4D N = 1 supergravedad

Teoría de la supergravedad en cuatro dimensiones

En supersimetría , la supergravedad 4D ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ es la teoría de la supergravedad en cuatro dimensiones con una única supercarga . Contiene exactamente un multiplete de supergravedad , que consiste en un gravitón y un gravitino , pero también puede tener un número arbitrario de supermultipletes quirales y vectoriales , y la supersimetría impone restricciones estrictas sobre cómo pueden interactuar. La teoría está determinada principalmente por tres funciones, que son el potencial de Kähler, el superpotencial y la matriz cinética de calibración. Muchas de sus propiedades están fuertemente vinculadas a la geometría asociada a los campos escalares en los multipletes quirales. Después de que se descubriera por primera vez la forma más simple de esta supergravedad, una teoría que involucraba solo el multiplete de supergravedad, los años siguientes vieron un esfuerzo por incorporar diferentes multipletes de materia , y la acción general se derivó en 1982 por Eugène Cremmer , Sergio Ferrara , Luciano Girardello y Antonie Van Proeyen. ^{[1] [2]}

Esta teoría desempeña un papel importante en muchos escenarios que van más allá del modelo estándar . Cabe destacar que muchos modelos de cuatro dimensiones derivados de la teoría de cuerdas son de este tipo, y la supersimetría proporciona un control crucial sobre el procedimiento de compactificación . La ausencia de supersimetría de baja energía en nuestro universo requiere que la supersimetría se rompa en alguna escala. La supergravedad proporciona nuevos mecanismos para la ruptura de la supersimetría que están ausentes en la supersimetría global, como la mediación gravitatoria. Otra característica útil es la presencia de modelos sin escala, que tienen numerosas aplicaciones en cosmología .

Historia

La supergravedad se descubrió por primera vez en 1976 en forma de supergravedad 4D pura ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ . Esta era una teoría de solo el gravitón y su supercompañero , el gravitino. La primera extensión para acoplar también campos de materia a la teoría se adquirió añadiendo los campos de Maxwell y Yang-Mills . ^{[3] [4]} Añadir multipletes quirales resultó más difícil, pero el primer paso fue añadir con éxito un único multiplete quiral sin masa en 1977. ^[5] Esto se amplió el año siguiente para añadir más multipletes quirales en forma del modelo sigma no lineal . ^[6] Todas estas teorías se construyeron utilizando el método iterativo de Noether, que no se presta a la derivación de acciones acopladas a la materia más generales debido a que es muy tedioso.

El desarrollo de técnicas de cálculo tensorial ^{[7] [8] [9] [10]} permitió construir acciones de supergravedad de manera más eficiente. Utilizando este formalismo, la acción de supergravedad acoplada a la materia de cuatro dimensiones general fue construida en 1982 por Eugène Cremmer, Sergio Ferrara, Luciano Girardello y Antonie Van Proeyen. ^{[1] [2]} También fue derivada por Jonathan Bagger poco después de utilizar técnicas de superespacio , con este trabajo destacando características geométricas importantes de la teoría. ^[11] En esta época se identificaron otras dos características de los modelos. Estas son la estructura de Kähler-Hodge presente en la teoría ^[12] y la presencia e importancia de modelos sin escala. ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

Descripción general

El contenido de partículas de una supergravedad general de cuatro dimensiones consiste en un único multiplete de supergravedad y un número arbitrario de multipletes quirales y multipletes de calibración. ^[14] El multiplete de supergravedad contiene el gravitón de espín 2 que describe fluctuaciones en la métrica del espacio-tiempo , junto con un gravitino de Majorana de espín -3/2 , donde el índice de espinor a menudo se deja implícito. Los multipletes quirales , indexados por índices latinos en minúscula , consisten cada uno en un escalar y su supercompañero de Majorana . ^{[nb 1]} De manera similar, los multipletes de calibración consisten en un campo de calibración de Yang-Mills y su supercompañero de Majorana, el gaugino , con estos multipletes indexados por letras latinas mayúsculas . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle (g_{\mu \nu },\psi _{\mu })}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha \mu }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\phi ^{n},\chi ^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi ^{n}}$ ${\displaystyle \chi ^{n}}$ ${\displaystyle (A_{\mu }^{I},\lambda ^{I})}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{I}}$ ${\displaystyle \lambda ^{I}}$ ${\displaystyle I}$

Una de las estructuras más importantes de la teoría es la variedad escalar , que es la variedad del espacio de campo cuyas coordenadas son los escalares. La supersimetría global implica que esta variedad debe ser un tipo especial de variedad compleja conocida como variedad de Kähler . La supersimetría local de la supergravedad restringe aún más su forma a la de una variedad de Kähler-Hodge.

La teoría se describe principalmente mediante tres funciones arbitrarias de los campos escalares, siendo la primera el potencial de Kähler que fija la métrica en la variedad escalar. La segunda es el superpotencial, que es una función holomorfa arbitraria que fija una serie de aspectos de la acción, como el potencial del término F del campo escalar junto con los términos de masa del fermión y los acoplamientos de Yukawa . Por último, está la matriz cinética de calibración cuyos componentes son funciones holomorfas que determinan, entre otros aspectos, el término cinético de calibración, el término theta y el potencial del término D. ${\displaystyle K(\phi ,{\bar {\phi }})}$ ${\displaystyle W(\phi )}$ ${\displaystyle f_{IJ}(\phi )}$

Además, la supergravedad puede ser calibrada o no calibrada. En la supergravedad no calibrada, cualquier transformación de calibre presente solo puede actuar sobre campos de calibre abelianos . Mientras tanto, una supergravedad calibrada se puede adquirir a partir de una no calibrada calibrando algunas de sus simetrías globales , lo que puede hacer que los escalares o fermiones también se transformen bajo transformaciones de calibre y resulten en campos de calibre no abelianos . Además de las transformaciones de supersimetría local, las transformaciones de Lorentz locales y las transformaciones de calibre, la acción también debe ser invariante bajo las transformaciones de Kähler , donde es una función holomorfa arbitraria de los campos escalares. ${\displaystyle K(\phi ,{\bar {\phi }})\rightarrow K(\phi ,{\bar {\phi }})+f(\phi )+{\bar {f}}({\bar {\phi }})}$ ${\displaystyle f(\phi )}$

Construcción

Históricamente, el primer enfoque para construir teorías de supergravedad fue el formalismo iterativo de Noether que utiliza una teoría globalmente supersimétrica como punto de partida. ^{[15] : 21–25} Su lagrangiano se acopla entonces a la supergravedad pura a través del término que acopla la gravitina a la supercorriente de la teoría original, con todo también covariantizado por Lorentz para hacerlo válido en el espacio-tiempo curvo . Esta teoría candidata se varía luego con respecto a las transformaciones de supersimetría local que producen alguna parte no evanescente. El lagrangiano se modifica luego añadiéndole nuevos términos que cancelan esta variación, a expensas de introducir nuevas variaciones no evanescentes. Se introducen más términos para cancelarlos, y el procedimiento se repite hasta que el lagrangiano es completamente invariante. ${\displaystyle {\mathcal {L}}\supset -\psi ^{\mu }j_{\mu }}$

Como el formalismo de Noether resultó ser muy tedioso e ineficiente, se desarrollaron técnicas de construcción más eficientes. El primer formalismo que construyó con éxito la teoría general de supergravedad 4D acoplada a la materia fue el formalismo del cálculo tensorial . ^{[16] [17]} Otro enfoque temprano fue el enfoque del superespacio que generaliza la noción de superespacio a un superespacio curvo cuyo espacio tangente en cada punto se comporta como el superespacio plano tradicional de la supersimetría global. La acción invariante general puede entonces construirse en términos de los supercampos, que luego pueden expandirse en términos de los campos componentes para dar la forma componente de la acción de supergravedad.

