Análisis dimensional

Análisis de las relaciones entre diferentes magnitudes físicas

En ingeniería y ciencia , el análisis dimensional es el análisis de las relaciones entre diferentes magnitudes físicas mediante la identificación de sus magnitudes base (como longitud , masa , tiempo y corriente eléctrica ) y unidades de medida (como metros y gramos) y el seguimiento de estas dimensiones a medida que se realizan cálculos o comparaciones. El término análisis dimensional también se utiliza para referirse a la conversión de unidades de una unidad dimensional a otra, que se puede utilizar para evaluar fórmulas científicas.

Las magnitudes físicas conmensurables son del mismo tipo y tienen la misma dimensión, y pueden compararse directamente entre sí, incluso si se expresan en diferentes unidades de medida; por ejemplo, metros y pies, gramos y libras, segundos y años. Las magnitudes físicas inconmensurables son de diferentes tipos y tienen diferentes dimensiones, y no pueden compararse directamente entre sí, sin importar en qué unidades se expresen, por ejemplo, metros y gramos, segundos y gramos, metros y segundos. Por ejemplo, preguntar si un gramo es más grande que una hora no tiene sentido.

Toda ecuación o desigualdad que tenga sentido desde el punto de vista físico debe tener las mismas dimensiones en sus lados izquierdo y derecho, una propiedad conocida como homogeneidad dimensional . La comprobación de la homogeneidad dimensional es una aplicación común del análisis dimensional, que sirve como comprobación de la verosimilitud de las ecuaciones y los cálculos derivados . También sirve como guía y restricción para derivar ecuaciones que puedan describir un sistema físico en ausencia de una derivación más rigurosa.

El concepto de dimensión física o dimensión de cantidad , y de análisis dimensional, fue introducido por Joseph Fourier en 1822. ^{[1] : 42}

Formulación

El teorema π de Buckingham describe cómo cada ecuación físicamente significativa que involucra n variables puede reescribirse de manera equivalente como una ecuación de n − m parámetros adimensionales, donde m es el rango de la matriz dimensional . Además, y lo más importante, proporciona un método para calcular estos parámetros adimensionales a partir de las variables dadas.

Una ecuación dimensional puede tener las dimensiones reducidas o eliminadas a través de la no dimensionalización , que comienza con el análisis dimensional e implica escalar cantidades mediante unidades características de un sistema o constantes físicas de la naturaleza. ^{[1] : 43} Esto puede brindar información sobre las propiedades fundamentales del sistema, como se ilustra en los ejemplos siguientes.

La dimensión de una cantidad física se puede expresar como un producto de las dimensiones físicas básicas, como la longitud, la masa y el tiempo, cada una elevada a una potencia entera (y, en ocasiones, racional ) . La dimensión de una cantidad física es más fundamental que alguna escala o unidad utilizada para expresar la cantidad de esa cantidad física. Por ejemplo, la masa es una dimensión, mientras que el kilogramo es una cantidad de referencia particular elegida para expresar una cantidad de masa. La elección de la unidad es arbitraria y, a menudo, su elección se basa en precedentes históricos. Las unidades naturales , al estar basadas únicamente en constantes universales, pueden considerarse "menos arbitrarias".

Existen muchas opciones posibles de dimensiones físicas básicas. El estándar SI selecciona las siguientes dimensiones y los símbolos de dimensión correspondientes :

tiempo (T), longitud (L), masa (M), corriente eléctrica (I), temperatura absoluta (Θ), cantidad de sustancia (N) e intensidad luminosa (J).

Los símbolos se escriben por convención generalmente en tipografía sans serif romana . ^[2] Matemáticamente, la dimensión de la cantidad Q está dada por

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}}$

donde a , b , c , d , e , f , g son los exponentes dimensionales. Otras magnitudes físicas podrían definirse como magnitudes base, siempre que formen una base ; por ejemplo, se podría reemplazar la dimensión (I) de la corriente eléctrica de la base del SI por una dimensión (Q) de la carga eléctrica , ya que Q = TI .

Una cantidad que tiene solo b ≠ 0 (con todos los demás exponentes cero) se conoce como una cantidad geométrica . Una cantidad que tiene solo a ≠ 0 y b ≠ 0 se conoce como una cantidad cinemática . Una cantidad que tiene solo a ≠ 0 , b ≠ 0 y c ≠ 0 se conoce como una cantidad dinámica . ^[3] Una cantidad que tiene todos los exponentes nulos se dice que tiene dimensión uno . ^[2]

La unidad elegida para expresar una magnitud física y su dimensión son conceptos relacionados, pero no idénticos. Las unidades de una magnitud física se definen por convención y se relacionan con algún estándar; por ejemplo, la longitud puede tener unidades de metros, pies, pulgadas, millas o micrómetros; pero cualquier longitud siempre tiene una dimensión de L, sin importar qué unidades de longitud se elijan para expresarla. Dos unidades diferentes de la misma magnitud física tienen factores de conversión que las relacionan. Por ejemplo, 1 pulgada = 2,54 cm ; en este caso, 2,54 cm/pulgada es el factor de conversión, que en sí mismo es adimensional. Por lo tanto, multiplicar por ese factor de conversión no cambia las dimensiones de una magnitud física.

También hay físicos que han puesto en duda la existencia misma de dimensiones fundamentales incompatibles de la cantidad física, ^[4] aunque esto no invalida la utilidad del análisis dimensional.

Casos sencillos

A modo de ejemplo, la dimensión de la cantidad física velocidad v es

${\displaystyle \operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.}$

La dimensión de la magnitud física aceleración a es

${\displaystyle \operatorname {dim} a={\frac {\text{speed}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.}$

La dimensión de la cantidad física fuerza F es

${\displaystyle \operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.}$

La dimensión de la cantidad física presión P es

${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{force}}{\text{area}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.}$

La dimensión de la cantidad física energía E es

${\displaystyle \operatorname {dim} E={\text{force}}\times {\text{displacement}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$

La dimensión de la cantidad física potencia P es

${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{energy}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$

La dimensión de la cantidad física carga eléctrica Q es

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\text{current}}\times {\text{time}}={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.}$

La dimensión de la cantidad física voltaje V es

${\displaystyle \operatorname {dim} V={\frac {\text{power}}{\text{current}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.}$

La dimensión de la cantidad física capacitancia C es

${\displaystyle \operatorname {dim} C={\frac {\text{electric charge}}{\text{electric potential difference}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.}$

El método de Rayleigh

En el análisis dimensional, el método de Rayleigh es una herramienta conceptual utilizada en física , química e ingeniería . Expresa una relación funcional de algunas variables en forma de ecuación exponencial . Recibe su nombre en honor a Lord Rayleigh .

El método implica los siguientes pasos:

1. Reúna todas las variables independientes que probablemente influyan en la variable dependiente .
2. Si R es una variable que depende de las variables independientes R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _n , entonces la ecuación funcional puede escribirse como R = F ( R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _n ) .
3. Escriba la ecuación anterior en la forma R = C R ₁ ^a R ₂ ^b R ₃ ^c ... R _n ^m , donde C es una constante adimensional y a , b , c , ..., m son exponentes arbitrarios.
4. Expresar cada una de las cantidades de la ecuación en algunas unidades base en las que se requiere la solución.
5. Utilizando homogeneidad dimensional, obtenga un conjunto de ecuaciones simultáneas que involucren los exponentes a , b , c , ..., m .
6. Resuelve estas ecuaciones para obtener los valores de los exponentes a , b , c , ..., m .
7. Sustituye los valores de los exponentes en la ecuación principal y forma los parámetros adimensionales agrupando las variables con exponentes iguales.

