Este es un glosario de la terminología aplicada en las teorías matemáticas de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . Para los temas de la teoría de la representación de los grupos de Lie y las álgebras de Lie, véase Glosario de teoría de la representación . Debido a la falta de otras opciones, el glosario también incluye algunas generalizaciones como grupo cuántico .
Notaciones :
A lo largo del glosario, denota el producto interno de un espacio euclidiano E y denota el producto interno reescalado ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } ⟨ β , α ⟩ = ( β , α ) ( α , α ) ∀ α , β ∈ E . {\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle ={\frac {(\beta ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\,\forall \alpha ,\beta \in E.}
A abeliano 1. Un grupo de Lie abeliano es un grupo de Lie que es un grupo abeliano. 2. Un álgebra de Lie abeliana es un álgebra de Lie tal que para cada en el álgebra. [ x , y ] = 0 {\displaystyle [x,y]=0} x , y {\displaystyle x,y} adjunto 1. Una representación adjunta de un grupo de Lie : Ad : G → GL ( g ) {\displaystyle \operatorname {Ad} :G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})} tal que es el diferencial en el elemento identidad de la conjugación . Ad ( g ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (g)} c g : G → G , x ↦ g x g − 1 {\displaystyle c_{g}:G\to G,x\mapsto gxg^{-1}} 2. Una representación adjunta de un álgebra de Lie es una representación del álgebra de Lie ad : g → g l ( g ) {\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} ad ( x ) y = [ x , y ] {\displaystyle {\textrm {ad}}(x)y=[x,y]} Alharaca Teorema de Ado : Cualquier álgebra de Lie de dimensión finita es isomorfa a un subálgebra de para algún espacio vectorial de dimensión finita V. g l V {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{V}} afín 1. Un álgebra de Lie afín es un tipo particular de álgebra de Kac-Moody. 2. Un grupo de Weyl afín . analítico 1. Un subgrupo analítico automorfismo 1. Un automorfismo de un álgebra de Lie es un automorfismo lineal que preserva el corchete.
B B 1. Par (B, N) Borel 1. Armand Borel (1923 – 2003), matemático suizo 2. Un subgrupo de Borel . 3. Una subálgebra de Borel es una subálgebra de solución máxima. 4. Teorema de Borel-Bott-Weil Bruhat 1. Descomposición de Bruhat
do Cartan 1. Élie Cartan (1869 – 1951), matemático francés 2. Una subálgebra de Cartan de un álgebra de Lie es una subálgebra nilpotente que satisface . h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} N g ( h ) = h {\displaystyle N_{\mathfrak {g}}({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}} 3. Criterio de Cartan para solubilidad : Un álgebra de Lie es resoluble si y solo si . g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} κ ( g , [ g , g ] ) = 0 {\displaystyle \kappa ({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0} 4. Criterio de Cartan para semisimplicidad : (1) Si es no degenerado, entonces es semisimple. (2) Si es semisimple y el campo subyacente tiene característica 0, entonces es no degenerado. κ ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \kappa (\cdot ,\cdot )} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} F {\displaystyle F} κ ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \kappa (\cdot ,\cdot )} 5. La matriz de Cartan del sistema raíz es la matriz , donde es un conjunto de raíces simples de . Φ {\displaystyle \Phi } ( ⟨ α i , α j ⟩ ) i , j = 1 n {\displaystyle (\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle )_{i,j=1}^{n}} Δ = { α 1 … α n } {\displaystyle \Delta =\{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}\}} Φ {\displaystyle \Phi } 6. Subgrupo de Cartan 7. Descomposición de Cartan Casimir Invariante de Casimir , un elemento distinguido de un álgebra envolvente universal.Coeficientes de Clebsch-Gordan Coeficientes de Clebsch-Gordan centro 2. El centralizador de un subconjunto de un álgebra de Lie es . X {\displaystyle X} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} C g ( X ) := { x ∈ g | [ x , X ] = { 0 } } {\displaystyle C_{\mathfrak {g}}(X):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,X]=\{0\}\}} centro 1. El centro de un grupo de Lie es el centro del grupo. 