Otro enfoque es el enfoque del cálculo tensorial superconforme que utiliza la simetría conforme como una herramienta para construir acciones de supergravedad que no tienen ninguna simetría conforme. ^{[18] [19] : 307} Esto se hace construyendo primero una teoría de calibre utilizando el álgebra superconforme . Esta teoría contiene campos y simetrías adicionales, pero se pueden eliminar utilizando restricciones o mediante fijación de calibre para producir supergravedad de Poincaré sin simetría conforme.

Las ideas de superconformidad y superespacio también se han combinado en una serie de diferentes formulaciones de supergravedad conforme. La generalización directa del enfoque original del superespacio en capas es el formalismo de Grimm-Wess-Zumino formulado en 1979. ^[20] También existe el formalismo de superespacio propuesto por Paul Howe en 1981. ^[21] Por último, el enfoque del superespacio conforme formulado en 2010 tiene la propiedad conveniente de que cualquier otra formulación de supergravedad conforme es equivalente a él o puede obtenerse de otro modo a partir de una fijación de calibre parcial. ^[22] ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

Simetrías

Variedad escalar y transformaciones de Kähler

La supergravedad suele utilizar la notación de espinores de Majorana en lugar de la de espinores de Weyl, ya que la notación de cuatro componentes es más fácil de usar en el espacio-tiempo curvo. Los espinores de Weyl se pueden obtener como proyecciones de un espinor de Majorana , y los espinores de Weyl dextrógiros y levógiros se denotan por . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi _{L,R}=P_{L,R}\chi }$

Los escalares complejos en los multipletes quirales actúan como coordenadas en una variedad compleja en el sentido del modelo sigma no lineal, conocida como variedad escalar . En las teorías supersimétricas, estas variedades están marcadas con restricciones geométricas adicionales que surgen de las transformaciones de supersimetría. En la supergravedad, esta variedad puede ser compacta o no compacta, mientras que para las supergravedades es necesariamente no compacta. ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}>1}$

La supersimetría global ya restringe la variedad a ser una variedad de Kähler. ^[23] Estas son un tipo de variedad compleja, que, en términos generales, son variedades que se parecen localmente y cuyas funciones de transición son funciones holomorfas. Las variedades complejas también son variedades hermíticas si admiten una métrica bien definida cuyos únicos componentes no nulos son los componentes, donde la barra sobre el índice denota la coordenada conjugada . De manera más general, una barra sobre escalares denota conjugación compleja mientras que para espinores denota un espinor adjunto . Las variedades de Kähler son variedades hermíticas que admiten una forma bidimensional llamada forma de Kähler ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle g_{m{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle \phi ^{\bar {n}}\equiv {\bar {\phi }}^{n}}$

${\displaystyle \Omega =ig_{m{\bar {n}}}d\phi ^{m}\wedge d\phi ^{\bar {n}},}$

que está cerrada . ^{[24] : 303} Una propiedad de estas variedades es que su métrica se puede escribir en términos de las derivadas de una función escalar , donde se conoce como el potencial de Kähler. Aquí denota una derivada con respecto a . Este potencial correspondiente a una métrica particular no es único y se puede cambiar mediante la adición de la parte real de una función holomorfa en lo que se conoce como transformaciones de Kähler. ${\displaystyle d\Omega =0}$ ${\displaystyle g_{m{\bar {n}}}=\partial _{m}\partial _{\bar {n}}K}$ ${\displaystyle K(\phi ,{\bar {\phi }})}$ ${\displaystyle \partial _{n}}$ ${\displaystyle \phi ^{n}}$ ${\displaystyle h(\phi )}$

${\displaystyle K(\phi ,{\bar {\phi }})\rightarrow K(\phi ,{\bar {\phi }})+h(\phi )+{\bar {h}}({\bar {\phi }}).}$

Dado que esto no cambia la variedad escalar, las acciones supersimétricas deben ser invariantes bajo tales transformaciones. ^{[nb 2]}

Mientras que en la supersimetría global, los campos y el superpotencial se transforman trivialmente bajo las transformaciones de Kähler, en la supergravedad se cargan bajo las transformaciones de Kähler como ^{[15] : 107–108}

${\displaystyle W\rightarrow e^{-{\frac {h}{M_{P}^{2}}}}W,}$

${\displaystyle \chi ^{m}\rightarrow e^{i{\frac {{\text{Im}}(h)}{2M_{P}^{2}}}\gamma _{5}}\chi ^{m},}$

${\displaystyle \psi _{\mu },\epsilon ,\lambda ^{I}\rightarrow e^{-i{\frac {{\text{Im}}(h)}{2M_{P}^{2}}}\gamma _{5}}\psi _{\mu },\epsilon ,\lambda ^{I},}$

donde es el parámetro de transformación de supersimetría de espinor de Majorana. Estas reglas de transformación imponen restricciones adicionales a la geometría de la variedad escalar. Dado que el superpotencial se transforma por un prefactor, esto implica que la variedad escalar debe admitir globalmente un fibrado lineal consistente . Mientras tanto, los fermiones se transforman por una fase compleja , lo que implica que la variedad escalar también debe admitir un fibrado principal asociado . La conexión no dinámica ^{[nb 3]} correspondiente a este fibrado principal está dada por ^{[19] : 387} ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle Q_{\mu }={\frac {i}{2}}{\bigg [}(\partial _{\bar {n}}K)\partial _{\mu }\phi ^{\bar {n}}-(\partial _{m}K)\partial _{\mu }\phi ^{m}-A_{\mu }^{I}(r_{I}-{\bar {r}}_{I}){\bigg ]},}$

con este satisfactorio , donde es la forma de Kähler. Aquí hay funciones holomorfas asociadas al sector de calibración, descritas a continuación. Esta condición significa que la variedad escalar en supergravedad de cuatro dimensiones debe ser de un tipo que pueda admitir una conexión cuya intensidad de campo sea igual a la forma de Kähler. Tales variedades se conocen como variedades de Kähler-Hodge . En términos de clases características , esta condición se traduce al requisito de que donde es la primera clase de Chern del fibrado lineal, mientras que es la clase de cohomología de la forma de Kähler. ^{[19] : 380} ${\displaystyle dQ=\Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle r_{I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle c_{1}(L)=[{\mathcal {K}}]}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle [{\mathcal {K}}]}$

Una implicación de la presencia de un fibrado principal asociado en la variedad de Kähler-Hodge es que su intensidad de campo debe cuantificarse en cualquier biesfera topológicamente no trivial de la variedad escalar, de manera análoga a la condición de cuantificación de Dirac para monopolos magnéticos . Esto surge debido a la condición de cociclo , que es la consistencia de la conexión a través de diferentes parches de coordenadas. Esto puede tener varias implicaciones para la física resultante, como en una variedad escalar, resulta en la cuantificación de la constante de Newton . ^{[15] : 124–126} ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle \Omega =dQ}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Simetrías globales de supergravedad no medida

Las simetrías globales en la supergravedad no calibrada se dividen aproximadamente en tres clases: son subgrupos del grupo de isometría de la variedad escalar , son rotaciones entre los campos de calibración o son el grupo de simetría R. El grupo de simetría global exacto depende de los detalles de la teoría, como la función cinética de calibración y superpotencial particular, que proporcionan restricciones adicionales al grupo de simetría.