Como inconveniente, el método de Rayleigh no proporciona ninguna información sobre el número de grupos adimensionales que se obtendrán como resultado del análisis dimensional.

Números concretos y unidades base

Muchos parámetros y mediciones en las ciencias físicas y la ingeniería se expresan como un número concreto : una cantidad numérica y una unidad dimensional correspondiente. A menudo, una cantidad se expresa en términos de varias otras cantidades; por ejemplo, la velocidad es una combinación de longitud y tiempo, p. ej., 60 kilómetros por hora o 1,4 kilómetros por segundo. Las relaciones compuestas con "por" se expresan con división , p. ej., 60 km/h. Otras relaciones pueden implicar multiplicación (que a menudo se muestra con un punto centrado o yuxtaposición ), potencias (como m ² para metros cuadrados) o combinaciones de las mismas.

Un conjunto de unidades base para un sistema de medición es un conjunto de unidades elegidas convencionalmente, ninguna de las cuales puede expresarse como una combinación de las otras y en términos de las cuales pueden expresarse todas las unidades restantes del sistema. ^[5] Por ejemplo, las unidades de longitud y tiempo normalmente se eligen como unidades base. Las unidades de volumen , sin embargo, pueden factorizarse en las unidades base de longitud (m ³ ), por lo que se consideran unidades derivadas o compuestas.

A veces, los nombres de las unidades ocultan el hecho de que son unidades derivadas. Por ejemplo, un newton (N) es una unidad de fuerza , que puede expresarse como el producto de la masa (con la unidad kg) y la aceleración (con la unidad m⋅s ⁻² ). El newton se define como 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² .

Porcentajes, derivadas e integrales

Los porcentajes son magnitudes adimensionales, ya que son cocientes de dos magnitudes con las mismas dimensiones. En otras palabras, el signo % puede leerse como "centésimas", ya que 1% = 1/100 .

Al tomar una derivada con respecto a una cantidad se divide la dimensión por la dimensión de la variable con respecto a la cual se deriva. Por lo tanto:

• la posición ( x ) tiene la dimensión L (longitud);
• la derivada de la posición con respecto al tiempo ( dx / dt , velocidad ) tiene dimensión T ⁻¹ L—longitud desde la posición, tiempo debido al gradiente;
• la segunda derivada ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , aceleración ) tiene dimensión T ⁻² L .

De la misma manera, al tomar una integral se suma la dimensión de la variable con respecto a la cual se está integrando, pero en el numerador.

• la fuerza tiene la dimensión T ⁻² L M (masa multiplicada por la aceleración);
• la integral de la fuerza con respecto a la distancia ( s ) que ha recorrido el objeto ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \int F\ ds}$ , trabajo ) tiene dimensión T ⁻² L ² M .

En economía, se distingue entre stocks y flujos : un stock tiene una unidad (por ejemplo, widgets o dólares), mientras que un flujo es un derivado de un stock, y tiene una unidad en la forma de esta unidad dividida por una unidad de tiempo (por ejemplo, dólares/año).

En algunos contextos, las cantidades dimensionales se expresan como cantidades adimensionales o porcentajes omitiendo algunas dimensiones. Por ejemplo, las razones deuda/PIB generalmente se expresan como porcentajes: deuda total pendiente (dimensión de la moneda) dividida por el PIB anual (dimensión de la moneda); pero se podría argumentar que, al comparar un stock con un flujo, el PIB anual debería tener dimensiones de moneda/tiempo (dólares/año, por ejemplo) y, por lo tanto, la razón deuda/PIB debería tener la unidad año, lo que indica que la razón deuda/PIB es el número de años necesarios para que un PIB constante pague la deuda, si todo el PIB se gasta en la deuda y la deuda no varía en lo demás.

Homogeneidad dimensional (conmensurabilidad)

La regla más básica del análisis dimensional es la de homogeneidad dimensional. ^[6]

Sólo las cantidades conmensurables (cantidades físicas que tienen la misma dimensión) se pueden comparar , igualar , sumar o restar .

Sin embargo, las dimensiones forman un grupo abeliano bajo la multiplicación, por lo que:

Se pueden tomar proporciones de cantidades inconmensurables (cantidades con diferentes dimensiones) y multiplicarlas o dividirlas .

Por ejemplo, no tiene sentido preguntar si 1 hora es más, igual o menos que 1 kilómetro, ya que tienen dimensiones diferentes, ni tampoco sumar 1 hora a 1 kilómetro. Sin embargo, sí tiene sentido preguntar si 1 milla es más, igual o menos que 1 kilómetro, siendo la misma dimensión de la magnitud física aunque las unidades sean diferentes. Por otro lado, si un objeto recorre 100 km en 2 horas, se pueden dividir estos datos y concluir que la velocidad media del objeto fue de 50 km/h.

La regla implica que en una expresión físicamente significativa solo se pueden sumar, restar o comparar cantidades de la misma dimensión. Por ejemplo, si m _hombre , m _rata y L _hombre denotan, respectivamente, la masa de un hombre, la masa de una rata y la longitud de ese hombre, la expresión dimensionalmente homogénea m _hombre + m _rata es significativa, pero la expresión heterogénea m _hombre + L _hombre no tiene sentido. Sin embargo, m _hombre / L ² _hombre está bien. Por lo tanto, el análisis dimensional puede usarse como una comprobación de la cordura de las ecuaciones físicas: los dos lados de cualquier ecuación deben ser conmensurables o tener las mismas dimensiones.

Incluso cuando dos magnitudes físicas tienen dimensiones idénticas, puede no tener sentido compararlas o sumarlas. Por ejemplo, aunque el par y la energía comparten la dimensión T ⁻² L ² M , son magnitudes físicas fundamentalmente diferentes.

Para comparar, sumar o restar cantidades con las mismas dimensiones pero expresadas en unidades diferentes, el procedimiento estándar es convertirlas primero a la misma unidad. Por ejemplo, para comparar 32 metros con 35 yardas, utilice 1 yarda = 0,9144 m para convertir 35 yardas a 32,004 m.

Un principio relacionado es que cualquier ley física que describa con precisión el mundo real debe ser independiente de las unidades utilizadas para medir las variables físicas. ^[7] Por ejemplo, las leyes de movimiento de Newton deben ser válidas independientemente de que la distancia se mida en millas o kilómetros. Este principio da lugar a la forma en que un factor de conversión entre dos unidades que miden la misma dimensión debe tomar la multiplicación por una constante simple. También garantiza la equivalencia; por ejemplo, si dos edificios tienen la misma altura en pies, entonces deben tener la misma altura en metros.

Factor de conversión

En el análisis dimensional, una relación que convierte una unidad de medida en otra sin cambiar la cantidad se llama factor de conversión . Por ejemplo, kPa y bar son ambas unidades de presión, y 100 kPa = 1 bar . Las reglas del álgebra permiten que ambos lados de una ecuación se dividan por la misma expresión, por lo que esto es equivalente a 100 kPa / 1 bar = 1. Dado que cualquier cantidad se puede multiplicar por 1 sin cambiarla, la expresión " 100 kPa / 1 bar " se puede utilizar para convertir de bares a kPa multiplicándola por la cantidad que se va a convertir, incluida la unidad. Por ejemplo, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa porque 5 × 100 / 1 = 500 , y bar/bar se cancelan, por lo que 5 bar = 500 kPa .

