Teorema de Buckingham π

Teorema en análisis dimensional

Edgar Buckingham alrededor de 1886

En ingeniería , matemáticas aplicadas y física , el teorema π de Buckingham es un teorema clave en el análisis dimensional . Es una formalización del método de análisis dimensional de Rayleigh . En términos generales, el teorema establece que si hay una ecuación físicamente significativa que involucra un cierto número n de variables físicas, entonces la ecuación original se puede reescribir en términos de un conjunto de p  =  n  −  k parámetros adimensionales π ₁ , π ₂ , .. ., π _p construido a partir de las variables originales, donde k es el número de dimensiones físicas involucradas; se obtiene como el rango de una matriz particular .

El teorema proporciona un método para calcular conjuntos de parámetros adimensionales a partir de las variables dadas, o adimensionalización , incluso si aún se desconoce la forma de la ecuación.

El teorema π de Buckingham indica que la validez de las leyes de la física no depende de un sistema de unidades específico . Una declaración de este teorema es que cualquier ley física puede expresarse como una identidad que involucra solo combinaciones adimensionales (proporciones o productos) de las variables vinculadas por la ley (por ejemplo, la presión y el volumen están vinculados por la ley de Boyle : son inversamente proporcionales ). . Si los valores de las combinaciones adimensionales cambiaran con los sistemas de unidades, entonces la ecuación no sería una identidad y el teorema no se cumpliría.

Historia

Aunque lleva el nombre de Edgar Buckingham , el teorema π fue demostrado por primera vez por el matemático francés Joseph Bertrand ^[1] en 1878. Bertrand consideró sólo casos especiales de problemas de electrodinámica y conducción de calor, pero su artículo contiene, en términos distintos, todas las ideas básicas. de la prueba moderna del teorema e indica claramente la utilidad del teorema para modelar fenómenos físicos. La técnica de utilizar el teorema ("el método de las dimensiones") se hizo ampliamente conocida gracias a los trabajos de Rayleigh . La primera aplicación del teorema π en el caso general ^{[nota 1]} a la dependencia de la caída de presión en una tubería de los parámetros que lo rigen probablemente se remonta a 1892, ^[2] una prueba heurística con el uso de expansiones en serie, a 1894. ^{[ 3]}

La generalización formal del teorema π para el caso de cantidades arbitrarias fue dada primero por A. Vaschy  [fr] en 1892, ^[4] luego, en 1911, aparentemente de forma independiente, por A. Federman ^[5] y D. Riabouchinsky , ^{[ 6]} y nuevamente en 1914 por Buckingham. ^[7] Fue el artículo de Buckingham el que introdujo el uso del símbolo " " para las variables (o parámetros) adimensionales, y de ahí el nombre del teorema. ${\displaystyle \pi _{i}}$

Declaración

Más formalmente, el número de términos adimensionales que se pueden formar es igual a la nulidad de la matriz dimensional, y es el rango . Para fines experimentales, diferentes sistemas que comparten la misma descripción en términos de estos números adimensionales son equivalentes. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$

En términos matemáticos, si tenemos una ecuación físicamente significativa como

$${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,}$$

^{[nota 2]} ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,}$$

grupos Pi ${\displaystyle \pi _{1},\ldots ,\pi _{p}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p=n-k}$

$${\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},}$$

${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p\geq n-\ell }$

Significado

El teorema π de Buckingham proporciona un método para calcular conjuntos de parámetros adimensionales a partir de variables dadas, incluso si la forma de la ecuación sigue siendo desconocida. Sin embargo, la elección de parámetros adimensionales no es única; El teorema de Buckingham sólo proporciona una forma de generar conjuntos de parámetros adimensionales y no indica los más "físicamente significativos".

Dos sistemas en los que coinciden estos parámetros se denominan similares (como ocurre con los triángulos similares , solo difieren en la escala); son equivalentes a los efectos de la ecuación, y el experimentador que quiera determinar la forma de la ecuación puede elegir la más conveniente. Lo más importante es que el teorema de Buckingham describe la relación entre el número de variables y las dimensiones fundamentales.

