En matemáticas , un número superabundante es un determinado tipo de número natural . Un número natural n se llama superabundante precisamente cuando, para todo m < n :
donde σ denota la función suma de divisores (es decir, la suma de todos los divisores positivos de n , incluido el propio n ). Los primeros números superabundantes son 1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , ... (secuencia A004394 en la OEIS ). Por ejemplo, el número 5 no es un número superabundante porque para 1, 2, 3, 4 y 5, la sigma es 1, 3, 4, 7, 6 y 7/4 > 6/5 .
Leonidas Alaoglu y Paul Erdős (1944) definieron los números superabundantes . Sin que Alaoglu y Erdős lo supieran, se suprimieron unas 30 páginas del artículo de Ramanujan de 1915 "Highly Composite Numbers". Esas páginas se publicaron finalmente en The Ramanujan Journal 1 (1997), 119-153. En la sección 59 de ese artículo, Ramanujan define los números altamente compuestos generalizados , que incluyen los números superabundantes.
Leonidas Alaoglu y Paul Erdős (1944) demostraron que si n es superabundante, entonces existen un k y un 1 , un 2 , ..., un k tales que
donde p i es el i -ésimo número primo, y
Es decir, demostraron que si n es superabundante, la descomposición en primos de n tiene exponentes no crecientes (el exponente de un primo mayor nunca es mayor que el de un primo menor) y que todos los primos hasta son factores de n . Entonces, en particular, cualquier número superabundante es un entero par, y es un múltiplo del primordio k - ésimo.
De hecho, el último exponente a k es igual a 1 excepto cuando n es 4 o 36.
Los números superabundantes están estrechamente relacionados con los números altamente compuestos . No todos los números superabundantes son números altamente compuestos. De hecho, solo 449 números superabundantes y altamente compuestos son iguales (secuencia A166981 en la OEIS ). Por ejemplo, 7560 es altamente compuesto pero no superabundante. Por el contrario, 1163962800 es superabundante pero no altamente compuesto.
Alaoglu y Erdős observaron que todos los números superabundantes son altamente abundantes .
No todos los números superabundantes son números Harshad . La primera excepción es el número superabundante 105, 149602080797769600. La suma de los dígitos es 81, pero 81 no divide de manera uniforme a este número superabundante.
Los números superabundantes también son de interés en relación con la hipótesis de Riemann y con el teorema de Robin de que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que
para todo n mayor que la mayor excepción conocida, el número superabundante 5040. Si esta desigualdad tiene un contraejemplo mayor, lo que demuestra que la hipótesis de Riemann es falsa, el contraejemplo más pequeño debe ser un número superabundante (Akbary y Friggstad 2009).
No todos los números superabundantes son colosalmente abundantes .
Los números -superabundantes generalizados son aquellos tales que para todo , donde es la suma de las -ésimas potencias de los divisores de .
1-Los números superabundantes son números superabundantes. 0-Los números superabundantes son números altamente compuestos.
Por ejemplo, los números 2-superabundantes generalizados son 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, ... (secuencia A208767 en la OEIS )
