Número abundante

Número que es menor que la suma de sus divisores propios

Demostración, con varillas de Cuisenaire , de la abundancia del número 12

En teoría de números , un número abundante o excesivo es un entero positivo cuya suma de sus divisores propios es mayor que el número. El entero 12 es el primer número abundante. Sus divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6, lo que da un total de 16. La cantidad en la que la suma excede al número es la abundancia . El número 12 tiene una abundancia de 4, por ejemplo.

Definición

Un número abundante es un número natural n para el cual la suma de divisores σ ( n ) satisface σ ( n ) > 2 n , o, equivalentemente, la suma de divisores propios (o suma alícuota ) s ( n ) satisface s ( n ) > n .

La abundancia de un número natural es el entero σ ( n ) − 2n (equivalentemente, s ( n ) − n ).

Ejemplos

Los primeros 28 números abundantes son:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (secuencia A005101 en la OEIS ).

Por ejemplo, los divisores propios de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12, cuya suma es 36. Como 36 es mayor que 24, el número 24 es abundante. Su abundancia es 36 − 24 = 12.

Propiedades

• El número impar abundante más pequeño es 945.
• El número abundante más pequeño no divisible por 2 o por 3 es 5391411025 cuyos factores primos distintos son 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 (secuencia A047802 en la OEIS ). Un algoritmo dado por Iannucci en 2005 muestra cómo encontrar el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos . ^[1] Si representa el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos entonces para todos tenemos ${\displaystyle A(k)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$

para k suficientemente grande .

• Todo múltiplo de un número perfecto (excepto el número perfecto en sí) es abundante. ^[2] Por ejemplo, todo múltiplo de 6 mayor que 6 es abundante porque ${\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.}$
• Todo múltiplo de un número abundante es abundante. ^[2] Por ejemplo, todo múltiplo de 20 (incluido el propio 20) es abundante porque ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.}$
• En consecuencia, existen infinitos números pares e impares abundantes.

Sea el número de números abundantes que no excedan de . Gráfico de para (con escala logarítmica) ${\displaystyle a(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a(n)/n}$ ${\displaystyle n<10^{6}}$ ${\displaystyle n}$

• Además, el conjunto de números abundantes tiene una densidad natural distinta de cero . ^[3] Marc Deléglise demostró en 1998 que la densidad natural del conjunto de números abundantes y números perfectos está entre 0,2474 y 0,2480. ^[4]
• Un número abundante que no es múltiplo de un número abundante o número perfecto (es decir, todos sus divisores propios son deficientes) se llama número abundante primitivo .
• Un número abundante cuya abundancia es mayor que cualquier número inferior se denomina número altamente abundante, y uno cuya abundancia relativa (es decir, s(n)/n ) es mayor que cualquier número inferior se denomina número superabundante.
• Todo entero mayor que 20161 puede escribirse como la suma de dos números abundantes. El mayor número par que no es la suma de dos números abundantes es 46. ^[5]
• Un número abundante que no es un número semiperfecto se llama número extraño . ^[6] Un número abundante con abundancia 1 se llama número cuasiperfecto , aunque todavía no se ha encontrado ninguno.
• Todo número abundante es múltiplo de un número perfecto o de un número abundante primitivo.

Conceptos relacionados

Diagrama de Euler de números menores de 100:

   Abundante

   Primitivo abundante

   Altamente abundante

   Superabundante y altamente compuesto

   Colosalmente abundante y superior, altamente compuesto.

   Extraño

   Perfecto

   Compuesto

   Deficiente

Los números cuya suma de factores propios es igual al número mismo (como 6 y 28) se denominan números perfectos , mientras que los números cuya suma de factores propios es menor que el número mismo se denominan números deficientes . La primera clasificación conocida de los números como deficientes, perfectos o abundantes fue realizada por Nicómaco en su Introductio Arithmetica (circa 100 d. C.), que describió a los números abundantes como animales deformes con demasiadas extremidades.

El índice de abundancia de n es la relación σ ( n )/ n . ^[7] Los números distintos n ₁ , n ₂ , ... (ya sean abundantes o no) con el mismo índice de abundancia se denominan números amigos .

La secuencia ( a _k ) de números menores n tales que σ ( n ) > kn , en la que a ₂ = 12 corresponde al primer número abundante, crece muy rápidamente (secuencia A134716 en la OEIS ).

El entero impar más pequeño con un índice de abundancia superior a 3 es 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29. ^[8]

Si p = ( p ₁ , ..., p _n ) es una lista de primos, entonces p se considera abundante si algún entero compuesto únicamente de primos en p es abundante. Una condición necesaria y suficiente para esto es que el producto de p _i /( p _i − 1) sea > 2. ^[9]

Referencias

1. D. Iannucci (2005), "Sobre el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos", Boletín de la Sociedad Matemática Belga , 12 (1): 39–44, doi :10.36045/bbms/1113318127
2. Tattersall (2005) pág. 134
3. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald (1988). Divisores . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 90. Cambridge: Cambridge University Press . pág. 95. ISBN. 978-0-521-34056-4.Zbl 0653.10001  .
4. Deléglise, Marc (1998). "Límites para la densidad de números enteros abundantes". Experimental Mathematics . 7 (2): 137–143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi :10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN  1058-6458. MR  1677091. Zbl  0923.11127. 
5. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A048242 (Números que no son la suma de dos números abundantes)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
6. Tattersall (2005) pág. 144
7. Laatsch, Richard (1986). "Medición de la abundancia de números enteros". Revista de Matemáticas . 59 (2): 84–92. doi :10.2307/2690424. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690424. MR  0835144. Zbl  0601.10003.
8. Para el número entero impar más pequeño k con un índice de abundancia superior a n , véase Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A119240 (Número impar más pequeño k tal que sigma(k)/k >= n.)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
9. Friedman, Charles N. (1993). "Sumas de divisores y fracciones egipcias". Revista de teoría de números . 44 (3): 328–339. doi : 10.1006/jnth.1993.1057 . MR  1233293. Zbl  0781.11015.

• Tattersall, James J. (2005). Teoría elemental de números en nueve capítulos (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-85014-8.Zbl 1071.11002  .

Enlaces externos

• El Glosario de los Primeros: Número abundante
• Weisstein, Eric W. "Número abundante". MathWorld .
• Número abundante en PlanetMath .