El grupo de simetría global de una supergravedad con multipletes vectoriales abelianos y multipletes quirales debe ser un subgrupo de . ^{[nb 4] [25] : 209} Aquí está el grupo de isometría de la variedad escalar, es el conjunto de simetrías que actúan solo sobre los campos vectoriales , y es el grupo de simetría R, que sobrevive como una simetría global solo en teorías con un superpotencial que se desvanece. Cuando la matriz cinética de calibración es una función de los escalares, entonces el grupo de isometría se descompone en , donde el primer grupo actúa solo sobre los escalares dejando los vectores sin cambios, mientras que el segundo transforma simultáneamente tanto los escalares como los vectores. Estas transformaciones simultáneas no son simetrías convencionales de la acción, sino que son transformaciones de dualidad que dejan las ecuaciones de movimiento y la identidad de Bianchi sin cambios, similar a la dualidad de Montonen-Olive . ^{[nb 5] [26]} ${\displaystyle n_{v}}$ ${\displaystyle n_{c}}$ ${\displaystyle G_{\text{iso}}\times G_{v}\times U(1)_{R}}$ ${\displaystyle G_{\text{iso}}}$ ${\displaystyle G_{v}}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)_{R}}$ ${\displaystyle n_{cv}\leq n_{c}}$ ${\displaystyle G_{\text{iso}}\rightarrow G_{{\text{iso}},c}\times G_{{\text{iso}},cv}}$

Las simetrías globales que actúan sobre escalares sólo pueden ser subgrupos del grupo de isometría de la variedad escalar, ya que las transformaciones deben preservar la métrica escalar. Las transformaciones de isometría infinitesimal se describen mediante vectores de Killing , que son vectores que satisfacen la ecuación de Killing , donde es la derivada de Lie a lo largo de la dirección del vector de Killing. Actúan sobre los escalares como ^{[nb 6]} y son los generadores del álgebra de isometría , que satisface la ecuación de estructura. ${\displaystyle \xi _{I}^{n}(\phi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi _{I}}g=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi _{I}}}$ ${\displaystyle \phi ^{n}\rightarrow \phi ^{n}+\alpha ^{I}\xi _{I}^{n}(\phi )}$

${\displaystyle [\xi _{I},\xi _{J}]=f_{IJ}{}^{K}\xi _{K}.}$

Puesto que la variedad escalar es una variedad compleja, los vectores de Killing correspondientes a simetrías de esta variedad también deben conservar la estructura compleja , ^{[nb 7]} lo que implica que deben ser holomorfos . ^{[15] : 90–91} Por lo tanto, el grupo de calibración debe ser un subgrupo del grupo formado por vectores de Killing holomorfos , no simplemente un subgrupo del grupo de isometría. Para las variedades de Kähler, esta condición implica adicionalmente que existe un conjunto de funciones holomorfas conocidas como prepotenciales de Killing que satisfacen , donde es el producto interior . Los prepotenciales de Killing se pueden escribir explícitamente en términos del potencial de Kähler ^{[15] : 91} ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi _{I}}J=0}$ ${\displaystyle \xi _{I}^{\bar {m}}={\bar {\xi }}_{I}^{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{I}}$ ${\displaystyle i_{\xi _{I}}J=d{\mathcal {P}}_{I}}$ ${\displaystyle i_{\xi _{I}}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{J}={\frac {i}{2}}[\xi _{I}^{m}\partial _{m}K-\xi _{I}^{\bar {n}}\partial _{\bar {n}}K-(r_{I}-{\bar {r}}_{I})],}$

donde las funciones holomorfas son las transformaciones de Kähler que deshacen la transformación de isometría, definida por ${\displaystyle r_{I}(\phi )}$

${\displaystyle \xi _{I}^{m}\partial _{m}K+\xi _{I}^{\bar {n}}\partial _{\bar {n}}K=r_{I}(\phi )+{\bar {r}}_{I}({\bar {\phi }}).}$

El prepotencial también debe satisfacer una condición de consistencia conocida como condición de equivariancia ^{[19] : 269}

${\displaystyle \xi _{I}^{m}g_{m{\bar {n}}}\xi _{J}^{\bar {n}}-\xi _{J}^{m}g_{m{\bar {n}}}\xi _{I}^{\bar {n}}=if_{IJ}{}^{K}{\mathcal {P}}_{K},}$

¿Dónde están las constantes de estructura del álgebra de gauge? ${\displaystyle f_{IJ}{}^{K}}$

Una restricción adicional sobre las simetrías globales de los escalares es que el superpotencial debe ser invariante hasta la misma transformación de Kähler que deja al potencial de Kähler invariante, lo que impone la condición de que los únicos superpotenciales admisibles son aquellos que satisfacen ^{[25] : 211} ${\displaystyle r_{I}(\phi )}$

${\displaystyle \xi _{I}^{n}\partial _{n}W={\frac {r_{I}}{M_{P}^{2}}}W.}$

Las simetrías globales que involucran escalares presentes en la matriz cinética de calibración todavía actúan sobre los campos escalares como transformaciones de isometría, pero ahora estas transformaciones cambian la matriz cinética de calibración. Para dejar la teoría invariante bajo una transformación de isometría escalar se requiere una transformación compensatoria sobre los vectores. ^{[25] : 211–212  [nb 8]} Estas transformaciones vectoriales se pueden expresar como transformaciones sobre los tensores de intensidad de campo eléctrico y su contraparte magnética dual definida a partir de la ecuación de movimiento ${\displaystyle F_{I}^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle G_{I}^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \star G_{I}^{\mu \nu }=2{\frac {\delta S}{\delta F_{\mu \nu }^{I}}}.}$

Escribir las intensidades de campo y las intensidades de campo duales en un solo vector permite escribir las transformaciones más generales como donde los generadores de estas transformaciones están dados por ${\displaystyle \delta _{I}({\begin{smallmatrix}F\\G\end{smallmatrix}})=T_{I}({\begin{smallmatrix}F\\G\end{smallmatrix}})}$

${\displaystyle T_{I}={\begin{pmatrix}a_{I}{}^{J}{}_{K}&b_{I}{}^{JK}\\c_{IJK}&d_{IJ}{}^{K}\end{pmatrix}}.}$

Exigir que las ecuaciones de movimiento y las identidades de Bianchi no cambien restringe las transformaciones a ser un subgrupo del grupo simpléctico . ^{[25] : 58} Los generadores exactos dependen de la matriz cinética de calibre particular, con ellos ${\displaystyle {\text{Sp}}(2n_{v},\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \xi _{I}^{n}\partial _{n}f_{JK}(\phi )=c_{IJK}+d_{IJ}{}^{M}f_{MK}-f_{JM}a_{I}{}^{M}{}_{K}+b_{I}{}^{MN}f_{JM}f_{KN}}$

fijando los coeficientes que determinan . Las transformaciones que involucran , son simetrías no perturbativas que no dejan la acción invariante ya que mapean la intensidad del campo eléctrico en la intensidad del campo magnético. ^{[25] : 212} Más bien, estas son transformaciones de dualidad que son solo simetrías al nivel de las ecuaciones de movimiento, relacionadas con la dualidad electromagnética. Mientras tanto, las transformaciones con se conocen como desplazamientos generalizados de Peccei-Quinn y solo dejan la acción invariante hasta las derivadas totales. Las simetrías globales que involucran solo vectores son transformaciones que mapean el tensor de intensidad de campo en sí mismo y generalmente pertenecen a . ${\displaystyle T_{I}}$ ${\displaystyle b_{I}\neq 0}$ ${\displaystyle c_{I}\neq 0}$ ${\displaystyle G_{v}}$ ${\displaystyle {\text{O}}(n_{v})\subset {\text{Sp}}(2n_{v},\mathbb {R} )}$

Simetría de calibre

En una supergravedad no calibrada, la simetría de calibre solo consiste en transformaciones abelianas de los campos de calibre , sin que se calibra ningún otro campo. ${\displaystyle \delta A_{\mu }^{I}=\partial _{\mu }\alpha ^{I}(x)}$

Mientras tanto, la supergravedad calibrada calibra algunas de las simetrías globales de la teoría no calibrada. Dado que las simetrías globales están fuertemente limitadas por los detalles de la teoría actual, como la variedad escalar, el potencial escalar y la matriz cinética de calibración, los grupos de calibración disponibles también son limitados.

