticos reaccionaron con hostilidad a su tratamiento del tema. Llamaron a su trabajo una "red de fantasías desnudas" [11] y el Ministro de Educación proclamó que "un profesor que predicaba tales herejías no era digno de enseñar ciencia". [12] La filosofía científica predominante en Alemania en ese momento afirmaba que no era necesario realizar experimentos para desarrollar una comprensión de la naturaleza porque la naturaleza está muy bien ordenada y que las verdades científicas se pueden deducir mediante el razonamiento únicamente. [13] Además, el hermano de Ohm, Martin, un matemático, estaba luchando contra el sistema educativo alemán. Estos factores obstaculizaron la aceptación del trabajo de Ohm, y su trabajo no fue ampliamente aceptado hasta la década de 1840. Sin embargo, Ohm recibió reconocimiento por sus contribuciones a la ciencia mucho antes de morir.
En la década de 1850, la ley de Ohm era ampliamente conocida y se consideraba probada. Alternativas como la " ley de Barlow " quedaron desacreditadas en términos de aplicaciones reales al diseño de sistemas telegráficos, como lo discutió Samuel FB Morse en 1855. [14]
El electrón fue descubierto en 1897 por JJ Thomson , y rápidamente se comprendió que era la partícula ( portadora de carga ) la que transportaba corrientes eléctricas en circuitos eléctricos. En 1900, el primer modelo ( clásico ) de conducción eléctrica, el modelo de Drude , fue propuesto por Paul Drude , que finalmente dio una explicación científica para la ley de Ohm. En este modelo, un conductor sólido consiste en una red estacionaria de átomos ( iones ), con electrones de conducción que se mueven aleatoriamente en ella. Un voltaje a través de un conductor provoca un campo eléctrico , que acelera los electrones en la dirección del campo eléctrico, causando una deriva de electrones que es la corriente eléctrica. Sin embargo, los electrones chocan con los átomos, lo que hace que se dispersen y aleatorice su movimiento, convirtiendo así la energía cinética en calor ( energía térmica ). Utilizando distribuciones estadísticas, se puede demostrar que la velocidad de deriva promedio de los electrones, y por lo tanto la corriente, es proporcional al campo eléctrico, y por lo tanto al voltaje, en un amplio rango de voltajes.
El desarrollo de la mecánica cuántica en la década de 1920 modificó un poco esta imagen, pero en las teorías modernas todavía se puede demostrar que la velocidad de deriva promedio de los electrones es proporcional al campo eléctrico, derivando así la ley de Ohm. En 1927, Arnold Sommerfeld aplicó la distribución cuántica de Fermi-Dirac de las energías de los electrones al modelo de Drude, lo que dio como resultado el modelo del electrón libre . Un año después, Felix Bloch demostró que los electrones se mueven en ondas ( electrones de Bloch ) a través de una red cristalina sólida, por lo que la dispersión de los átomos de la red como se postula en el modelo de Drude no es un proceso importante; los electrones se dispersan de los átomos de impurezas y defectos en el material. El sucesor final, la moderna teoría de bandas cuánticas de sólidos, mostró que los electrones en un sólido no pueden asumir ninguna energía como se supone en el modelo de Drude, sino que están restringidos a bandas de energía, con brechas entre ellas de energías que los electrones tienen prohibido tener. El tamaño de la banda prohibida es una característica de una sustancia particular que tiene mucho que ver con su resistividad eléctrica, lo que explica por qué algunas sustancias son conductores eléctricos , algunas semiconductores y algunas aislantes .
Aunque todavía se utiliza el antiguo término para la conductancia eléctrica, el mho (el inverso de la unidad de resistencia ohmio), en 1971 se adoptó un nuevo nombre, el siemens , en honor a Ernst Werner von Siemens . El siemens es el preferido en los documentos formales.
En la década de 1920, se descubrió que la corriente a través de una resistencia práctica en realidad tiene fluctuaciones estadísticas, que dependen de la temperatura, incluso cuando el voltaje y la resistencia son exactamente constantes; esta fluctuación, ahora conocida como ruido de Johnson-Nyquist , se debe a la naturaleza discreta de la carga. Este efecto térmico implica que las mediciones de corriente y voltaje que se toman durante períodos de tiempo suficientemente cortos producirán relaciones de V/I que fluctúan a partir del valor de R implícito en el promedio temporal o promedio de conjunto de la corriente medida; la ley de Ohm sigue siendo correcta para la corriente promedio, en el caso de materiales resistivos ordinarios.