Aplicaciones

El análisis dimensional se utiliza con mayor frecuencia en física y química (y en las matemáticas correspondientes), pero también encuentra algunas aplicaciones fuera de esos campos.

Matemáticas

Una aplicación sencilla del análisis dimensional a las matemáticas consiste en calcular la forma del volumen de una bola n (la bola sólida en n dimensiones), o el área de su superficie, la n -esfera : al ser una figura n -dimensional, el volumen se escala como x ⁿ , mientras que el área de la superficie, al ser ( n − 1) -dimensional, se escala como x ^{n −1} . Por lo tanto, el volumen de la bola n en términos del radio es C _n r ⁿ , para una constante C _n . Determinar la constante requiere matemáticas más complejas, pero la forma se puede deducir y comprobar solo mediante el análisis dimensional.

Finanzas, economía y contabilidad

En finanzas, economía y contabilidad, el análisis dimensional se utiliza más comúnmente en términos de la distinción entre stocks y flujos . En términos más generales, el análisis dimensional se utiliza para interpretar diversos índices financieros , económicos y contables.

• Por ejemplo, la relación P/E tiene dimensiones de tiempo (unidad: año), y puede interpretarse como "años de ganancias para obtener el precio pagado".
• En economía, la relación deuda/PIB también tiene como unidad el año (la deuda tiene como unidad la moneda, el PIB tiene como unidad la moneda/año).
• La velocidad del dinero tiene una unidad de 1/año (el PIB/oferta monetaria tiene una unidad de moneda/año sobre moneda): cada cuánto tiempo circula una unidad de moneda por año.
• Las tasas de interés anuales compuestas continuamente y las tasas de interés simples se expresan a menudo como un porcentaje (cantidad adimensional), mientras que el tiempo se expresa como una cantidad adimensional que consiste en el número de años. Sin embargo, si el tiempo incluye el año como unidad de medida, la dimensión de la tasa es 1/año. Por supuesto, no hay nada especial (aparte de la convención habitual) en usar el año como unidad de tiempo: se puede usar cualquier otra unidad de tiempo. Además, si la tasa y el tiempo incluyen sus unidades de medida, el uso de unidades diferentes para cada una no es problemático. En cambio, la tasa y el tiempo deben referirse a un período común si son adimensionales. (Obsérvese que las tasas de interés efectivas solo se pueden definir como cantidades adimensionales).
• En el análisis financiero, la duración de un bono se puede definir como ( dV / dr )/ V , donde V es el valor de un bono (o cartera), r es la tasa de interés compuesta continuamente y dV / dr es una derivada. Del punto anterior, la dimensión de r es 1/tiempo. Por lo tanto, la dimensión de la duración es el tiempo (generalmente expresado en años) porque dr está en el "denominador" de la derivada.

Mecánica de fluidos

En mecánica de fluidos , el análisis dimensional se realiza para obtener términos o grupos pi adimensionales . De acuerdo con los principios del análisis dimensional, cualquier prototipo puede describirse mediante una serie de estos términos o grupos que describen el comportamiento del sistema. Utilizando términos o grupos pi adecuados, es posible desarrollar un conjunto similar de términos pi para un modelo que tenga las mismas relaciones dimensionales. ^[8] En otras palabras, los términos pi proporcionan un atajo para desarrollar un modelo que represente un determinado prototipo. Los grupos adimensionales comunes en mecánica de fluidos incluyen:

• Número de Reynolds ( Re ), generalmente importante en todo tipo de problemas de fluidos: $${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.}$$
• Número de Froude ( Fr ), modelado de flujo con superficie libre: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$$
• Número de Euler ( Eu ), utilizado en problemas en los que la presión es de interés: $${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}$$
• Número de Mach ( Ma ), importante en flujos de alta velocidad donde la velocidad se aproxima o supera la velocidad local del sonido: donde c es la velocidad local del sonido. $${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$$

Historia

Los orígenes del análisis dimensional han sido disputados por los historiadores. ^{[9] [10]} La primera aplicación escrita del análisis dimensional se atribuye a François Daviet , un estudiante de Joseph-Louis Lagrange , en un artículo de 1799 en la Academia de Ciencias de Turín . ^[10]

Esto llevó a la conclusión de que las leyes significativas deben ser ecuaciones homogéneas en sus diversas unidades de medida, un resultado que finalmente se formalizó más tarde en el teorema π de Buckingham . Simeon Poisson también trató el mismo problema de la ley del paralelogramo de Daviet, en su tratado de 1811 y 1833 (vol I, p. 39). ^[11] En la segunda edición de 1833, Poisson introduce explícitamente el término dimensión en lugar de la homogeneidad de Daviet .

En 1822, el importante científico napoleónico Joseph Fourier realizó las primeras contribuciones importantes reconocidas ^[12] basadas en la idea de que leyes físicas como F = ma deberían ser independientes de las unidades empleadas para medir las variables físicas.

James Clerk Maxwell jugó un papel importante en el establecimiento del uso moderno del análisis dimensional al distinguir masa, longitud y tiempo como unidades fundamentales, mientras se refería a otras unidades como derivadas. ^[13] Aunque Maxwell definió longitud, tiempo y masa como "las tres unidades fundamentales", también señaló que la masa gravitacional se puede derivar de la longitud y el tiempo asumiendo una forma de la ley de gravitación universal de Newton en la que la constante gravitacional G se toma como la unidad , definiendo así M = T ⁻² L ³ . ^[14] Al asumir una forma de la ley de Coulomb en la que la constante de Coulomb k _e se toma como la unidad, Maxwell determinó entonces que las dimensiones de una unidad electrostática de carga eran Q = T ⁻¹ L ^3/2 M ^1/2 , ^[15] lo que, después de sustituir su ecuación M = T ⁻² L ³ por masa, da como resultado que la carga tiene las mismas dimensiones que la masa, es decir, Q = T ⁻² L ³ .

El análisis dimensional también se utiliza para derivar relaciones entre las magnitudes físicas que intervienen en un fenómeno particular que se desea comprender y caracterizar. Fue utilizado por primera vez de esta manera en 1872 por Lord Rayleigh , que intentaba comprender por qué el cielo es azul. ^[16] Rayleigh publicó por primera vez la técnica en su libro de 1877 The Theory of Sound . ^[17]

El significado original de la palabra dimensión , en la Teoría del Calor de Fourier , era el valor numérico de los exponentes de las unidades base. Por ejemplo, se consideraba que la aceleración tenía la dimensión 1 con respecto a la unidad de longitud, y la dimensión −2 con respecto a la unidad de tiempo. ^[18] Esto fue ligeramente modificado por Maxwell, quien dijo que las dimensiones de la aceleración son T ⁻² L, en lugar de solo los exponentes. ^[19]

Ejemplos

Un ejemplo sencillo: período de un oscilador armónico

¿Cuál es el período de oscilación T de una masa m unida a un resorte lineal ideal con constante elástica k suspendida en gravedad de fuerza g ? Ese período es la solución para T de alguna ecuación adimensional en las variables T , m , k y g . Las cuatro cantidades tienen las siguientes dimensiones: T [T]; m [M]; k [M/T ² ]; y g [L/T ² ]. A partir de estas podemos formar solo un producto adimensional de potencias de nuestras variables elegidas, G ₁ = T ² k / m [T ² · M/T ² / M = 1] , y al poner G ₁ = C para alguna constante adimensional C se obtiene la ecuación adimensional buscada. El producto adimensional de potencias de variables a veces se denomina grupo adimensional de variables; aquí el término "grupo" significa "colección" en lugar de grupo matemático . A menudo también se les llama números adimensionales .