La supergravedad calibrada es invariante bajo las transformaciones de calibre con el parámetro de calibre dado por ^{[19] : 389} ${\displaystyle \alpha ^{I}(x)}$

${\displaystyle \delta _{\alpha }\phi ^{n}=\alpha ^{I}(x)\xi _{I}^{n},}$

${\displaystyle \delta _{\alpha }\chi ^{n}=\alpha ^{I}(x)\partial _{m}\xi _{I}^{n}\chi ^{m}+{\frac {1}{4M_{P}^{2}}}\alpha ^{I}(x)(r_{I}-{\bar {r}}_{I})\chi ^{n},}$

${\displaystyle \delta _{\alpha }A_{\mu }^{I}=\partial _{\mu }\alpha ^{I}(x)+\alpha ^{J}(x)f_{KJ}{}^{I}A_{\mu }^{K},}$

${\displaystyle \delta _{\alpha }\lambda ^{I}=\alpha ^{J}(x)f_{KJ}{}^{I}\lambda ^{K}-{\frac {1}{4M_{P}^{2}}}\alpha ^{J}(x)\gamma _{5}(r_{J}-{\bar {r}}_{J})\lambda ^{I},}$

${\displaystyle \delta _{\alpha }\psi _{L\mu }=-{\frac {1}{4M_{P}^{2}}}\alpha ^{I}(x)(r_{I}-{\bar {r}}_{I})\psi _{L\mu }.}$

Aquí están los generadores del álgebra calibrada ^{[nb 9]} mientras que se definen como las transformaciones de Kähler compensatorias necesarias para restaurar el potencial de Kähler a su forma original después de realizar transformaciones de isometría de campo escalar, con sus componentes imaginarios fijados por la condición de equivarianza. Siempre que se calibra un subgrupo, como ocurre cuando se calibra la simetría R, esto no fija , y estos términos se denominan términos de Fayet-Iliopoulos . ${\displaystyle \xi _{I}^{n}}$ ${\displaystyle r_{I}(\phi )}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(r_{I})}$

Derivadas covariantes

La supergravedad tiene varias simetrías distintas, todas las cuales requieren sus propias derivadas covariantes . La derivada covariante de Lorentz estándar en el espacio-tiempo curvo se denota por , siendo esto trivial para los campos escalares, mientras que para los campos fermiónicos se puede escribir utilizando la conexión de espín como ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}$

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{4}}\omega _{\mu }{}^{ab}\gamma _{ab}.}$

Los escalares se transforman de manera no trivial solo bajo transformaciones de coordenadas escalares y transformaciones de calibre, por lo que su derivada covariante está dada por

${\displaystyle {\hat {\partial }}_{\mu }\phi ^{n}=\partial _{\mu }\phi ^{n}-A_{\mu }^{I}\xi _{I}^{n},}$

donde son los vectores de Killing holomorfos correspondientes al subgrupo de isometría calibrada de la variedad escalar. Un sombrero sobre una derivada indica que es covariante con respecto a las transformaciones de calibración. Mientras tanto, el superpotencial solo se transforma de manera no trivial bajo las transformaciones de Kähler y, por lo tanto, tiene una derivada covariante dada por ${\displaystyle \xi _{I}^{n}(\phi )}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}W=\partial _{n}W+{\frac {1}{M_{P}^{2}}}(\partial _{n}K)W,}$

donde es una derivada con respecto a . ${\displaystyle \partial _{n}}$ ${\displaystyle \phi ^{n}}$

Las diversas derivadas covariantes asociadas a los fermiones dependen de las simetrías bajo las cuales se cargan los fermiones. El gravitino se transforma bajo las transformaciones de Lorentz y Kähler, mientras que el gaugino también se transforma bajo transformaciones de calibre. El quiralino se transforma bajo todas estas transformaciones y también se transforma como un vector bajo redefiniciones de campo escalar. Por lo tanto, sus derivadas covariantes están dadas por ^{[19] : 386–387}

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\psi _{\nu }=D_{\mu }\psi _{\nu }+{\frac {i}{2M_{P}^{2}}}Q_{\mu }\gamma _{5}\psi _{\nu },}$

${\displaystyle {\hat {\mathcal {D}}}_{\mu }\lambda ^{I}=D_{\mu }\lambda ^{I}+A_{\mu }^{J}f_{JK}^{I}\lambda ^{K}+{\frac {i}{2M_{P}^{2}}}Q_{\mu }\gamma _{5}\lambda ^{I},}$

${\displaystyle {\hat {\mathcal {D}}}_{\mu }\chi _{L}^{m}=D_{\mu }\chi _{L}^{m}+({\hat {\partial }}_{\mu }\phi ^{n})\Gamma _{nl}^{m}\chi _{L}^{l}-A_{\mu }^{I}(\partial _{n}\xi _{I}^{m})\chi _{L}^{n}-{\frac {i}{2M_{P}^{2}}}Q_{\mu }\chi _{L}^{m}.}$

Aquí se encuentra el símbolo de Christoffel de la variedad escalar, mientras que son las constantes de estructura del álgebra de Lie asociadas al grupo de norma. Por último, se encuentra la conexión en la variedad escalar, con su forma explícita dada en términos del potencial de Kähler descrito anteriormente. ${\displaystyle \Gamma _{nl}^{m}=g^{m{\bar {p}}}\partial _{n}g_{l{\bar {p}}}}$ ${\displaystyle f_{JK}{}^{I}}$ ${\displaystyle Q_{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Simetría R

La R-simetría de las superálgebras es una simetría global que actúa sólo sobre los fermiones, transformándolos mediante una fase ^{[25] : 201} ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

${\displaystyle \chi ^{m}\rightarrow e^{i\theta \gamma _{5}}\chi ^{m},\ \ \ \ \ \ \psi _{\mu },\lambda ^{I}\rightarrow e^{-i\theta \gamma _{5}}\psi _{\mu },\lambda ^{I}.}$

Esto es idéntico a la forma en que una transformación de Kähler constante actúa sobre los fermiones, diferenciándose de tales transformaciones solo en que no transforma adicionalmente el superpotencial. Dado que las transformaciones de Kähler son necesariamente simetrías de supergravedad, la simetría R solo es una simetría de supergravedad cuando estas dos coinciden, lo que solo ocurre para un superpotencial que se desvanece. ^{[25] : 204}

Siempre que la simetría R sea una simetría global de la teoría no calibrada, se puede calibrar para construir una supergravedad calibrada, que no necesariamente requiere calibrar ningún escalar quiral. El ejemplo más simple de una supergravedad de este tipo es la supergravedad calibrada de Freedman, que solo tiene un único vector utilizado para calibrar la simetría R y cuya acción bosónica es equivalente a una teoría de Einstein-Maxwell-de Sitter. ^[27]

4Dnorte= 1 Lagrangiano de supergravedad

El lagrangiano para la supergravedad 4D con un número arbitrario de supermultipletes quirales y vectoriales se puede dividir como ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{kinetic}}+{\mathcal {L}}_{\text{theta}}+{\mathcal {L}}_{\text{mass}}+{\mathcal {L}}_{\text{interaction}}+{\mathcal {L}}_{\text{supercurrent}}+{\mathcal {L}}_{\text{potential}}+{\mathcal {L}}_{\text{4-fermion}}.}$

Además de ser invariante bajo transformaciones de supersimetría local, este lagrangiano también es invariante ante las transformaciones de Lorentz, de norma y de Kähler, siendo las derivadas covariantes covariantes ante estas transformaciones. Las tres funciones principales que determinan la estructura del lagrangiano son el superpotencial, el potencial de Kähler y la matriz cinética de norma.