Prueba

Por simplicidad, se supondrá que el espacio de unidades físicas fundamentales y derivadas forma un espacio vectorial sobre los números reales , con las unidades fundamentales como vectores base y con la multiplicación de unidades físicas como la operación de "suma vectorial", y elevando a potencias como la operación de "multiplicación escalar": representa una variable dimensional como el conjunto de exponentes necesarios para las unidades fundamentales (con una potencia de cero si la unidad fundamental particular no está presente). Por ejemplo, la gravedad estándar tiene unidades de (longitud sobre el tiempo al cuadrado), por lo que se representa como el vector con respecto a la base de unidades fundamentales (longitud, tiempo). También podríamos exigir que los exponentes de las unidades fundamentales sean números racionales y modificar la prueba en consecuencia, en cuyo caso los exponentes en los grupos pi siempre pueden tomarse como números racionales o incluso enteros. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathsf {L}}/{\mathsf {T}}^{2}={\mathsf {L}}^{1}{\mathsf {T}}^{-2}}$ ${\displaystyle (1,-2)}$

Unidades de reescalado

Supongamos que tenemos cantidades donde las unidades de longitud contienen elevadas a la potencia . Si originalmente medimos la longitud en metros pero luego cambiamos a centímetros, entonces el valor numérico de se reescalará en un factor de . Cualquier ley físicamente significativa debería ser invariante ante un cambio de escala arbitrario de cada unidad fundamental; De este hecho depende el teorema de pi. ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle 100^{c_{i}}}$

prueba formal

Dado un sistema de variables dimensionales en dimensiones fundamentales (base), la matriz dimensional es la matriz cuyas filas corresponden a las dimensiones fundamentales y cuyas columnas son las dimensiones de las variables: la enésima entrada (donde y ) es la potencia de la enésima fundamental dimensión en la variable número 1. Se puede interpretar que la matriz toma una combinación de las cantidades variables y proporciona las dimensiones de la combinación en términos de las dimensiones fundamentales. Entonces el vector (columna) que resulta de la multiplicación ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell \times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ell \times 1}$

$${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$

^{[nota 3]} ${\displaystyle \ell }$

Si reescalamos la enésima unidad fundamental por un factor de , entonces se reescala en , donde está la enésima entrada de la matriz dimensional. Para convertir esto en un problema de álgebra lineal, tomamos logaritmos (la base es irrelevante), obteniendo ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle (i,j)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$

acción ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$

Construimos una matriz cuyas columnas son una base para . Nos dice cómo incrustarlo como núcleo de . Es decir, tenemos una secuencia exacta. ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ker {M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

Tomar transposiciones produce otra secuencia exacta

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

El primer teorema de isomorfismo produce el isomorfismo deseado, que envía la clase lateral a . Esto corresponde a reescribir la tupla en los grupos pi provenientes de las columnas de . ${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$ ${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$ ${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$ ${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$ ${\displaystyle K}$

El Sistema Internacional de Unidades define siete unidades básicas, que son el amperio , el kelvin , el segundo , el metro , el kilogramo , la candela y el mol . A veces resulta ventajoso introducir unidades básicas y técnicas adicionales para perfeccionar la técnica del análisis dimensional. (Ver análisis orientativo y referencia. ^[8] )

Ejemplos

Velocidad

Este ejemplo es elemental pero sirve para demostrar el procedimiento.

Supongamos que un automóvil circula a 100 km/h; ¿cuanto tiempo se tarda en recorrer 200 km?