La variable g no ocurre en el grupo. Es fácil ver que es imposible formar un producto adimensional de potencias que combine g con k , m y T , porque g es la única cantidad que involucra la dimensión L. Esto implica que en este problema g es irrelevante. El análisis dimensional a veces puede producir afirmaciones fuertes sobre la irrelevancia de algunas cantidades en un problema, o la necesidad de parámetros adicionales. Si hemos elegido suficientes variables para describir adecuadamente el problema, entonces de este argumento podemos concluir que el período de la masa en el resorte es independiente de g : es el mismo en la Tierra o en la Luna. La ecuación que demuestra la existencia de un producto de potencias para nuestro problema se puede escribir de una manera completamente equivalente: ⁠ ⁠ ${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$ , para alguna constante adimensional κ (igual a de la ecuación adimensional original). ${\displaystyle {\sqrt {C}}}$

Cuando nos enfrentamos a un caso en el que el análisis dimensional rechaza una variable ( g , aquí) que uno intuitivamente espera que pertenezca a una descripción física de la situación, otra posibilidad es que la variable rechazada sea de hecho relevante, pero que se haya omitido alguna otra variable relevante, que podría combinarse con la variable rechazada para formar una cantidad adimensional. Sin embargo, ese no es el caso aquí.

Cuando el análisis dimensional produce sólo un grupo adimensional, como aquí, no hay funciones desconocidas y se dice que la solución es "completa", aunque todavía puede involucrar constantes adimensionales desconocidas, como κ .

Un ejemplo más complejo: la energía de una cuerda vibrante

Consideremos el caso de un alambre vibrante de longitud ℓ (L) que vibra con una amplitud A (L). El alambre tiene una densidad lineal ρ (M/L) y está bajo tensión s (LM/T ² ), y queremos saber la energía E (L ² M/T ² ) en el alambre. Sean π ₁ y π ₂ dos productos adimensionales de potencias de las variables elegidas, dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}$

La densidad lineal del alambre no interviene. Los dos grupos encontrados se pueden combinar en una forma equivalente como ecuación.

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}$

donde F es alguna función desconocida, o, equivalentemente, como

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}$

donde f es alguna otra función desconocida. Aquí la función desconocida implica que nuestra solución ahora está incompleta, pero el análisis dimensional nos ha dado algo que puede no haber sido obvio: la energía es proporcional a la primera potencia de la tensión. Salvo un análisis analítico adicional, podríamos proceder a realizar experimentos para descubrir la forma de la función desconocida  f . Pero nuestros experimentos son más simples que en ausencia de análisis dimensional. No realizaríamos ninguno para verificar que la energía es proporcional a la tensión. O tal vez podríamos suponer que la energía es proporcional a  ℓ , y así inferir que E = ℓs . El poder del análisis dimensional como ayuda para experimentar y formular hipótesis se hace evidente.

El poder del análisis dimensional realmente se hace evidente cuando se aplica a situaciones que, a diferencia de las dadas anteriormente, son más complicadas, el conjunto de variables involucradas no es evidente y las ecuaciones subyacentes son desesperanzadamente complejas. Consideremos, por ejemplo, una pequeña piedra que se encuentra en el lecho de un río. Si el río fluye lo suficientemente rápido, en realidad levantará la piedra y hará que fluya junto con el agua. ¿A qué velocidad crítica ocurrirá esto? Ordenar las variables supuestas no es tan fácil como antes. Pero el análisis dimensional puede ser una poderosa ayuda para comprender problemas como este y, por lo general, es la primera herramienta que se aplica a problemas complejos donde las ecuaciones y restricciones subyacentes se entienden mal. En tales casos, la respuesta puede depender de un número adimensional como el número de Reynolds , que puede interpretarse mediante análisis dimensional.

Un tercer ejemplo: demanda versus capacidad para un disco giratorio

Análisis dimensional y experimentos numéricos para un disco giratorio

Consideremos el caso de un disco giratorio delgado, sólido, de lados paralelos, de espesor axial t (L) y radio R (L). El disco tiene una densidad ρ (M/L ³ ), gira a una velocidad angular ω (T ⁻¹ ) y esto conduce a una tensión S (T ⁻² L ⁻¹ M) en el material. Existe una solución elástica lineal teórica, dada por Lame, para este problema cuando el disco es delgado en relación con su radio, las caras del disco son libres de moverse axialmente y se puede suponer que las relaciones constitutivas de tensión plana son válidas. A medida que el disco se vuelve más grueso en relación con el radio, la solución de tensión plana se rompe. Si el disco está restringido axialmente en sus caras libres, se producirá un estado de deformación plana. Sin embargo, si este no es el caso, entonces el estado de tensión solo puede determinarse a través de la consideración de la elasticidad tridimensional y no hay una solución teórica conocida para este caso. Por lo tanto, un ingeniero podría estar interesado en establecer una relación entre las cinco variables. El análisis dimensional para este caso conduce a los siguientes grupos adimensionales ( 5 − 3 = 2 ):

demanda/capacidad = ρR ² ω ² / S

Espesor/radio o relación de aspecto = t / R

Mediante el uso de experimentos numéricos que utilizan, por ejemplo, el método de elementos finitos , se puede obtener la naturaleza de la relación entre los dos grupos adimensionales, como se muestra en la figura. Como este problema solo involucra dos grupos adimensionales, la imagen completa se proporciona en un solo gráfico y este se puede utilizar como un gráfico de diseño/evaluación para discos giratorios. ^[20]

Propiedades

Propiedades matemáticas

Las dimensiones que se pueden formar a partir de una colección dada de dimensiones físicas básicas, como T, L y M, forman un grupo abeliano : La identidad se escribe como 1; ^{[ cita requerida ]} L ⁰ = 1 , y la inversa de L es 1/L o L ⁻¹ . L elevado a cualquier potencia entera p es un miembro del grupo, que tiene una inversa de L ^{− p} o 1/L ^p . La operación del grupo es la multiplicación, que tiene las reglas habituales para el manejo de exponentes ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ). Físicamente, 1/L se puede interpretar como longitud recíproca y 1/T como tiempo recíproco (ver segundo recíproco ).

Un grupo abeliano es equivalente a un módulo sobre los números enteros, con el símbolo dimensional T ⁱ L ^j M ^k correspondiente a la tupla ( i , j , k ) . Cuando las cantidades físicas medidas (sean de igual o diferente dimensión) se multiplican o dividen entre sí, sus unidades dimensionales también se multiplican o dividen; esto corresponde a la adición o sustracción en el módulo. Cuando las cantidades medibles se elevan a una potencia entera, se hace lo mismo con los símbolos dimensionales asociados a esas cantidades; esto corresponde a la multiplicación escalar en el módulo.

La base de un módulo de símbolos dimensionales se denomina conjunto de magnitudes base y todos los demás vectores se denominan unidades derivadas. Como en cualquier módulo, se pueden elegir diferentes bases , lo que da lugar a diferentes sistemas de unidades (por ejemplo, elegir si la unidad de carga se deriva de la unidad de corriente, o viceversa).

La identidad del grupo, la dimensión de las cantidades adimensionales, corresponde al origen en este módulo, (0, 0, 0) .