Términos cinéticos y theta

El primer término del Lagrangiano consta de todos los términos cinéticos de los campos ^{[19] : 386–388  [15] : 114–115  [2]}

${\displaystyle e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{kinetic}}={\frac {M_{P}^{2}}{2}}R-{\frac {M_{P}^{2}}{2}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }{\mathcal {D}}_{\nu }\psi _{\rho }}$

${\displaystyle -g_{m{\bar {n}}}[({\hat {\partial }}_{\mu }\phi ^{m})({\hat {\partial }}^{\mu }\phi ^{\bar {n}})+{\bar {\chi }}_{L}^{m}{\hat {{\mathcal {D}}\!\!\!/}}\chi _{R}^{n}+{\bar {\chi }}_{R}^{\bar {n}}{\hat {{\mathcal {D}}\!\!\!/}}\chi _{L}^{m}]}$

${\displaystyle +{\text{Re}}(f_{IJ}){\bigg [}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{I}F^{\mu \nu J}-{\frac {1}{2}}{\bar {\lambda }}^{I}{\hat {{\mathcal {D}}\!\!\!/}}\lambda ^{J}{\bigg ]}.}$

La primera línea es la acción cinética para el multiplete de supergravedad, formada por la acción de Einstein-Hilbert y la acción de Rarita-Schwinger covariantizada ; esta línea es la generalización covariante de la acción de supergravedad pura. El formalismo utilizado para describir la gravedad es el formalismo de Vielbein , donde es el vielbein mientras que es la conexión de espín. Además, y es la masa de Planck de cuatro dimensiones . ${\displaystyle e_{a}^{\mu }}$ ${\displaystyle \omega _{ab}^{\mu }}$ ${\displaystyle e=\det e_{\mu }^{a}={\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle M_{P}}$

La segunda línea consta de los términos cinéticos para los multipletes quirales, con su forma general determinada por la métrica de la variedad escalar que a su vez está totalmente fijada por el potencial de Kähler . La tercera línea tiene los términos cinéticos para los multipletes de calibración, con su comportamiento fijado por la parte real de la matriz cinética de calibración. La matriz cinética de calibración holomorfa debe tener una parte real definida positiva para tener términos cinéticos con el signo correcto. La barra en las derivadas covariantes corresponde a la notación de barra de Feynman , mientras que son las intensidades de campo de los campos de calibración . ${\displaystyle g_{m{\bar {n}}}=\partial _{m}\partial _{\bar {n}}K}$ ${\displaystyle f_{IJ}(\phi )}$ ${\displaystyle \partial \!\!\!/=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{I}}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{I}}$

El sector de calibre también introduce un término similar a theta

${\displaystyle e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{theta}}={\frac {1}{8}}{\text{Im}}(f_{IJ}){\bigg [}F_{\mu \nu }^{I}F_{\rho \sigma }^{J}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }-2i{\hat {\mathcal {D}}}_{\mu }(e{\bar {\lambda }}^{I}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\lambda ^{J}){\bigg ]},}$

siendo esto una derivada total siempre que la parte imaginaria de la matriz cinética de calibre sea una constante, en cuyo caso no contribuye a las ecuaciones clásicas de movimiento.

Términos de masa e interacción

La acción de la supergravedad tiene un conjunto de términos bilineales similares a la masa para sus fermiones dados por

${\displaystyle e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{mass}}={\frac {1}{2M_{P}^{2}}}e^{K/2M_{P}^{2}}W{\bar {\psi }}_{\mu R}\gamma ^{\mu \nu }\psi _{\nu R}}$

${\displaystyle +{\frac {1}{4}}e^{K/2M_{P}^{2}}({\mathcal {D}}_{m}W)g^{m{\bar {n}}}\partial _{\bar {n}}{\bar {f}}_{IJ}{\bar {\lambda }}_{R}^{I}\lambda _{R}^{J}-{\frac {1}{2}}e^{K/2M_{P}^{2}}({\mathcal {D}}_{m}{\mathcal {D}}_{n}W){\bar {\chi }}_{L}^{\bar {m}}\chi _{L}^{n}}$

${\displaystyle +{\frac {i{\sqrt {2}}}{4}}D^{I}\partial _{m}f_{IJ}{\bar {\chi }}_{L}^{m}\lambda ^{J}-{\sqrt {2}}\xi _{I}^{\bar {n}}g_{m{\bar {n}}}{\bar {\lambda }}^{I}\chi _{L}^{m}+h.c..}$

Los términos D se definen como ${\displaystyle D^{I}}$

${\displaystyle D^{I}=({\text{Re}}\ f)^{-1IJ}{\mathcal {P}}_{J},}$

donde son los prepotenciales holomórficos de Killing y es el superpotencial holomórfico . La primera línea en el Lagrangiano es el término similar a la masa para el gravitino mientras que las dos líneas restantes son los términos de masa para los chiralini y gluini junto con los términos de mezcla bilineal para estos. Estos términos determinan las masas de los fermiones ya que la evaluación del Lagrangiano en un estado de vacío con campos escalares constantes reduce el Lagrangiano a un conjunto de bilineales de fermiones con prefactores numéricos. Esto se puede escribir como una matriz , con los valores propios de esta matriz de masas siendo las masas de los fermiones en la base de masas. Los estados propios de masa son en general combinaciones lineales de los fermiones chiralini y gaugini. ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{J}}$ ${\displaystyle W(\phi )}$

El siguiente término en el lagrangiano es la generalización de supergravedad de un término similar encontrado en la acción globalmente supersimétrica correspondiente que describe la mezcla entre el bosón de calibración , un quiralino y el gaugino. En el lagrangiano de supergravedad, está dado por

${\displaystyle e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{interaction}}=-{\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\partial _{m}f_{IJ}F_{\mu \nu }^{I}{\bar {\chi }}_{L}^{m}\gamma ^{\mu \nu }\lambda _{L}^{J}+h.c..}$

Términos supercorrientes

Los términos de supercorriente describen el acoplamiento del gravitino a las generalizaciones de las supercorrientes quirales y de calibre a partir de la supersimetría global como

${\displaystyle e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{supercurrent}}=-(J_{\text{chiral}}^{\mu }\psi _{\mu L}+h.c.)-J_{\text{gauge}}^{\mu }\psi _{\mu },}$

dónde

${\displaystyle J_{\text{chiral}}^{\mu }=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}g_{m{\bar {n}}}{\bar {\chi }}_{L}^{m}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }{\hat {\partial }}_{\nu }\phi ^{\bar {n}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bar {\chi }}_{R}^{\bar {n}}\gamma ^{\mu }e^{K/2M_{P}^{2}}{\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}},}$

${\displaystyle J_{\text{gauge}}^{\mu }=-{\tfrac {1}{4}}{\bar {\lambda }}^{J}{\text{Re}}(f_{IJ})F_{\nu \rho }^{I}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu \rho }-{\tfrac {i}{2}}{\bar {\lambda }}^{J}{\mathcal {P}}_{J}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}.}$

Estas son las supercorrientes del sector quiral y del sector de calibración modificadas adecuadamente para ser covariantes bajo las simetrías de la acción de la supergravedad. Proporcionan términos bilineales adicionales entre el gravitino y los otros fermiones que deben tenerse en cuenta al analizar la base de masas.