Esta pregunta considera variables dimensionadas: distancia, tiempo y velocidad y buscamos alguna ley de la forma Dos de estas variables son dimensionalmente independientes, pero las tres juntas no lo son. Por tanto, hay una cantidad adimensional. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$ ${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$

La matriz dimensional es

$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$ ${\displaystyle (1,-1),}$ ${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$ ${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$ ${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

Para una constante adimensional buscamos vectores tales que el producto matriz-vector sea igual al vector cero. En álgebra lineal, el conjunto de vectores con esta propiedad se conoce como núcleo (o espacio nulo) de la matriz dimensional. En este caso particular su núcleo es unidimensional. La matriz dimensional como se escribió anteriormente está en forma escalonada de filas reducida , por lo que se puede leer un vector kernel distinto de cero dentro de una constante multiplicativa: ${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$ ${\displaystyle M\mathbf {a} }$ ${\displaystyle [0,0].}$

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

Si la matriz dimensional no estuviera ya reducida, se podría realizar la eliminación de Gauss-Jordan en la matriz dimensional para determinar más fácilmente el núcleo. De ello se deduce que la constante adimensional, reemplazando las dimensiones por las variables adimensionales correspondientes, puede escribirse:

$${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

Dado que el núcleo solo se define dentro de una constante multiplicativa, la constante adimensional anterior elevada a cualquier potencia arbitraria produce otra constante adimensional (equivalente).

El análisis dimensional ha proporcionado así una ecuación general que relaciona las tres variables físicas:

$${\displaystyle F(\pi )=0,}$$

cero ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F,}$

$${\displaystyle \pi =C,}$$

${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$

$${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

La relación real entre las tres variables es simplemente. En otras palabras, en este caso tiene una raíz físicamente relevante y es la unidad. El hecho de que sólo un valor de will sea suficiente y que sea igual a 1 no lo revela la técnica del análisis dimensional. ${\displaystyle d=vt.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$

El péndulo simple

Deseamos determinar el período de pequeñas oscilaciones en un péndulo simple . Se supondrá que es función de la longitud, la masa y la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra que tiene dimensiones de longitud dividida por el tiempo al cuadrado. El modelo es de la forma ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle g,}$

$${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

(Tenga en cuenta que está escrito como una relación, no como una función: aquí no está escrito como una función de ) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$

El período, la masa y la longitud son dimensionalmente independientes, pero la aceleración se puede expresar en términos de tiempo y longitud, lo que significa que las cuatro variables tomadas en conjunto no son dimensionalmente independientes. Por lo tanto, sólo necesitamos un parámetro adimensional, denotado por y el modelo puede reexpresarse como ${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$ ${\displaystyle \pi ,}$

$${\displaystyle F(\pi )=0,}$$

${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$

${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

Las dimensiones de las cantidades dimensionales son:

$${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

La matriz dimensional es:

$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

(Las filas corresponden a las dimensiones y las columnas a las variables dimensionales. Por ejemplo, la cuarta columna indica que la variable tiene dimensiones de ) ${\displaystyle t,m,}$ ${\displaystyle \ell ,}$ ${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$ ${\displaystyle (-2,0,1),}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$

Estamos buscando un vector kernel tal que el producto matricial de on produzca el vector cero. La matriz dimensional como se escribió arriba está en forma escalonada de filas reducida, por lo que se puede leer un vector kernel dentro de una constante multiplicativa: ${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [0,0,0].}$

$${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

Si no estuviera ya reducido, se podría realizar la eliminación de Gauss-Jordan en la matriz dimensional para determinar más fácilmente el núcleo. De ello se deduce que la constante adimensional se puede escribir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$

$${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$

En este ejemplo, tres de las cuatro cantidades dimensionales son unidades fundamentales, por lo que la última (que es ) debe ser una combinación de la anterior. Tenga en cuenta que si (el coeficiente de ) hubiera sido distinto de cero, entonces no habría forma de cancelar el valor; por lo tanto debe ser cero. El análisis dimensional nos ha permitido concluir que el período del péndulo no es función de su masa (en el espacio 3D de potencias de masa, tiempo y distancia, podemos decir que el vector de masa es linealmente independiente de los vectores de las otras tres variables. Hasta un factor de escala, es la única forma no trivial de construir un vector de un parámetro adimensional.) ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$

El modelo ahora se puede expresar como:

$${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

Entonces esto implica que para algún cero de la función Si solo hay un cero, llámelo entonces . Se requiere más conocimiento físico o un experimento para demostrar que en realidad solo hay un cero y que la constante está dada por ${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$ ${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

Para grandes oscilaciones de un péndulo, el análisis se complica por un parámetro adicional adimensional, el ángulo máximo de oscilación. El análisis anterior es una buena aproximación cuando el ángulo se acerca a cero .