En ciertos casos, se pueden definir dimensiones fraccionarias, específicamente definiendo formalmente potencias fraccionarias de espacios vectoriales unidimensionales, como V ^{L 1/2} . ^[21] Sin embargo, no es posible tomar potencias fraccionarias arbitrarias de unidades, debido a obstrucciones de la teoría de la representación . ^[22]

Se puede trabajar con espacios vectoriales con dimensiones dadas sin necesidad de utilizar unidades (correspondientes a los sistemas de coordenadas de los espacios vectoriales). Por ejemplo, dadas las dimensiones M y L , se tienen los espacios vectoriales V ^M y V ^L , y se puede definir V ^ML  := V ^M ⊗ V ^L como el producto tensorial . De manera similar, el espacio dual puede interpretarse como que tiene dimensiones "negativas". ^[23] Esto corresponde al hecho de que bajo el emparejamiento natural entre un espacio vectorial y su dual, las dimensiones se cancelan, dejando un escalar adimensional .

El conjunto de unidades de las magnitudes físicas implicadas en un problema corresponde a un conjunto de vectores (o una matriz). La nulidad describe un número (por ejemplo, m ) de formas en las que estos vectores pueden combinarse para producir un vector cero. Estas corresponden a la producción (a partir de las mediciones) de un número de magnitudes adimensionales, {π ₁ , ..., π _m } . (De hecho, estas formas abarcan completamente el subespacio nulo de otro espacio diferente, de potencias de las mediciones). Cada forma posible de multiplicar (y exponenciar ) juntas las magnitudes medidas para producir algo con la misma unidad que alguna magnitud derivada X puede expresarse en la forma general

${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}$

En consecuencia, cada posible ecuación proporcional para la física del sistema puede reescribirse en la forma

${\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}$

Conocer esta restricción puede ser una herramienta poderosa para obtener nueva perspectiva del sistema.

Mecánica

La dimensión de las magnitudes físicas de interés en mecánica se puede expresar en términos de dimensiones base T, L y M, que forman un espacio vectorial tridimensional. Esta no es la única elección válida de dimensiones base, pero es la que se utiliza con más frecuencia. Por ejemplo, se podría elegir fuerza, longitud y masa como dimensiones base (como algunos han hecho), con dimensiones asociadas F, L, M; esto corresponde a una base diferente, y se puede convertir entre estas representaciones mediante un cambio de base . La elección del conjunto base de dimensiones es, por tanto, una convención, con el beneficio de una mayor utilidad y familiaridad. La elección de las dimensiones base no es completamente arbitraria, porque deben formar una base : deben abarcar el espacio y ser linealmente independientes .

Por ejemplo, F, L, M forman un conjunto de dimensiones fundamentales porque forman una base que es equivalente a T, L, M: la primera puede expresarse como [F = LM/T ² ], L, M, mientras que la segunda puede expresarse como [T = (LM/F) ^1/2 ], L, M.

Por otra parte, la longitud, la velocidad y el tiempo (T, L, V) no forman un conjunto de dimensiones base para la mecánica, por dos razones:

• No hay manera de obtener masa – ni nada derivado de ella, como la fuerza – sin introducir otra dimensión base (por lo tanto, no abarcan el espacio ).
• La velocidad, al poder expresarse en términos de longitud y tiempo ( V = L/T ), es redundante (el conjunto no es linealmente independiente ).

Otros campos de la física y la química

Dependiendo del campo de la física, puede ser ventajoso elegir uno u otro conjunto extendido de símbolos dimensionales. En electromagnetismo, por ejemplo, puede ser útil utilizar las dimensiones de T, L, M y Q, donde Q representa la dimensión de la carga eléctrica . En termodinámica , el conjunto básico de dimensiones se extiende a menudo para incluir una dimensión para la temperatura, Θ. En química, la cantidad de sustancia (el número de moléculas dividido por la constante de Avogadro , ≈6,02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ) también se define como una dimensión base, N. En la interacción del plasma relativista con pulsos láser fuertes, se construye un parámetro de similitud relativista adimensional , conectado con las propiedades de simetría de la ecuación de Vlasov sin colisiones , a partir de las densidades de plasma, electrónica y crítica además del potencial vectorial electromagnético. La elección de las dimensiones o incluso el número de dimensiones que se utilizarán en diferentes campos de la física es hasta cierto punto arbitraria, pero la consistencia en el uso y la facilidad de comunicaciones son características comunes y necesarias.

Polinomios y funciones trascendentales

El teorema de Bridgman restringe el tipo de función que se puede usar para definir una cantidad física desde cantidades generales (compuestas dimensionalmente) a solo productos de potencias de las cantidades, a menos que algunas de las cantidades independientes se combinen algebraicamente para producir grupos adimensionales, cuyas funciones se agrupan en el factor multiplicador numérico adimensional. ^{[24] [25]} Esto excluye polinomios de más de un término o funciones trascendentales que no sean de esa forma.

Los argumentos escalares de funciones trascendentales como las exponenciales , trigonométricas y logarítmicas , o de polinomios no homogéneos , deben ser cantidades adimensionales . (Nota: este requisito se relaja un poco en el análisis orientacional de Siano que se describe a continuación, en el que el cuadrado de ciertas cantidades adimensionales son adimensionales).

Aunque la mayoría de las identidades matemáticas sobre números adimensionales se traducen de manera directa a cantidades dimensionales, se debe tener cuidado con los logaritmos de razones: la identidad log( a / b ) = log  a − log  b , donde el logaritmo se toma en cualquier base, es válida para números adimensionales a y b , pero no es válida si a y b son dimensionales, porque en este caso el lado izquierdo está bien definido pero el lado derecho no. ^[26]

De manera similar, si bien se pueden evaluar monomios ( x ⁿ ) de cantidades dimensionales, no se pueden evaluar polinomios de grado mixto con coeficientes adimensionales en cantidades dimensionales: para x ² , la expresión (3 m) ² = 9 m ² tiene sentido (como área), mientras que para x ² + x , la expresión (3 m) ² + 3 m = 9 m ² + 3 m no tiene sentido.

Sin embargo, los polinomios de grado mixto pueden tener sentido si los coeficientes son magnitudes físicas elegidas adecuadamente que no sean adimensionales. Por ejemplo,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.}$

Esta es la altura a la que se eleva un objeto en el tiempo  t si la aceleración de la gravedad es de 9,8 metros por segundo por segundo y la velocidad ascendente inicial es de 500 metros por segundo . No es necesario que t esté en segundos . Por ejemplo, supongamos que t  = 0,01 minutos. Entonces el primer término sería

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}}$

Combinando unidades y valores numéricos

El valor de una cantidad física dimensional Z se escribe como el producto de una unidad [ Z ] dentro de la dimensión y un valor numérico adimensional o factor numérico, n . ^[27]

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

Cuando se suman, restan o comparan cantidades de dimensiones similares, es conveniente expresarlas en la misma unidad para que los valores numéricos de estas cantidades se puedan sumar o restar directamente. Pero, en teoría, no hay problema en sumar cantidades de la misma dimensión expresadas en unidades diferentes. Por ejemplo, 1 metro sumado a 1 pie es una longitud, pero no se puede derivar esa longitud simplemente sumando 1 y 1. Se necesita un factor de conversión , que es una relación de cantidades de dimensiones similares y es igual a la unidad adimensional:

${\displaystyle \mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m} }$es idéntico a ${\displaystyle 1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.}$

El factor 0,3048 m/ft es idéntico al 1 adimensional, por lo que al multiplicarlo por este factor de conversión no se produce ningún cambio. Luego, al sumar dos cantidades de la misma dimensión, pero expresadas en unidades diferentes, se utiliza el factor de conversión adecuado, que es esencialmente el 1 adimensional, para convertir las cantidades a la misma unidad de modo que se puedan sumar o restar sus valores numéricos.