El trabajo de Ohm precedió por mucho tiempo a las ecuaciones de Maxwell y a cualquier comprensión de los efectos dependientes de la frecuencia en los circuitos de corriente alterna. Los avances modernos en la teoría electromagnética y la teoría de circuitos no contradicen la ley de Ohm cuando se evalúan dentro de los límites apropiados.
La ley de Ohm es una ley empírica , una generalización de muchos experimentos que han demostrado que la corriente es aproximadamente proporcional al campo eléctrico para la mayoría de los materiales. Es menos fundamental que las ecuaciones de Maxwell y no siempre se cumple. Cualquier material dado se descompondrá bajo un campo eléctrico lo suficientemente fuerte, y algunos materiales de interés en ingeniería eléctrica son "no óhmicos" bajo campos débiles. [15] [16]
La ley de Ohm se ha observado en una amplia gama de escalas de longitud. A principios del siglo XX, se pensaba que la ley de Ohm no se cumpliría a escala atómica , pero los experimentos no han confirmado esta expectativa. A partir de 2012, los investigadores han demostrado que la ley de Ohm funciona para cables de silicio tan pequeños como cuatro átomos de ancho y un átomo de alto. [17]
La dependencia de la densidad de corriente con respecto al campo eléctrico aplicado es esencialmente de naturaleza mecánico-cuántica (véase Conductividad clásica y cuántica). Una descripción cualitativa que conduce a la ley de Ohm puede basarse en la mecánica clásica utilizando el modelo de Drude desarrollado por Paul Drude en 1900. [18] [19]
El modelo de Drude considera a los electrones (u otros portadores de carga) como bolas de pinball que rebotan entre los iones que forman la estructura del material. Los electrones se aceleran en la dirección opuesta al campo eléctrico por el campo eléctrico promedio en su ubicación. Sin embargo, con cada colisión, el electrón se desvía en una dirección aleatoria con una velocidad que es mucho mayor que la velocidad ganada por el campo eléctrico. El resultado neto es que los electrones toman un camino en zigzag debido a las colisiones, pero generalmente se desplazan en una dirección opuesta al campo eléctrico.
La velocidad de deriva determina entonces la densidad de corriente eléctrica y su relación con E y es independiente de las colisiones. Drude calculó la velocidad de deriva promedio a partir de p = − e E τ donde p es el momento promedio , − e es la carga del electrón y τ es el tiempo promedio entre las colisiones. Dado que tanto el momento como la densidad de corriente son proporcionales a la velocidad de deriva, la densidad de corriente se vuelve proporcional al campo eléctrico aplicado; esto conduce a la ley de Ohm.
A veces se utiliza una analogía hidráulica para describir la ley de Ohm. La presión del agua, medida en pascales (o PSI ), es análoga al voltaje porque establecer una diferencia de presión de agua entre dos puntos a lo largo de una tubería (horizontal) hace que el agua fluya. El caudal volumétrico de agua, como en litros por segundo, es análogo a la corriente, como en culombios por segundo. Finalmente, los limitadores de flujo, como las aberturas colocadas en las tuberías entre los puntos donde se mide la presión del agua, son análogos a las resistencias. Decimos que la velocidad del flujo de agua a través de un limitador de apertura es proporcional a la diferencia de presión de agua a través del limitador. De manera similar, la velocidad del flujo de carga eléctrica, es decir, la corriente eléctrica, a través de una resistencia eléctrica es proporcional a la diferencia de voltaje medida a través de la resistencia. De manera más general, la carga hidráulica puede tomarse como análoga al voltaje, y la ley de Ohm es entonces análoga a la ley de Darcy, que relaciona la carga hidráulica con el caudal volumétrico a través de la conductividad hidráulica .