La presencia de términos que acoplan el gravitino a las supercorrientes de la teoría global es una característica genérica de las teorías de supergravedad, ya que el gravitino actúa como el campo de calibración para la supersimetría local. ^{[15] : 104} Esto es análogo al caso de las teorías de calibración de manera más general, donde los campos de calibración se acoplan a la corriente asociada a la simetría que se ha calibrado. Por ejemplo, la electrodinámica cuántica consta de la acción de Maxwell y la acción de Dirac , junto con un acoplamiento entre el fotón y la corriente , que generalmente se absorbe en la definición de la derivada covariante del fermión. ^[28] ${\displaystyle -ej^{\mu }A_{\mu }}$

Potencial escalar

El término potencial en el Lagrangiano describe el potencial escalar como ${\displaystyle e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{potential}}=-V(\phi ,{\bar {\phi }})}$

${\displaystyle V(\phi ,{\bar {\phi }})=e^{K/M_{P}^{2}}{\bigg [}g^{m{\bar {n}}}({\mathcal {D}}_{m}W)({\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}})-{\frac {3|W|^{2}}{M_{P}^{2}}}{\bigg ]}+{\frac {1}{2}}{\text{Re}}(f_{IJ})D^{I}D^{J},}$

donde el primer término se conoce como término F y es una generalización del potencial que surge de los multipletes quirales en la supersimetría global, junto con una nueva contribución gravitacional negativa proporcional a . El segundo término se llama término D y también se encuentra en una forma similar en la supersimetría global, surgiendo del sector de calibración. ${\displaystyle |W|^{2}}$

El potencial de Kähler y el superpotencial no son independientes en la supergravedad, ya que las transformaciones de Kähler permiten el desplazamiento de términos entre ellos. En cambio, las dos funciones se pueden empaquetar en una función invariante conocida como función invariante de Kähler ^{[19] : 370}

${\displaystyle G=M_{P}^{-2}K+\ln(M_{P}^{-6}|W|^{2}).}$

El lagrangiano se puede escribir en términos de esta función como

${\displaystyle V=M_{P}^{4}e^{G}[\partial _{m}G(\partial ^{m}\partial ^{\bar {n}}G)\partial _{\bar {n}}G-3].}$

Términos de cuatro fermiones

Por último, están los términos de interacción de cuatro fermiones , que se dan en ^{[19] : 388}

${\displaystyle e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{4-fermion}}={\frac {M_{P}^{2}}{2}}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}}$

${\displaystyle +{\bigg [}-{\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\partial _{m}f_{IJ}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu }\chi ^{m}{\bar {\lambda }}^{I}\lambda _{L}^{J}+{\frac {1}{8}}({\mathcal {D}}_{m}\partial _{n}f_{IJ}){\bar {\chi }}^{m}\chi ^{n}{\bar {\lambda }}^{I}\lambda _{L}^{J}+h.c.{\bigg ]}}$

${\displaystyle +{\frac {1}{16}}ie^{-1}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma _{\nu }\psi _{\rho }{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\text{Re}}(f_{IJ}){\bar {\lambda }}^{I}\gamma _{5}\gamma _{\sigma }\lambda ^{J}+g_{m{\bar {n}}}{\bar {\chi }}^{\bar {n}}\gamma _{\sigma }\chi ^{m}{\bigg )}-{\frac {1}{2}}g_{m{\bar {n}}}{\bar {\psi }}_{\mu }\chi ^{\bar {n}}{\bar {\psi }}^{\mu }\chi ^{m}}$

${\displaystyle +{\frac {1}{4}}{\bigg (}R_{m{\bar {n}}p{\bar {q}}}-{\frac {1}{2M_{P}^{2}}}g_{m{\bar {n}}}g_{p{\bar {q}}}{\bigg )}{\bar {\chi }}^{m}\chi ^{p}{\bar {\chi }}^{\bar {n}}\chi ^{\bar {q}}}$

${\displaystyle +{\frac {3}{64M_{P}^{2}}}[{\text{Re}}(f_{IJ}){\bar {\lambda }}^{I}\gamma _{\mu }\gamma _{5}\lambda ^{J}]^{2}-{\frac {1}{16}}\partial _{m}f_{IJ}{\bar {\lambda }}^{I}\lambda _{L}^{J}g^{m{\bar {n}}}{\bar {\partial }}_{\bar {n}}f_{KM}{\bar {\lambda }}^{K}\lambda _{R}^{M}}$

${\displaystyle +{\frac {1}{16}}({\text{Re}}(f))^{-1\ IJ}(\partial _{m}f_{IK}{\bar {\chi }}^{m}-\partial _{\bar {m}}{\bar {f}}_{IK}{\bar {\chi }}^{\bar {m}})\lambda ^{K}(\partial _{n}f_{JM}{\bar {\chi }}^{n}-\partial _{\bar {n}}{\bar {f}}_{JM}{\bar {\chi }}^{\bar {n}})\lambda ^{M}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{4M_{P}^{2}}}g_{m{\bar {n}}}{\text{Re}}(f_{IJ}){\bar {\chi }}^{m}\lambda ^{I}{\bar {\chi }}^{\bar {n}}\lambda ^{J}.}$

Aquí está el tensor de Riemann de la variedad escalar , mientras que es el término de interacción de cuatro gravitinos de supergravedad ^{[19] : 192} ${\displaystyle R_{m{\bar {n}}p{\bar {q}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}}$

${\displaystyle e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}=-{\frac {1}{16}}[({\bar {\psi }}^{\rho }\gamma ^{\mu }\psi ^{\nu })({\bar {\psi }}_{\rho }\gamma _{\mu }\psi _{\nu }+2{\bar {\psi }}_{\rho }\gamma _{\nu }\psi _{\mu })-4({\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\sigma }\psi _{\sigma })({\bar {\psi }}^{\mu }\gamma ^{\sigma }\psi _{\sigma })]}$

que surge en la acción de segundo orden de la supergravedad pura después de que el tensor de torsión ha sido sustituido en la acción de primer orden. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

Propiedades

Reglas de transformación de supersimetría

Las reglas de transformación de supersimetría, hasta los términos de tres fermiones que no son importantes para la mayoría de las aplicaciones, ^{[nb 10]} se dan en ^{[19] : 389}

${\displaystyle \delta e_{\mu }^{a}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },}$

${\displaystyle \delta \phi ^{m}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bar {\epsilon }}_{L}\chi _{L}^{m},}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }^{I}=-{\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma _{\mu }\lambda ^{I},}$

${\displaystyle \delta \psi _{\mu L}={\mathcal {D}}_{\mu }\epsilon _{L}+\gamma _{\mu }S\epsilon _{R},}$