Sólo de esta manera tiene sentido hablar de sumar cantidades de dimensiones iguales pero con unidades diferentes.

Ecuaciones cuantitativas

Una ecuación de cantidad , también llamada a veces ecuación completa , es una ecuación que sigue siendo válida independientemente de la unidad de medida utilizada al expresar las cantidades físicas . ^[28]

En cambio, en una ecuación de valor numérico , sólo aparecen los valores numéricos de las cantidades, sin unidades. Por lo tanto, sólo es válida cuando cada valor numérico está referenciado a una unidad específica.

Por ejemplo, una ecuación de cantidad para el desplazamiento d como velocidad s multiplicada por la diferencia de tiempo t sería:

d = s ​

Para s = 5 m/s, donde t y d pueden expresarse en cualquier unidad, convertida en caso necesario. En cambio, una ecuación numérica correspondiente sería:

D = 5 T

donde T es el valor numérico de t cuando se expresa en segundos y D es el valor numérico de d cuando se expresa en metros.

En general, se desaconseja el uso de ecuaciones con valores numéricos. ^[28]

Conceptos adimensionales

Constantes

Las constantes adimensionales que surgen en los resultados obtenidos, como la C en el problema de la Ley de Poiseuille y la κ en los problemas de resortes discutidos anteriormente, provienen de un análisis más detallado de la física subyacente y a menudo surgen de la integración de alguna ecuación diferencial. El análisis dimensional en sí tiene poco que decir sobre estas constantes, pero es útil saber que muy a menudo tienen una magnitud de orden uno. Esta observación puede permitir que uno a veces haga cálculos " a ojo de buen cubero " sobre el fenómeno de interés y, por lo tanto, pueda diseñar experimentos más eficientemente para medirlo o juzgar si es importante, etc.

Formalismos

Paradójicamente, el análisis dimensional puede ser una herramienta útil incluso si todos los parámetros en la teoría subyacente son adimensionales, por ejemplo, los modelos de red como el modelo de Ising se pueden utilizar para estudiar transiciones de fase y fenómenos críticos. Dichos modelos se pueden formular de una manera puramente adimensional. A medida que nos acercamos cada vez más al punto crítico, la distancia sobre la que se correlacionan las variables en el modelo de red (la llamada longitud de correlación, χ ) se hace cada vez más grande. Ahora bien, la longitud de correlación es la escala de longitud relevante relacionada con los fenómenos críticos, por lo que se puede, por ejemplo, suponer sobre "bases dimensionales" que la parte no analítica de la energía libre por sitio de red debería ser ~ 1/ χ ^d , donde d es la dimensión de la red.

Algunos físicos, como Michael J. Duff ^{[4] [29],} han argumentado que las leyes de la física son inherentemente adimensionales. El hecho de que hayamos asignado dimensiones incompatibles a la longitud, el tiempo y la masa es, según este punto de vista, simplemente una cuestión de convención, que surge del hecho de que antes del advenimiento de la física moderna, no había forma de relacionar la masa, la longitud y el tiempo entre sí. Las tres constantes dimensionales independientes: c , ħ y G , en las ecuaciones fundamentales de la física deben verse entonces como meros factores de conversión para convertir la masa, el tiempo y la longitud entre sí.

Al igual que en el caso de las propiedades críticas de los modelos reticulares, se pueden recuperar los resultados del análisis dimensional en el límite de escala apropiado; por ejemplo, el análisis dimensional en mecánica se puede derivar reinsertando las constantes ħ , c y G (pero ahora podemos considerarlas adimensionales) y exigiendo que exista una relación no singular entre cantidades en el límite c → ∞ , ħ → 0 y G → 0 . En problemas que involucran un campo gravitacional, el último límite debe tomarse de modo que el campo permanezca finito.

Equivalencias dimensionales

A continuación se presentan tablas de expresiones comunes en física, relacionadas con las dimensiones de energía, momento y fuerza. ^{[30] [31] [32]}

Unidades del SI

Lenguajes de programación

La corrección dimensional como parte de la verificación de tipos se ha estudiado desde 1977. ^[33] Las implementaciones para Ada ^[34] y C++ ^[35] se describieron en 1985 y 1988. La tesis de Kennedy de 1996 describe una implementación en Standard ML , ^[36] y más tarde en F# . ^[37] Hay implementaciones para Haskell , ^[38] OCaml , ^[39] y Rust , ^[40] Python, ^[41] y un verificador de código para Fortran . ^{[42] [43] La tesis de Griffioen de 2019 amplió} el sistema de tipos Hindley-Milner
de Kennedy para admitir las matrices de Hart. ^{[44] [45]} McBride y Nordvall-Forsberg muestran cómo usar tipos dependientes para extender los sistemas de tipos para unidades de medida. ^[46]

Mathematica 13.2 tiene una función para transformaciones con cantidades llamada NondimensionalizationTransform que aplica una transformación de no dimensionalización a una ecuación. ^[47] Mathematica también tiene una función para encontrar las dimensiones de una unidad como 1 J llamada UnitDimensions. ^[48] Mathematica también tiene una función que encontrará combinaciones dimensionalmente equivalentes de un subconjunto de cantidades físicas llamada DimensionalCombations. ^[49] Mathematica también puede factorizar cierta dimensión con UnitDimensions especificando un argumento para la función UnityDimensions. ^[50] Por ejemplo, puede usar UnityDimensions para factorizar ángulos. ^[50] Además de UnitDimensions, Mathematica puede encontrar las dimensiones de una QuantityVariable con la función QuantityVariableDimensions. ^[51]

Geometría: posición vs. desplazamiento

Cantidades afines

Algunas discusiones sobre el análisis dimensional describen implícitamente todas las cantidades como vectores matemáticos. En matemáticas, los escalares se consideran un caso especial de vectores; ^{[ cita requerida ]} los vectores se pueden sumar o restar de otros vectores y, entre otras cosas, multiplicar o dividir por escalares. Si se utiliza un vector para definir una posición, esto supone un punto de referencia implícito: un origen . Si bien esto es útil y, a menudo, perfectamente adecuado, ya que permite detectar muchos errores importantes, puede fallar al modelar ciertos aspectos de la física. Un enfoque más riguroso requiere distinguir entre posición y desplazamiento (o momento en el tiempo versus duración, o temperatura absoluta versus cambio de temperatura).

Consideremos puntos de una línea, cada uno con una posición con respecto a un origen dado, y las distancias entre ellos. Las posiciones y los desplazamientos tienen unidades de longitud, pero su significado no es intercambiable:

• Sumar dos desplazamientos debería dar como resultado un nuevo desplazamiento (caminar diez pasos y luego veinte pasos te lleva a caminar treinta pasos hacia adelante).
• agregar un desplazamiento a una posición debería generar una nueva posición (caminar una cuadra por la calle desde una intersección te lleva a la siguiente intersección),
• restando dos posiciones debería obtenerse un desplazamiento,
• pero no se pueden sumar dos posiciones.

Esto ilustra la sutil distinción entre cantidades afines (aquellas modeladas por un espacio afín , como la posición) y cantidades vectoriales (aquellas modeladas por un espacio vectorial , como el desplazamiento).

