En matemáticas , el adjetivo trivial se utiliza a menudo para referirse a una afirmación o un caso que puede obtenerse fácilmente del contexto, o a un objeto que posee una estructura simple (p. ej., grupos , espacios topológicos ). [1] [2] El sustantivo trivialidad generalmente se refiere a un aspecto técnico simple de alguna prueba o definición. El origen del término en lenguaje matemático proviene del plan de estudios medieval trivium , que se distingue del plan de estudios quadrivium más difícil . [1] [3] Lo opuesto a trivial es no trivial , que se usa comúnmente para indicar que un ejemplo o una solución no es simple, o que un enunciado o un teorema no es fácil de demostrar. [2]
El juicio sobre si una situación bajo consideración es trivial o no depende de quién la considere, ya que la situación es obviamente cierta para alguien que tiene suficiente conocimiento o experiencia sobre ella, mientras que para alguien que nunca ha visto esto, puede ser incluso difícil de entender. así que no es nada trivial. Y puede haber una discusión sobre la rapidez y facilidad con la que se debe reconocer un problema para que se trate como trivial. Por tanto, la trivialidad no es una propiedad universalmente aceptada en matemáticas y lógica.
En matemáticas, el término "trivial" se utiliza a menudo para referirse a objetos (por ejemplo, grupos, espacios topológicos) con una estructura muy simple. Estos incluyen, entre otros:
" Trivial " también se puede utilizar para describir soluciones a una ecuación que tiene una estructura muy simple, pero que por razones de exhaustividad no se puede omitir. Estas soluciones se llaman soluciones triviales . Por ejemplo, considere la ecuación diferencial
donde es una función cuya derivada es . La solución trivial es la función cero.
mientras que una solución no trivial es la función exponencial
La ecuación diferencial con condiciones de contorno es importante en matemáticas y física, ya que podría usarse para describir una partícula en una caja en mecánica cuántica o una onda estacionaria en una cuerda. Siempre incluye la solución , que se considera obvia y por eso se denomina solución "trivial". En algunos casos, pueden existir otras soluciones ( sinusoides ), que se denominan soluciones "no triviales". [4]
De manera similar, los matemáticos suelen describir el último teorema de Fermat como la afirmación de que no hay soluciones enteras no triviales para la ecuación , donde n es mayor que 2. Claramente, hay algunas soluciones para la ecuación. Por ejemplo, es una solución para cualquier n , pero dichas soluciones son obvias y se pueden obtener con poco esfuerzo y, por tanto, "triviales".
Trivial también puede referirse a cualquier caso fácil de prueba, que en aras de la integridad no puede ignorarse. Por ejemplo, las demostraciones por inducción matemática tienen dos partes: el "caso base", que muestra que el teorema es verdadero para un valor inicial particular (como n = 0 o n = 1), y el paso inductivo que muestra que si el teorema es cierto para un cierto valor de n , entonces también lo es para el valor n + 1. El caso base suele ser trivial y se identifica como tal, aunque hay situaciones en las que el caso base es difícil pero el paso inductivo es trivial. De manera similar, uno podría querer demostrar que todos los miembros de un determinado conjunto poseen alguna propiedad. La parte principal de la prueba considerará el caso de un conjunto no vacío y examinará los miembros en detalle; en el caso de que el conjunto esté vacío, la propiedad la poseen trivialmente todos los miembros del conjunto vacío, ya que no hay ninguno (ver verdad vacía para más información).
El juicio sobre si una situación bajo consideración es trivial o no depende de quién la considere, ya que la situación es obviamente cierta para alguien que tiene suficiente conocimiento o experiencia sobre ella, mientras que para alguien que nunca ha visto esto, puede ser incluso difícil de entender. así que no es nada trivial. Y puede haber una discusión sobre la rapidez y facilidad con la que se debe reconocer un problema para que se trate como trivial. Los siguientes ejemplos muestran la subjetividad y ambigüedad del juicio de trivialidad.
La trivialidad también depende del contexto. Una prueba en análisis funcional probablemente, dado un número, asumiría trivialmente la existencia de un número mayor. Sin embargo, al demostrar resultados básicos sobre los números naturales en la teoría elemental de números , la prueba puede muy bien depender de la observación de que cualquier número natural tiene un sucesor, una afirmación que debe demostrarse o tomarse como un axioma , por lo que no es trivial ( para obtener más información, consulte los axiomas de Peano ).
En algunos textos, una prueba trivial se refiere a una afirmación que involucra una implicación material P → Q, donde el consecuente Q , es siempre verdadero. [5] Aquí, la prueba se sigue inmediatamente en virtud de la definición de implicación material en la que la implicación es verdadera independientemente del valor de verdad del antecedente P si el consecuente se fija como verdadero. [5]
Un concepto relacionado es una verdad vacía , donde el antecedente P en una implicación material P → Q es falso. [5] En este caso, la implicación es siempre verdadera independientemente del valor de verdad de la Q consecuente , nuevamente en virtud de la definición de implicación material. [5]