Las variables de flujo y presión se pueden calcular en una red de flujo de fluidos con el uso de la analogía hidráulica de ohm. [20] [21] El método se puede aplicar tanto a situaciones de flujo estable como transitorio. En la región de flujo laminar lineal , la ley de Poiseuille describe la resistencia hidráulica de una tubería, pero en la región de flujo turbulento las relaciones de presión-flujo se vuelven no lineales.
La analogía hidráulica con la ley de Ohm se ha utilizado, por ejemplo, para aproximar el flujo sanguíneo a través del sistema circulatorio. [22]
En el análisis de circuitos , se utilizan indistintamente tres expresiones equivalentes de la ley de Ohm:
Algunas fuentes citan cada ecuación como la relación definitoria de la ley de Ohm, [2] [23] [24] o se citan las tres, [25] o se derivan de una forma proporcional, [26] o incluso a veces se pueden dar solo las dos que no corresponden a la declaración original de Ohm. [27] [28]
La intercambiabilidad de la ecuación se puede representar mediante un triángulo, donde V ( voltaje ) se coloca en la sección superior, I ( corriente ) se coloca en la sección izquierda y R ( resistencia ) se coloca en la sección derecha. El divisor entre las secciones superior e inferior indica división (de ahí la barra de división).
Las resistencias son elementos de circuito que impiden el paso de carga eléctrica de acuerdo con la ley de Ohm y están diseñadas para tener un valor de resistencia específico R . En los diagramas esquemáticos, una resistencia se muestra como un rectángulo largo o un símbolo en zigzag. Un elemento (resistencia o conductor) que se comporta de acuerdo con la ley de Ohm en un rango operativo determinado se denomina dispositivo óhmico (o resistencia óhmica ) porque la ley de Ohm y un único valor de la resistencia son suficientes para describir el comportamiento del dispositivo en ese rango.
La ley de Ohm se aplica a circuitos que contienen solo elementos resistivos (sin capacitancias ni inductancias) para todas las formas de voltaje o corriente de excitación, independientemente de si el voltaje o la corriente de excitación son constantes ( CC ) o variables en el tiempo, como CA. En cualquier instante de tiempo, la ley de Ohm es válida para tales circuitos.
Las resistencias que están en serie o en paralelo se pueden agrupar en una única "resistencia equivalente" para aplicar la ley de Ohm en el análisis del circuito.
Cuando elementos reactivos como capacitores, inductores o líneas de transmisión están involucrados en un circuito al cual se aplica corriente alterna o variable en el tiempo, la relación entre voltaje y corriente se convierte en la solución de una ecuación diferencial , por lo que la ley de Ohm (como se definió anteriormente) no se aplica directamente ya que esa forma contiene solo resistencias que tienen valor R , no impedancias complejas que pueden contener capacitancia ( C ) o inductancia ( L ).
Las ecuaciones para circuitos de corriente alterna invariantes en el tiempo tienen la misma forma que la ley de Ohm. Sin embargo, las variables se generalizan a números complejos y las formas de onda de corriente y voltaje son exponenciales complejas . [29]
En este enfoque, una forma de onda de voltaje o corriente toma la forma Ae st , donde t es el tiempo, s es un parámetro complejo y A es un escalar complejo. En cualquier sistema lineal invariante en el tiempo , todas las corrientes y voltajes se pueden expresar con el mismo parámetro s como entrada al sistema, lo que permite cancelar el término exponencial complejo variable en el tiempo y describir el sistema algebraicamente en términos de los escalares complejos en las formas de onda de corriente y voltaje.
La generalización compleja de la resistencia es la impedancia , usualmente denotada Z ; se puede demostrar que para un inductor y para un capacitor,
Ahora podemos escribir, donde V e I son los escalares complejos en el voltaje y la corriente respectivamente y Z es la impedancia compleja.
Esta forma de la ley de Ohm, en la que Z ocupa el lugar de R , generaliza la forma más simple. Cuando Z es compleja, solo la parte real es responsable de disipar el calor.
En un circuito de CA general, Z varía fuertemente con el parámetro de frecuencia s , y también lo hará la relación entre el voltaje y la corriente.
Para el caso común de una sinusoide estable , el parámetro s se toma como , correspondiente a una sinusoide compleja . Las partes reales de tales formas de onda de corriente y voltaje complejas describen las corrientes y voltajes sinusoidales reales en un circuito, que pueden estar en diferentes fases debido a los diferentes escalares complejos.