Energia electrica

Para demostrar la aplicación del teorema π , considere el consumo de energía de un agitador con una forma determinada. La potencia, P , en dimensiones [M · L ² /T ³ ], es función de la densidad , ρ [M/L ³ ], y de la viscosidad del fluido a agitar, μ [M/(L · T )], así como el tamaño del agitador dado por su diámetro , D [L], y la velocidad angular del agitador, n [1/T]. Por lo tanto, tenemos un total de n = 5 variables que representan nuestro ejemplo. Esas n = 5 variables se construyen a partir de k = 3 dimensiones independientes, por ejemplo, longitud: L ( unidades SI : m ), tiempo: T ( s ) y masa: M ( kg ).

Según el teorema π , las n = 5 variables pueden reducirse mediante las k = 3 dimensiones para formar p = n − k = 5 − 3 = 2 números adimensionales independientes. Por lo general, estas cantidades se eligen como , comúnmente denominado número de Reynolds , que describe el régimen de flujo del fluido, y , número de potencia , que es la descripción adimensional del agitador. ${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$ ${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$

Tenga en cuenta que las dos cantidades adimensionales no son únicas y dependen de cuál de las n = 5 variables se elige como k = 3 variables base dimensionalmente independientes, que, en este ejemplo, aparecen en ambas cantidades adimensionales. El número de Reynolds y el número de potencia quedan excluidos del análisis anterior si se eligen , n y D como variables base. Si, en cambio, se seleccionan , n y D , se recupera el número de Reynolds mientras que la segunda cantidad adimensional se convierte en . Observamos que es el producto del número de Reynolds por el número de potencia. ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$ ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$

Otros ejemplos

Un ejemplo de análisis dimensional lo podemos encontrar para el caso de la mecánica de un disco giratorio delgado, sólido y de lados paralelos. Hay cinco variables involucradas que se reducen a dos grupos adimensionales. La relación entre estos se puede determinar mediante experimentos numéricos utilizando, por ejemplo, el método de los elementos finitos. ^[9]

El teorema también se ha utilizado en otros campos además de la física, por ejemplo en las ciencias del deporte . ^[10]

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Onda de choque
• Cantidad adimensional
• Unidades naturales
• Similitud (modelo)
• número de reynolds