${\displaystyle \delta \chi _{L}^{m}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\hat {\partial \!\!\!/}}\phi ^{m}\epsilon _{R}+{\mathcal {N}}^{m}\epsilon _{L},}$

${\displaystyle \delta \lambda _{L}^{I}={\tfrac {1}{4}}\gamma ^{\mu \nu }F_{\mu \nu }^{I}\epsilon _{L}+N^{I}\epsilon _{L},}$

dónde

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2M_{P}^{2}}}e^{K/2M_{P}^{2}}W,}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{m}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}g^{m{\bar {n}}}e^{K/2M_{P}^{2}}{\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}},}$

${\displaystyle N^{I}={\tfrac {i}{2}}D^{I},}$

Se conocen como desplazamientos fermiónicos . Una característica general de las teorías de supergravedad es que los desplazamientos fermiónicos fijan la forma del potencial. En este caso, se pueden utilizar para expresar el potencial como ^{[15] : 118}

${\displaystyle V(\phi )=-12M_{P}^{2}S{\bar {S}}+2g_{m{\bar {n}}}{\mathcal {N}}^{m}{\mathcal {N}}^{\bar {n}}+2{\text{Re}}(f_{IJ})N^{I}{\bar {N}}^{J},}$

mostrando que los desplazamientos fermiónicos de los campos de materia dan una contribución definida positiva, mientras que el gravitino da una contribución definida negativa. ^{[15] : 132}

Ruptura espontánea de la simetría

Un estado de vacío utilizado en muchas aplicaciones de la supergravedad es el de un espaciotiempo máximamente simétrico sin condensado fermiónico . El caso en el que hay condensados ​​fermiónicos presentes se puede tratar de manera similar considerando en su lugar la teoría del campo efectivo por debajo de la escala de condensación, donde el condensado ahora se describe por la presencia de otro campo escalar. ^{[15] : 131} Hay tres tipos de espaciotiempos máximamente simétricos, que son los espaciostiempos de De Sitter , de Minkowski y anti-de Sitter , que se distinguen por el signo de la constante cosmológica , que en la supergravedad a nivel clásico es equivalente al signo del potencial escalar.

La supersimetría se conserva si todas las variaciones supersimétricas de los campos fermiónicos se desvanecen en el estado de vacío. Dado que el espaciotiempo máximamente simétrico en consideración tiene un campo escalar constante y un campo de calibración que se desvanece, ^{[nb 11]} la variación de los chiralini y gluini implica que . ^{[nb 12]} Esto es equivalente a la condición de que . ^{[15] : 133} De la forma del potencial escalar se deduce que solo se puede tener un vacío supersimétrico si . Además, el espaciotiempo supersimétrico de Minkowski ocurre si y solo si el superpotencial también se desvanece . Sin embargo, tener una solución de Minkowski o anti-de Sitter no implica necesariamente que el vacío sea supersimétrico. Una característica importante de las soluciones supersimétricas en el espaciotiempo anti-de Sitter es que satisfacen el límite de Breitenlohner-Freedman y, por lo tanto, son estables con respecto a las fluctuaciones de los campos escalares, una característica que también está presente en otras teorías de supergravedad. ^{[19] : 404} ${\displaystyle \langle {\mathcal {N}}^{m}\rangle =\langle N^{I}\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {D}}_{m}W\rangle =\langle {\mathcal {D}}^{I}\rangle =0}$ ${\displaystyle V\leq 0}$ ${\displaystyle \langle W\rangle =0}$

La supergravedad proporciona un mecanismo útil para la ruptura espontánea de la simetría de la supersimetría, conocida como mediación gravitacional. ^{[19] : 397–401} Esta configuración tiene un sector oculto y un sector observable que no tienen acoplamientos renormalizables entre ellos, lo que significa que se desacoplan completamente entre sí en el límite de supersimetría global. En este escenario, la ruptura de la supersimetría ocurre en el sector oculto, y esto se transmite al sector observable solo a través de términos no renormalizables, lo que resulta en una ruptura suave de la supersimetría en el sector visible, lo que significa que no se introducen divergencias cuadráticas. Uno de los primeros y más simples modelos de mediación gravitacional es el modelo de Polonyi. ^{[30] [15] : 150–155} Otros mecanismos notables de ruptura espontánea de la simetría son la mediación de anomalías y la mediación de calibración, en las que los términos suaves de nivel de árbol generados a partir de la mediación gravitacional son en sí mismos subdominantes. ^{[15] : 149–150  [31] : 55–61} ${\displaystyle M_{P}\rightarrow \infty }$

Mecanismo de super-Higgs

Los términos lagrangianos supercorrientes consisten en parte en términos fermiónicos bilineales que mezclan el gravitino con los otros fermiones. Estos términos pueden expresarse como

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{supercurrent}}\supset -{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu }v_{L}+h.c.}$

¿Dónde está la generalización de supergravedad del campo de supersimetría global de Goldstino ^{[19] : 393?} ${\displaystyle v_{L}}$

${\displaystyle v_{L}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\chi _{L}^{m}e^{K/2M_{P}^{2}}{\mathcal {D}}_{m}W-{\tfrac {1}{2}}i\lambda _{L}^{I}{\mathcal {P}}_{I}.}$

Este campo se transforma bajo transformaciones de supersimetría como , donde es la parte positiva del potencial escalar. Cuando la supersimetría se rompe espontáneamente , entonces siempre se puede elegir un calibre donde , en cuyo caso los términos que mezclan el gravitino con los otros fermiones desaparecen. El único término bilineal del fermión restante que involucra al gravitino es el término gravitino cuadrático en . Cuando el espacio-tiempo final es el espacio-tiempo de Minkowski, ^{[nb 13]} este término bilineal corresponde a una masa para el gravitino con un valor de ${\displaystyle \delta v_{L}={\tfrac {1}{2}}V_{+}\epsilon _{L}+\cdots }$ ${\displaystyle V_{+}}$ ${\displaystyle V_{+}>0}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{mass}}}$

${\displaystyle m_{3/2}={\tfrac {1}{M_{P}^{2}}}e^{K/2M_{P}^{2}}W.}$

Una implicación de este procedimiento al calcular la masa de los fermiones restantes es que la transformación de fijación de calibre para el goldstino conduce a contribuciones de desplazamiento adicionales a la matriz de masa para los fermiones quirales y de calibre, que deben incluirse. ^{[19] : 394}

Reglas de suma de masas

La suma de los cuadrados de los valores propios de la matriz de masas en supertrazas proporciona información valiosa sobre los espectros de masas de las partículas en supergravedad. La fórmula general se escribe de forma más compacta en el formalismo del superespacio, ^{[32] [33]} pero en el caso especial de una constante cosmológica que se desvanece, una matriz cinética de calibración trivial y multipletes quirales, se da por ^{[19] : 396–397} ${\displaystyle f_{IJ}=\delta _{IJ}}$ ${\displaystyle n_{c}}$

${\displaystyle {\text{str}}({\mathcal {M}}^{2})=\sum _{J}(-1)^{2J}(2J+1)m_{J}^{2}}$

${\displaystyle =(n_{c}-1){\bigg (}2|m_{3/2}|^{2}-{\frac {1}{M_{P}^{2}}}{\mathcal {P}}^{I}{\mathcal {P}}_{I}{\bigg )}+2e^{K/2M_{P}^{2}}R^{m{\bar {n}}}{\mathcal {D}}_{m}W{\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}}+2iD^{I}\nabla _{m}\xi _{I}^{m},}$

que es la generalización de la supergravedad del resultado correspondiente en la supersimetría global. Una implicación importante es que, genéricamente, los escalares tienen masas del orden de la masa del gravitino, mientras que las masas fermiónicas pueden permanecer pequeñas. ^{[19] : 397}