La ley de Ohm es una de las ecuaciones básicas que se utilizan en el análisis de circuitos eléctricos . Se aplica tanto a conductores metálicos como a componentes de circuitos ( resistencias ) fabricados específicamente para este comportamiento. Ambos son omnipresentes en la ingeniería eléctrica. Los materiales y componentes que obedecen la ley de Ohm se describen como "óhmicos" [30], lo que significa que producen el mismo valor de resistencia ( R = V / I ) independientemente del valor de V o I que se aplique y de si el voltaje o la corriente aplicados son CC ( corriente continua ) de polaridad positiva o negativa o CA ( corriente alterna ).
En un dispositivo óhmico verdadero, el mismo valor de resistencia se calculará a partir de R = V / I independientemente del valor del voltaje aplicado V . Es decir, la relación de V / I es constante, y cuando la corriente se grafica como una función del voltaje, la curva es lineal (una línea recta). Si el voltaje se fuerza a algún valor V , entonces ese voltaje V dividido por la corriente medida I será igual a R . O si la corriente se fuerza a algún valor I , entonces el voltaje medido V dividido por esa corriente I también es R . Dado que el gráfico de I versus V es una línea recta, entonces también es cierto que para cualquier conjunto de dos voltajes diferentes V 1 y V 2 aplicados a través de un dispositivo dado de resistencia R , produciendo corrientes I 1 = V 1 / R e I 2 = V 2 / R , que la relación ( V 1 − V 2 )/( I 1 − I 2 ) también es una constante igual a R . El operador "delta" (Δ) se utiliza para representar una diferencia en una cantidad, por lo que podemos escribir Δ V = V 1 − V 2 y Δ I = I 1 − I 2 . Resumiendo, para cualquier dispositivo verdaderamente óhmico que tenga resistencia R , V / I = Δ V /Δ I = R para cualquier voltaje o corriente aplicados o para la diferencia entre cualquier conjunto de voltajes o corrientes aplicados.
Sin embargo, existen componentes de circuitos eléctricos que no obedecen la ley de Ohm; es decir, su relación entre corriente y voltaje (su curva I – V ) no es lineal (o no óhmica). Un ejemplo es el diodo de unión p–n (curva a la derecha). Como se ve en la figura, la corriente no aumenta linealmente con el voltaje aplicado a un diodo. Se puede determinar un valor de corriente ( I ) para un valor dado de voltaje aplicado ( V ) a partir de la curva, pero no a partir de la ley de Ohm, ya que el valor de "resistencia" no es constante en función del voltaje aplicado. Además, la corriente solo aumenta significativamente si el voltaje aplicado es positivo, no negativo. La relación V / I para algún punto a lo largo de la curva no lineal a veces se denomina resistencia estática , o cordal , o CC , [31] [32] pero como se ve en la figura, el valor de V total sobre I total varía según el punto particular a lo largo de la curva no lineal que se elija. Esto significa que la "resistencia de CC" V/I en algún punto de la curva no es la misma que la que se determinaría al aplicar una señal de CA que tenga una amplitud pico Δ V voltios o Δ I amperios centrados en ese mismo punto a lo largo de la curva y medir Δ V /Δ I . Sin embargo, en algunas aplicaciones de diodos, la señal de CA aplicada al dispositivo es pequeña y es posible analizar el circuito en términos de la resistencia dinámica , de pequeña señal o incremental , definida como la que se extiende sobre la pendiente de la curva V – I en el valor promedio (punto de operación de CC) del voltaje (es decir, uno sobre la derivada de la corriente con respecto al voltaje). Para señales suficientemente pequeñas, la resistencia dinámica permite calcular la resistencia de pequeña señal de la ley de Ohm como aproximadamente uno sobre la pendiente de una línea dibujada tangencialmente a la curva V – I en el punto de operación de CC. [33]