Referencias

Notas

1. Cuando al aplicar el teorema π surge una función arbitraria de números adimensionales.
2. Un conjunto de variables dimensionalmente independientes es aquel para el cual los únicos exponentes que producen una cantidad adimensional son . Ésta es precisamente la noción de independencia lineal . ${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{k}^{a_{k}}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =0}$
3. Si estas unidades básicas son y si las unidades de para cada , entonces ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{\ell }}$ ${\displaystyle q_{j}=m_{1j}b_{1}+\cdots +m_{\ell j}b_{\ell }}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$
   $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{11}&\cdots &m_{1j}&\cdots &m_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\m_{\ell 1}&\cdots &m_{\ell j}&\cdots &m_{\ell n}\\\end{bmatrix}}}$$
   de modo que, por ejemplo, las unidades de en términos de estas unidades básicas son ${\displaystyle q_{1}}$
   $${\displaystyle M\left(\left[1\ 0\ \cdots \ 0\right]^{\operatorname {T} }\right)={\begin{bmatrix}m_{11}\\\vdots \\m_{\ell 1}\\\end{bmatrix}}.}$$
   Para un ejemplo concreto, supongamos que las unidades fundamentales son metros y segundos y que hay variables dimensionales: por definición de suma vectorial y multiplicación escalar de unidades, ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle b_{1}=m}$ ${\displaystyle b_{2}=s,}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle q_{1}=m/s^{2},q_{2}=1/m,q_{3}=s/m.}$
   $${\displaystyle q_{1}=ms^{-2}=1m+(-2)s,\quad q_{2}=m^{-1}=(-1)m+0s,\quad {\text{and}}\quad q_{3}=m^{-1}s=(-1)m+1s,}$$
   de modo que
   $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$
   Por definición, las variables adimensionales son aquellas cuyas unidades son exactamente los vectores en ${\displaystyle m^{0}s^{0},}$
   $${\displaystyle \ker M=\operatorname {span} \left\{[1,-1,2]^{\operatorname {T} }\right\}=\left\{\left(q_{1}-q_{2}+2q_{3}\right)^{s}:s\in \mathbb {Q} \right\}.}$$
   Esto se puede verificar mediante un cálculo directo:
   $${\displaystyle q_{1}-q_{2}+2q_{3}=\left(ms^{-2}\right)^{1}+\left(m^{-1}\right)^{-1}+\left(sm^{-1}\right)^{2}=m^{1}s^{-2}+m^{1}+m^{-2}s^{2}=m^{1+1+(-2)}s^{-2+0+2}=m^{0}s^{0},}$$
   que de hecho es adimensional. En consecuencia, si algunos estados de leyes físicas están necesariamente relacionados por una ecuación (presumiblemente desconocida) de la forma para alguna función (desconocida) con (es decir, la tupla es necesariamente un cero de ), entonces existe alguna función (también desconocida) que depende solo de la variable, la variable adimensional (o cualquier potencia racional distinta de cero de donde ), tal que se cumpla (si se usa en lugar de entonces se puede reemplazar con y se cumple una vez más ). Por lo tanto, en términos de las variables originales, debe cumplirse (alternativamente, si se usa , por ejemplo, debe cumplirse). En otras palabras, el teorema π de Buckingham implica que si se da el caso de que tenga exactamente un cero, llámelo, entonces la ecuación necesariamente se cumplirá (el teorema no da información sobre cuál será el valor exacto de la constante). ser, ni garantiza que tenga exactamente un cero). ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}$ ${\displaystyle f\left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} (f)\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p=3-2=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}:=q_{1}-q_{2}+2q_{3}=q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}}$ ${\displaystyle \pi _{1},}$ ${\displaystyle 0\neq s\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F\left(\pi _{1}\right)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\hat {F}}(x):=F\left(x^{1/s}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {F}}\left({\hat {\pi }}_{1}\right)=0}$ ${\displaystyle F\left(q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\right)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{1/2}={\sqrt {\pi _{1}}}}$ ${\displaystyle {\hat {F}}\left({\sqrt {q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}}}\right)=0}$ ${\displaystyle q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\in F^{-1}(0),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}=C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$

Citas

1. Bertrand, J. (1878). "Sur l'homogénéité dans les formules de physique". Cuentas Rendus . 86 (15): 916–920.
2. Rayleigh (1892). "Sobre la cuestión de la estabilidad del flujo de líquidos". Revista Filosófica . 34 (206): 59–70. doi :10.1080/14786449208620167.
3. Strutt, John William (1896). La teoría del sonido. vol. II (2ª ed.). Macmillan.
4. Se pueden encontrar citas del artículo de Vaschy con su declaración del teorema pi en: Macagno, EO (1971). "Revisión histórico-crítica del análisis dimensional". Revista del Instituto Franklin . 292 (6): 391–402. doi :10.1016/0016-0032(71)90160-8.
5. Федерман, А. (1911). "О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка". Известия Санкт-Петербургского политехнического императора Петра Великого. Otras técnicas, técnicas y matemáticas . 16 (1): 97-155.(Federman A., Sobre algunos métodos generales de integración de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, Actas del Instituto Politécnico de San Petersburgo. Sección de Técnica, Ciencias Naturales y Matemáticas)
6. Riabouchinsky, D. (1911). "Étodo de variables de dimensión cero y aplicación en aérodinamia". L'Aérophile : 407–408.
7. Buckingham 1914.
8. Schlick, R.; Le Sergent, T. (2006). "Comprobación de modelos SCADE para el uso correcto de unidades físicas". Seguridad, confiabilidad y protección informática . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 4166. Berlín: Springer. págs. 358–371. doi :10.1007/11875567_27. ISBN 978-3-540-45762-6.
9. Ramsay, Angus. "Análisis dimensional y experimentos numéricos para un disco giratorio". Asociados de Ramsay Maunder . Consultado el 15 de abril de 2017 .
10. Blondeau, J. (2020). "La influencia del tamaño del campo, el tamaño de la portería y el número de jugadores en el número medio de goles marcados por partido en variantes de fútbol y hockey: el teorema de Pi aplicado a los deportes de equipo". Revista de Análisis Cuantitativo en el Deporte . 17 (2): 145-154. doi : 10.1515/jqas-2020-0009. S2CID  224929098.