• Las cantidades vectoriales se pueden sumar entre sí, produciendo una nueva cantidad vectorial, y una cantidad vectorial se puede sumar a una cantidad afín adecuada (un espacio vectorial actúa sobre un espacio afín), produciendo una nueva cantidad afín.
• Las cantidades afines no se pueden sumar, pero sí se pueden restar, obteniéndose cantidades relativas que son vectores, y estas diferencias relativas pueden entonces sumarse entre sí o a una cantidad afín.

Propiamente entonces, las posiciones tienen dimensión de longitud afín , mientras que los desplazamientos tienen dimensión de longitud vectorial . Para asignar un número a una unidad afín , no sólo hay que elegir una unidad de medida, sino también un punto de referencia , mientras que para asignar un número a una unidad vectorial sólo se requiere una unidad de medida.

Así, algunas cantidades físicas se modelan mejor mediante cantidades vectoriales, mientras que otras tienden a requerir una representación afín, y la distinción se refleja en su análisis dimensional.

Esta distinción es particularmente importante en el caso de la temperatura, para la cual el valor numérico del cero absoluto no es el origen 0 en algunas escalas. Para el cero absoluto,

−273,15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459,67 °F,

donde el símbolo ≘ significa corresponde a , ya que aunque estos valores en las respectivas escalas de temperatura corresponden, representan cantidades distintas de la misma manera que las distancias desde distintos puntos de partida hasta el mismo punto final son cantidades distintas, y en general no pueden ser equiparadas.

Para las diferencias de temperatura,

1 K = 1 °C ≠ 1 °F = 1 °R.

(Aquí, °R se refiere a la escala Rankine , no a la escala Réaumur ). La conversión de unidades para las diferencias de temperatura es simplemente una cuestión de multiplicar por, p. ej., 1 °F / 1 K (aunque la relación no es un valor constante). Pero debido a que algunas de estas escalas tienen orígenes que no corresponden al cero absoluto, la conversión de una escala de temperatura a otra requiere tener en cuenta eso. Como resultado, el análisis dimensional simple puede conducir a errores si es ambiguo si 1 K significa la temperatura absoluta igual a −272,15 °C o la diferencia de temperatura igual a 1 °C.

Orientación y marco de referencia

Similar a la cuestión del punto de referencia está la cuestión de la orientación: un desplazamiento en dos o tres dimensiones no es sólo una longitud, sino que es una longitud junto con una dirección . (En una dimensión, esta cuestión es equivalente a la distinción entre positivo y negativo.) Por lo tanto, para comparar o combinar cantidades bidimensionales en el espacio euclidiano multidimensional, también se necesita un rumbo: es necesario compararlas con un marco de referencia .

Esto nos lleva a las extensiones que se analizan a continuación, a saber, las dimensiones dirigidas de Huntley y el análisis orientacional de Siano.

Extensiones de Huntley

Huntley ha señalado que un análisis dimensional puede volverse más poderoso al descubrir nuevas dimensiones independientes en las cantidades bajo consideración, aumentando así el rango de la matriz dimensional. ^[52] ${\displaystyle m}$

Introdujo dos enfoques:

• Las magnitudes de los componentes de un vector deben considerarse dimensionalmente independientes. Por ejemplo, en lugar de una dimensión de longitud indiferenciada L, podemos tener L _x que represente la dimensión en la dirección x, y así sucesivamente. Este requisito se deriva en última instancia del requisito de que cada componente de una ecuación físicamente significativa (escalar, vector o tensor) debe ser dimensionalmente consistente.
• La masa como medida de la cantidad de materia debe considerarse dimensionalmente independiente de la masa como medida de inercia.

Dimensiones dirigidas

Como ejemplo de la utilidad del primer enfoque, supongamos que deseamos calcular la distancia que recorre una bala de cañón cuando se dispara con un componente de velocidad vertical y un componente de velocidad horizontal ⁠ ⁠ , asumiendo que se dispara sobre una superficie plana. Suponiendo que no se utilizan longitudes dirigidas, las cantidades de interés son entonces R , la distancia recorrida, con dimensión L, ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ambas dimensionadas como T ⁻¹ L, y g la aceleración descendente de la gravedad, con dimensión T ⁻² L. ${\displaystyle v_{\text{y}}}$ ${\displaystyle v_{\text{x}}}$ ${\displaystyle v_{\text{x}}}$ ${\displaystyle v_{\text{y}}}$

Con estas cuatro cantidades, podemos concluir que la ecuación para el rango R puede escribirse:

${\displaystyle R\propto v_{\text{x}}^{a}\,v_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.}$

O dimensionalmente

${\displaystyle {\mathsf {L}}=\left({\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}\right)^{c}}$

de lo que podemos deducir que y ⁠ ⁠ , lo que deja un exponente indeterminado. Esto es de esperar ya que tenemos dos dimensiones fundamentales T y L, y cuatro parámetros, con una ecuación. ${\displaystyle a+b+c=1}$ ${\displaystyle a+b+2c=0}$

Sin embargo, si utilizamos dimensiones de longitud dirigidas, entonces se dimensionará como T ⁻¹ L _x , como T ⁻¹ L _y , R como L _x y g como T ⁻² L _y . La ecuación dimensional se convierte en: ${\displaystyle v_{\mathrm {x} }}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {y} }}$

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}\right)^{a}\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{b}\left({{\mathsf {T}}^{-2}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{c}}$

y podemos resolverlo completamente como a = 1 , b = 1 y c = −1 . El aumento en el poder deductivo obtenido mediante el uso de dimensiones de longitud dirigidas es evidente.

Sin embargo, el concepto de dimensiones de longitud dirigidas de Huntley tiene algunas limitaciones graves:

• No se maneja bien con ecuaciones vectoriales que involucran el producto vectorial ,
• Tampoco maneja bien el uso de ángulos como variables físicas.

También suele ser bastante difícil asignar los símbolos L, L _x , L _y , L _z a las variables físicas implicadas en el problema de interés. Invoca un procedimiento que implica la "simetría" del problema físico. Esto suele ser muy difícil de aplicar de forma fiable: no está claro en qué partes del problema se invoca la noción de "simetría". ¿Se trata de la simetría del cuerpo físico sobre el que actúan las fuerzas o de los puntos, líneas o áreas en los que se aplican las fuerzas? ¿Qué ocurre si interviene más de un cuerpo con diferentes simetrías?

Consideremos la burbuja esférica unida a un tubo cilíndrico, donde se desea conocer el caudal de aire en función de la diferencia de presión en las dos partes. ¿Cuáles son las dimensiones extendidas de Huntley de la viscosidad del aire contenido en las partes conectadas? ¿Cuáles son las dimensiones extendidas de la presión de las dos partes? ¿Son iguales o diferentes? Estas dificultades son responsables de la aplicación limitada de las dimensiones de longitud dirigida de Huntley a problemas reales.

Cantidad de materia

En el segundo enfoque de Huntley, sostiene que a veces es útil (por ejemplo, en mecánica de fluidos y termodinámica) distinguir entre masa como medida de inercia ( masa inercial ) y masa como medida de la cantidad de materia. Huntley define la cantidad de materia como una cantidad solo proporcional a la masa inercial, sin implicar propiedades inerciales. No se añaden más restricciones a su definición.