La ley de Ohm se ha expresado a veces como, "para un conductor en un estado dado, la fuerza electromotriz es proporcional a la corriente producida". Es decir, que la resistencia, la relación entre la fuerza electromotriz aplicada (o voltaje) y la corriente, "no varía con la intensidad de la corriente". El calificativo "en un estado dado" se interpreta generalmente como "a una temperatura constante", ya que la resistividad de los materiales suele depender de la temperatura. Debido a que la conducción de la corriente está relacionada con el calentamiento Joule del cuerpo conductor, según la primera ley de Joule , la temperatura de un cuerpo conductor puede cambiar cuando transporta una corriente. Por lo tanto, la dependencia de la resistencia con la temperatura hace que la resistencia dependa de la corriente en una configuración experimental típica, lo que hace que la ley en esta forma sea difícil de verificar directamente. Maxwell y otros desarrollaron varios métodos para probar la ley experimentalmente en 1876, controlando los efectos del calentamiento. [34] Por lo general, las mediciones de la resistencia de una muestra se llevan a cabo a corrientes bajas para evitar el calentamiento Joule. Sin embargo, incluso una pequeña corriente provoca un calentamiento (enfriamiento) en el primer (segundo) contacto de la muestra debido al efecto Peltier. Las temperaturas en los contactos de la muestra se vuelven diferentes, su diferencia es lineal en la corriente. La caída de tensión a través del circuito incluye además la fuerza termoelectromotriz de Seebeck que a su vez es lineal en la corriente. Como resultado, existe una corrección térmica de la resistencia de la muestra incluso con una corriente insignificante. [35] La magnitud de la corrección podría ser comparable con la resistencia de la muestra. [36]
El principio de Ohm predice el flujo de carga eléctrica (es decir, corriente) en conductores eléctricos cuando están sometidos a la influencia de diferencias de voltaje; el principio de Jean-Baptiste-Joseph Fourier predice el flujo de calor en conductores de calor cuando están sometidos a la influencia de diferencias de temperatura.
La misma ecuación describe ambos fenómenos, y las variables de la ecuación adquieren significados diferentes en los dos casos. En concreto, la solución de un problema de conducción de calor (Fourier) con variables de temperatura (la "fuerza" impulsora) y flujo de calor (la velocidad de flujo de la "cantidad" impulsora, es decir, energía térmica) también resuelve un problema análogo de conducción eléctrica (Ohm) que tiene variables de potencial eléctrico (la "fuerza" impulsora) y corriente eléctrica (la velocidad de flujo de la "cantidad" impulsora, es decir, carga).
La base del trabajo de Fourier fue su clara concepción y definición de la conductividad térmica . Supuso que, en igualdad de condiciones, el flujo de calor es estrictamente proporcional al gradiente de temperatura. Aunque sin duda es cierto para gradientes de temperatura pequeños, el comportamiento estrictamente proporcional se perderá cuando los materiales reales (por ejemplo, aquellos que tienen una conductividad térmica que es una función de la temperatura) se sometan a grandes gradientes de temperatura.
En el enunciado de la ley de Ohm se hace una suposición similar: en igualdad de condiciones, la intensidad de la corriente en cada punto es proporcional al gradiente de potencial eléctrico. La exactitud de la suposición de que el flujo es proporcional al gradiente se puede comprobar más fácilmente, utilizando métodos de medición modernos, para el caso eléctrico que para el caso térmico.
La ley de Ohm, en la forma anterior, es una ecuación extremadamente útil en el campo de la ingeniería eléctrica/electrónica porque describe cómo el voltaje, la corriente y la resistencia están interrelacionados a un nivel "macroscópico", es decir, comúnmente, como elementos de un circuito eléctrico . Los físicos que estudian las propiedades eléctricas de la materia a nivel microscópico utilizan una ecuación vectorial estrechamente relacionada y más general , a veces también denominada ley de Ohm, que tiene variables que están estrechamente relacionadas con las variables escalares V, I y R de la ley de Ohm, pero que son cada una de ellas funciones de la posición dentro del conductor. Los físicos a menudo utilizan esta forma continua de la ley de Ohm: [37]
donde E es el vector de campo eléctrico con unidades de voltios por metro (análogo a V de la ley de Ohm que tiene unidades de voltios), J es el vector de densidad de corriente con unidades de amperios por unidad de área (análogo a I de la ley de Ohm que tiene unidades de amperios), y ρ " rho " es la resistividad con unidades de ohm·metros (análogo a R de la ley de Ohm que tiene unidades de ohmios). La ecuación anterior también se escribe [38] como J = σ E donde σ " sigma " es la conductividad que es el recíproco de ρ .