Bibliografía

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• Hanche-Olsen, Harald (2004). "Teorema pi de Buckingham" (PDF) . NTNU . Consultado el 9 de abril de 2007 .
• Hart, George W. (1995). Análisis multidimensional: álgebras y sistemas para ciencias e ingeniería. Saltador. ISBN 978-0-387-94417-3.
• Kline, Stephen J. (1986). "2. Análisis dimensional y unidades y dimensiones del teorema de Pi". Teoría de la semejanza y la aproximación. Saltador. págs. 8–35. ISBN 978-0-387-16518-9.
• Hartke, Jan-David (2019). "Sobre el teorema Π de Buckingham". arXiv : 1912.08744 .
• Wan, Frederic YM (1989). Modelos Matemáticos y su Análisis . Harper y fila. ISBN 978-0-06-046902-3.
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• Sheppard, Mike (2008). "Búsqueda sistemática de expresiones de constantes adimensionales utilizando la base de datos de constantes físicas del NIST". Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2012.
• Gibbings, JC (2011). Análisis dimensional . Saltador. ISBN 978-1-84996-316-9.
• Schuring, Dieterich J. (1977). Modelos a escala en ingeniería: fundamentos y aplicaciones . Prensa de Pérgamo, Oxford. ISBN 978-0080208602.

Fuentes originales

• Vaschy, A. (1892). "Sur les lois de similitud en physique". Annales Télégraphiques . 19 : 25–28.
• Riabouchinsky, D. (1911). "Étodo de variables de dimensión cero y aplicación en aérodinamia". L'Aérophile : 407–408.
• Buckingham, E. (1914). "Sobre sistemas físicamente similares; ilustraciones del uso de ecuaciones dimensionales". Revisión física . 4 (4): 345–376. Código bibliográfico : 1914PhRv....4..345B. doi : 10.1103/PhysRev.4.345. hdl : 10338.dmlcz/101743 .
• Buckingham, E. (1915). "El principio de similitud". Naturaleza . 96 (2406): 396–397. Código Bib :1915Natur..96..396B. doi :10.1038/096396d0. S2CID  3956628.
• Buckingham, E. (1915). "Experimentos modelo y formas de ecuaciones empíricas". Transacciones de la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos . 37 : 263–296.
• Taylor, señor G. (1950). "La formación de una onda expansiva por una explosión muy intensa. I. Discusión teórica". Actas de la Royal Society A. 201 (1065): 159-174. Código Bib : 1950RSPSA.201..159T. doi :10.1098/rspa.1950.0049. S2CID  54070514.
• Taylor, señor G. (1950). "La formación de una onda expansiva por una explosión muy intensa. II. La explosión atómica de 1945". Actas de la Royal Society A. 201 (1065): 175–186. Código Bib : 1950RSPSA.201..175T. doi : 10.1098/rspa.1950.0050 .

enlaces externos

• Algunas reseñas y fuentes originales sobre la historia del teorema pi y la teoría de la similitud (en ruso)