Número abundante primitivo

Número abundante cuyos divisores propios son todos números deficientes

Diagrama de Euler de números menores de 100:

   Abundante

   Primitivo abundante

   Altamente abundante

   Superabundante y altamente compuesto

   Colosalmente abundante y superior, altamente compuesto.

   Extraño

   Perfecto

   Compuesto

   Deficiente

En matemáticas, un número abundante primitivo es un número abundante cuyos divisores propios son todos números deficientes . ^{[1] [2]}

Por ejemplo, 20 es un número abundante primitivo porque:

1. La suma de sus divisores propios es 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22, por lo que 20 es un número abundante.
2. Las sumas de los divisores propios de 1, 2, 4, 5 y 10 son 0, 1, 3, 1 y 8 respectivamente, por lo que cada uno de estos números es un número deficiente.

Los primeros números abundantes primitivos son:

20 , 70 , 88 , 104 , 272, 304, 368, 464, 550, 572... (secuencia A071395 en la OEIS )

El número primitivo abundante impar más pequeño es 945.

Una definición variante es la de números abundantes que no tienen divisor propio abundante (secuencia A091191 en la OEIS ). Comienza así:

12 , 18 , 20 , 30 , 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114

Propiedades

Todo múltiplo de un número abundante primitivo es un número abundante.

Todo número abundante es múltiplo de un número abundante primitivo o múltiplo de un número perfecto.

Todo número abundante primitivo es un número semiperfecto primitivo o un número impar .

Hay un número infinito de números primitivos abundantes.

El número de números abundantes primitivos menores o iguales a n es ^[3] ${\displaystyle o\left({\frac {n}{\log ^{2}(n)}}\right)\,.}$

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Número abundante primitivo". MathWorld .
2. Erdős adopta una definición más amplia que requiere que un número abundante primitivo no sea deficiente, pero no necesariamente abundante (Erdős, Surányi y Guiduli. Temas de teoría de números p214. Springer 2003.). La definición de Erdős también permite que los números perfectos sean números abundantes primitivos.
3. Paul Erdős, Revista de la Sociedad Matemática de Londres 9 (1934) 278–282.