El voltaje entre dos puntos se define como: [39] con el elemento de trayectoria a lo largo de la integración del vector de campo eléctrico E . Si el campo E aplicado es uniforme y está orientado a lo largo de la longitud del conductor como se muestra en la figura, entonces definiendo el voltaje V en la convención habitual de ser opuesto en dirección al campo (ver figura), y con el entendimiento de que el voltaje V se mide diferencialmente a lo largo de la longitud del conductor permitiéndonos eliminar el símbolo Δ, la ecuación vectorial anterior se reduce a la ecuación escalar:
Dado que el campo E es uniforme en la dirección de la longitud del cable, para un conductor que tiene una resistividad uniformemente constante ρ, la densidad de corriente J también será uniforme en cualquier área de sección transversal y estará orientada en la dirección de la longitud del cable, por lo que podemos escribir: [40]
Sustituyendo los 2 resultados anteriores (para E y J respectivamente) en la forma continua que se muestra al comienzo de esta sección:
La resistencia eléctrica de un conductor uniforme se da en términos de resistividad por: [40] donde ℓ es la longitud del conductor en unidades SI de metros, a es el área de la sección transversal (para un cable redondo a = πr 2 si r es el radio) en unidades de metros al cuadrado, y ρ es la resistividad en unidades de ohm·metros.
Después de sustituir R de la ecuación anterior en la ecuación que la precede, la forma continua de la ley de Ohm para un campo uniforme (y una densidad de corriente uniforme) orientado a lo largo del conductor se reduce a la forma más familiar:
Una red cristalina perfecta, con un movimiento térmico lo suficientemente bajo y sin desviaciones de la estructura periódica, no tendría resistividad [41], pero un metal real tiene defectos cristalográficos , impurezas, múltiples isótopos y movimiento térmico de los átomos. Los electrones se dispersan de todos ellos, lo que genera resistencia a su flujo.
Las formas generalizadas más complejas de la ley de Ohm son importantes para la física de la materia condensada , que estudia las propiedades de la materia y, en particular, su estructura electrónica . En términos generales, se enmarcan en el tema de las ecuaciones constitutivas y la teoría de los coeficientes de transporte .
Si hay un campo B externo y el conductor no está en reposo sino que se mueve a una velocidad v , entonces se debe agregar un término adicional para tener en cuenta la corriente inducida por la fuerza de Lorentz sobre los portadores de carga.
En el sistema de reposo del conductor en movimiento, este término desaparece porque v = 0. No hay contradicción porque el campo eléctrico en el sistema de reposo difiere del campo E en el sistema de laboratorio: E′ = E + v × B. Los campos eléctrico y magnético son relativos, véase la transformación de Lorentz .
Si la corriente J es alterna porque el voltaje aplicado o el campo E varían en el tiempo, entonces se debe sumar la reactancia a la resistencia para tener en cuenta la autoinducción (véase impedancia eléctrica ). La reactancia puede ser fuerte si la frecuencia es alta o el conductor está enrollado.
En un fluido conductor, como un plasma , hay un efecto similar. Consideremos un fluido que se mueve con la velocidad en un campo magnético . El movimiento relativo induce un campo eléctrico que ejerce una fuerza eléctrica sobre las partículas cargadas dando lugar a una corriente eléctrica . La ecuación de movimiento para el gas de electrones, con una densidad numérica , se escribe como
donde , y son la carga, la masa y la velocidad de los electrones, respectivamente. Además, es la frecuencia de las colisiones de los electrones con iones que tienen un campo de velocidad . Dado que el electrón tiene una masa muy pequeña en comparación con la de los iones, podemos ignorar el lado izquierdo de la ecuación anterior para escribir
donde hemos utilizado la definición de densidad de corriente , y también hemos puesto que es la conductividad eléctrica . Esta ecuación también se puede escribir de forma equivalente como donde es la resistividad eléctrica . También es común escribir en lugar de que puede ser confuso ya que es la misma notación utilizada para la difusividad magnética definida como .
R= Ley de Ohm proporcional.
V=IR Ley de Ohm.