Por ejemplo, consideremos la derivación de la Ley de Poiseuille . Deseamos hallar la velocidad de flujo másico de un fluido viscoso a través de una tubería circular. Sin establecer distinciones entre masa inercial y sustancial, podemos elegir como variables relevantes:

Hay tres variables fundamentales, por lo que las cinco ecuaciones anteriores producirán dos variables adimensionales independientes:

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}}$

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}}$

Si distinguimos entre masa inercial con dimensión y cantidad de materia con dimensión , entonces el caudal másico y la densidad utilizarán la cantidad de materia como parámetro de masa, mientras que el gradiente de presión y el coeficiente de viscosidad utilizarán la masa inercial. Ahora tenemos cuatro parámetros fundamentales y una constante adimensional, de modo que la ecuación dimensional puede escribirse: ${\displaystyle M_{\text{i}}}$ ${\displaystyle M_{\text{m}}}$

${\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}$

donde ahora solo C es una constante indeterminada (cuyo valor se determina mediante métodos ajenos al análisis dimensional). Esta ecuación se puede resolver para el caudal másico y obtener la ley de Poiseuille . ${\displaystyle \pi /8}$

El reconocimiento de Huntley de la cantidad de materia como una dimensión de cantidad independiente es evidentemente exitoso en los problemas donde es aplicable, pero su definición de cantidad de materia está abierta a la interpretación, ya que carece de especificidad más allá de los dos requisitos que postuló para ella. Para una sustancia dada, la dimensión SI cantidad de sustancia , con unidad mol , satisface los dos requisitos de Huntley como medida de cantidad de materia, y podría usarse como una cantidad de materia en cualquier problema de análisis dimensional donde el concepto de Huntley sea aplicable.

La extensión de Siano: análisis orientacional

Por convención, se considera que los ángulos son cantidades adimensionales (aunque se discute la validez de esta afirmación ^[53] ). Como ejemplo, consideremos de nuevo el problema del proyectil en el que se lanza una masa puntual desde el origen ( x , y ) = (0, 0) a una velocidad v y un ángulo θ por encima del eje x , con la fuerza de gravedad dirigida a lo largo del eje y negativo . Se desea encontrar el alcance R , en cuyo punto la masa vuelve al eje x . El análisis convencional producirá la variable adimensional π = R g / v ² , pero no ofrece ninguna idea de la relación entre R y θ .

Siano ha sugerido que las dimensiones dirigidas de Huntley se reemplacen utilizando símbolos de orientación 1 _x  1 _y  1 _z para denotar direcciones vectoriales y un símbolo sin orientación 1 ₀ . ^[54] Por lo tanto, L _x de Huntley se convierte en L1 _x donde L especifica la dimensión de longitud y 1 _x especifica la orientación. Siano demuestra además que los símbolos de orientación tienen un álgebra propia. Junto con el requisito de que 1 _i ⁻¹ = 1 _i , resulta la siguiente tabla de multiplicación para los símbolos de orientación:

Los símbolos de orientación forman un grupo (el grupo de cuatro de Klein o "Viergruppe"). En este sistema, los escalares siempre tienen la misma orientación que el elemento identidad, independientemente de la "simetría del problema". Las cantidades físicas que son vectores tienen la orientación esperada: una fuerza o una velocidad en la dirección z tiene la orientación de 1 _z . Para los ángulos, considere un ángulo θ que se encuentra en el plano z. Forme un triángulo rectángulo en el plano z con θ siendo uno de los ángulos agudos. El lado del triángulo rectángulo adyacente al ángulo tiene entonces una orientación 1 _x y el lado opuesto tiene una orientación 1 _y . Dado que (usando ~ para indicar equivalencia de orientación) tan( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y /1 _x concluimos que un ángulo en el plano xy debe tener una orientación 1 _y /1 _x = 1 _z , lo cual no es irrazonable. Un razonamiento análogo obliga a concluir que sin( θ ) tiene orientación 1 _z mientras que cos( θ ) tiene orientación 1 ₀ . Estas son diferentes, por lo que se concluye (correctamente), por ejemplo, que no hay soluciones de ecuaciones físicas que tengan la forma a cos( θ ) + b sin( θ ) , donde a y b son escalares reales. Una expresión como no es dimensionalmente inconsistente ya que es un caso especial de la fórmula de la suma de ángulos y debería escribirse correctamente: ${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}$

${\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}$

que para y produce ⁠ ⁠ . Siano distingue entre ángulos geométricos, que tienen una orientación en el espacio tridimensional, y ángulos de fase asociados con oscilaciones basadas en el tiempo, que no tienen orientación espacial, es decir, la orientación de un ángulo de fase es ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a=\theta }$ ${\displaystyle b=\pi /2}$ ${\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$ ${\displaystyle 1_{0}}$

La asignación de símbolos orientacionales a cantidades físicas y el requisito de que las ecuaciones físicas sean homogéneas en cuanto a la orientación pueden utilizarse de manera similar al análisis dimensional para obtener más información sobre soluciones aceptables de problemas físicos. En este enfoque, se resuelve la ecuación dimensional en la medida de lo posible. Si la potencia más baja de una variable física es fraccionaria, ambos lados de la solución se elevan a una potencia tal que todas las potencias sean integrales, lo que la pone en forma normal . Luego, la ecuación orientacional se resuelve para dar una condición más restrictiva sobre las potencias desconocidas de los símbolos orientacionales. La solución es entonces más completa que la que da el análisis dimensional por sí solo. A menudo, la información añadida es que una de las potencias de una determinada variable es par o impar.

A modo de ejemplo, para el problema del proyectil, utilizando símbolos de orientación, θ , al estar en el plano xy, tendrá dimensión 1 _z y el alcance del proyectil R será de la forma:

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}$

La homogeneidad dimensional ahora dará como resultado correcto a = −1 y b = 2 , y la homogeneidad orientacional requiere que ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$ . En otras palabras, que c debe ser un entero impar. De hecho, la función requerida de theta será sin( θ )cos( θ ) que es una serie que consiste en potencias impares de θ .

Se ve que las series de Taylor de sin( θ ) y cos( θ ) son orientacionalmente homogéneas usando la tabla de multiplicación anterior, mientras que expresiones como cos( θ ) + sin( θ ) y exp( θ ) no lo son, y se consideran (correctamente) no físicas.

El análisis orientacional de Siano es compatible con la concepción convencional de que las magnitudes angulares son adimensionales y, dentro del análisis orientacional, el radián puede seguir considerándose una unidad adimensional. El análisis orientacional de una ecuación cuantitativa se lleva a cabo por separado del análisis dimensional ordinario, lo que produce información que complementa el análisis dimensional.

Véase también

• Teorema π de Buckingham
• Números adimensionales en mecánica de fluidos
• Estimación de Fermi : se utiliza para enseñar análisis dimensional
• Ecuación de valor numérico
• Método de análisis dimensional de Rayleigh
• Similitud : una aplicación del análisis dimensional
• Sistema de medición

Áreas relacionadas con las matemáticas

• Covarianza y contravarianza de vectores
• Álgebra exterior
• Álgebra geométrica
• Cálculo de cantidades

Notas

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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Lista de dimensiones para diversas cantidades físicas
• Calculadora web Unicalc Live que realiza conversión de unidades mediante análisis dimensional
• Una implementación en C++ del análisis dimensional en tiempo de compilación en las bibliotecas de código abierto Boost
• Teorema pi de Buckingham
• Calculadora del sistema de cantidades para la conversión de unidades basada en el enfoque dimensional Archivado el 24 de diciembre de 2017 en Wayback Machine
• Mapas de análisis dimensional del proyecto de unidades, cantidades y constantes fundamentales
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