Modelos sin escala

Los modelos sin escala son modelos con un término F que se desvanece, obtenidos eligiendo un potencial de Kähler y un superpotencial tales que ^{[19] : 401–403}

${\displaystyle g^{m{\bar {n}}}({\mathcal {D}}_{m}W)({\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}})={\frac {3|W|^{2}}{M_{P}^{2}}}.}$

Cuando se ignoran los términos D para los multipletes de calibración, esto da lugar a la desaparición del potencial clásico, que se dice que tiene direcciones planas para todos los valores del campo escalar. Además, la supersimetría se rompe formalmente, indicada por una masa no nula pero indeterminada del gravitino. Al moverse más allá del nivel clásico, las correcciones cuánticas entran en juego para romper esta degeneración, fijando la masa del gravitino. ^{[19] : 401} Las direcciones planas de nivel de árbol son útiles en aplicaciones fenomenológicas de la supergravedad en cosmología donde incluso después de levantar las direcciones planas, la pendiente suele ser relativamente pequeña, una característica útil para construir potenciales inflacionarios . Los modelos sin escala también ocurren comúnmente en compactificaciones de teoría de cuerdas. ^[34]

Efectos cuánticos

La cuantificación de la supergravedad introduce sutilezas adicionales. En particular, para que la supergravedad sea consistente como una teoría cuántica, entran en juego nuevas restricciones, como las condiciones de cancelación de anomalías y la cuantificación de la carga de los agujeros negros . ^{[19] : 391  [35]} Los efectos cuánticos también pueden desempeñar un papel importante en muchos escenarios en los que pueden contribuir a efectos dominantes, como cuando las contribuciones cuánticas elevan direcciones planas. La no renormalización de la supergravedad de cuatro dimensiones también implica que debería considerarse como una teoría de campo eficaz de alguna teoría UV . ^{[31] : 35–36}

Se espera que la gravedad cuántica no tenga simetrías globales exactas, lo que prohíbe los términos de Fayet-Iliopoulos constantes, ya que estos solo pueden surgir si hay simetrías globales exactas e ininterrumpidas. Esto se ve en las compactificaciones de la teoría de cuerdas, que pueden producir, como máximo, términos de Fayet-Iliopoulos dependientes del campo asociados a masas de Stueckelberg para simetrías calibradas. ^{[31] : 35–36} ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Teorías relacionadas

Se puede obtener una teoría 4D globalmente supersimétrica a partir de su generalización de la supergravedad mediante el desacoplamiento de la gravedad mediante el reescalado del gravitino y llevando la masa de Planck al infinito . ^{[15] : 115} Mientras tanto, la teoría de supergravedad pura se obtiene al no tener multipletes quirales o de calibración. Además, existe una versión más general de la supergravedad 4D que también incluye términos de Chern-Simon . ^[36] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle \psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }/M_{P}}$ ${\displaystyle M_{P}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

A diferencia de la supersimetría global, donde todos los modelos de supersimetría extendida pueden construirse como casos especiales de la teoría, los modelos de supergravedad extendida no son simplemente casos especiales de la teoría. ^{[15] : 200–201} Por ejemplo, en supergravedad la variedad escalar relevante debe ser una variedad de Kähler cuaterniónica . Pero como estas variedades no son en sí mismas variedades de Kähler, no pueden ocurrir como casos especiales de la variedad escalar de supergravedad. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

La supergravedad de cuatro dimensiones juega un papel significativo en la física más allá del modelo estándar, siendo especialmente relevante en la teoría de cuerdas, donde es la teoría efectiva resultante en muchas compactificaciones. Por ejemplo, dado que la compactificación en una variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones rompe 3/4 de la supersimetría inicial, la compactificación de cuerdas heteróticas en tales variedades da una supergravedad, mientras que la compactificación de las teorías de cuerdas de tipo II da una supergravedad. ^{[37] : 356–357} Pero si las teorías de tipo II se compactifican en cambio en un orientifold de Calabi-Yau , que rompe incluso más la supersimetría, el resultado también es una supergravedad. De manera similar, la compactificación de la teoría M en una variedad también da como resultado una supergravedad. ^{[37] : 433} En todas estas teorías, las propiedades particulares de la teoría de supergravedad resultante, como el potencial de Kähler y el superpotencial, están fijadas por la geometría de la variedad compacta. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

Notas

1. Existen diferencias en las convenciones de normalización entre los distintos autores. En particular, Supergravity de Freedman y Van Proeyen difiere de Supergravity de Dell'Agata y Zagermann en la normalización del escalar y del gravitino . ${\displaystyle \phi _{FVP}^{\alpha }={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\phi _{DZ}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \psi _{\mu }^{FVP}=M_{P}^{-1}\psi _{\mu }^{DZ}}$
2. Las transformaciones de Kähler no son simetrías físicas en el sentido convencional, ya que no actúan sobre los campos fundamentales y, por lo tanto, no tienen una corriente de Noether asociada. Más bien, significan una redundancia en la descripción de la teoría.
3. La conexión no es dinámica en el sentido de que no existe un campo de calibración asociado con su propia ecuación de movimiento. En cambio, la conexión es simplemente una función de campos.
4. Este es el grupo de simetría global máximo posible, con características específicas de la teoría que generalmente lo descomponen en un subgrupo más pequeño.
5. Dado que la transformación de los escalares cambiará necesariamente la matriz cinética de calibre, la transformación de los vectores será tal que compense este cambio.
6. El quiralino también se transforma bajo transformaciones de redefinición de campo escalar como un vector en la variedad escalar.
7. El campo tensorial , definido por , determina la estructura casi compleja de una variedad compleja. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{2}=-1}$
8. Consideremos el término cinético de calibración bajo alguna transformación de isometría , bajo la cual . Generalmente, , por lo que esta acción no será invariante si la transformación actúa solo sobre escalares. En cambio, también es necesario actuar sobre el campo de calibración para compensar el cambio en la matriz cinética de calibración. ${\displaystyle \phi \rightarrow \phi '}$ ${\displaystyle {\text{Re}}(f(\phi ))F^{2}\rightarrow {\text{Re}}(f(\phi '))F^{2}}$ ${\displaystyle f(\phi )\neq f(\phi ')}$ ${\displaystyle F^{2}}$
9. Puede ser menor que el álgebra de la simetría global original si solo se está calibrando una subálgebra de esta. Podría quedar una subálgebra no calibrada bajo la cual la acción no sea invariante de calibración, pero aún sea invariante globalmente.
10. Los tres términos fermiónicos en las transformaciones de supersimetría se pueden encontrar en otra parte. ^[29]
11. El campo escalar debe ser constante tanto en el espacio como en el tiempo para asegurar la máxima simetría, mientras que el campo de calibre debe desaparecer ya que de lo contrario la naturaleza vectorial del campo también rompería la simetría del espacio-tiempo.
12. Aquí el valor esperado significa que estamos evaluando estas cantidades en el estado de vacío.
13. El mecanismo funciona de manera idéntica en espacios-tiempos curvos, sin embargo no se puede interpretar directamente el término gravitino cuadrático como un término de masa regular ya que la masa es un concepto mal definido en espacios-tiempos curvos.

Referencias

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