2. El centro de un álgebra de Lie es el centralizador de sí mismo: Z ( L ) := { x ∈ g | [ x , g ] = 0 } {\displaystyle Z(L):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,{\mathfrak {g}}]=0\}} serie central 1. Una serie central descendente (o serie central inferior) es una secuencia de ideales de un álgebra de Lie definida por L {\displaystyle L} C 0 ( L ) = L , C 1 ( L ) = [ L , L ] , C n + 1 ( L ) = [ L , C n ( L ) ] {\displaystyle C^{0}(L)=L,\,C^{1}(L)=[L,L],\,C^{n+1}(L)=[L,C^{n}(L)]} 2. Una serie central ascendente (o serie central superior) es una secuencia de ideales de un álgebra de Lie definida por (centro de L) , , donde es el homomorfismo natural L {\displaystyle L} C 0 ( L ) = { 0 } , C 1 ( L ) = Z ( L ) {\displaystyle C_{0}(L)=\{0\},\,C_{1}(L)=Z(L)} C n + 1 ( L ) = π n − 1 ( Z ( L / C n ( L ) ) ) {\displaystyle C_{n+1}(L)=\pi _{n}^{-1}(Z(L/C_{n}(L)))} π i {\displaystyle \pi _{i}} L → L / C n ( L ) {\displaystyle L\to L/C_{n}(L)} Valle de Chevalley 1. Claude Chevalley (1909 – 1984), matemático francés 2. Una base de Chevalley es una base construida por Claude Chevalley con la propiedad de que todas las constantes de estructura son números enteros. Chevalley utilizó estas bases para construir análogos de los grupos de Lie sobre cuerpos finitos , llamados grupos de Chevalley . grupo de reflexión complejo grupo de reflexión complejo cororilla cororilla Coxeter 1. HSM Coxeter (1907 – 2003), geómetra canadiense nacido en Gran Bretaña 2. Grupo Coxeter 3. Número de Coxeter
D álgebra derivada 1. El álgebra derivada de un álgebra de Lie es . Es una subálgebra (de hecho, un ideal). g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ g , g ] {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} 2. Una serie derivada es una secuencia de ideales de un álgebra de Lie obtenida tomando repetidamente álgebras derivadas, es decir, . g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} D 0 g = g , D n g = D n − 1 g {\displaystyle D^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},D^{n}{\mathfrak {g}}=D^{n-1}{\mathfrak {g}}} Diminuto 1. Eugene Borisovich Dynkin (1924 – 2014), matemático soviético y estadounidense 2. Diagramas de Dynkin Diagramas de Dynkin .
mi extensión Una secuencia exacta o se llama extensión del álgebra de Lie por . 0 → g ′ → g → g ″ → 0 {\displaystyle 0\to {\mathfrak {g}}'\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}''\to 0} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g ″ {\displaystyle {\mathfrak {g}}''} g ′ {\displaystyle {\mathfrak {g}}'} mapa exponencial La función exponencial de un grupo de Lie G es una función que no es necesariamente un homomorfismo pero que satisface una cierta propiedad universal. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g → G {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G} exponencial E6 , E7 , E7½ , E8 , En , Álgebra de mentira excepcional
F Álgebra de Lie libre F F4 fundamental Para la " cámara de Weyl fundamental ", véase #Weyl.
GRAMO GRAMO G2 generalizado 1. Para " Matriz de Cartan generalizada ", véase #Cartan. 2. Para " Álgebra de Kac-Moody generalizada ", consulte #Álgebra de Kac-Moody. 3. Para " Módulo Verma generalizado ", consulte #Verma. grupo Análisis grupal de ecuaciones diferenciales .
yo homomorfismo 1. Un homomorfismo de grupo de Lie es un homomorfismo de grupo que también es una función suave. 2. Un homomorfismo del álgebra de Lie es una función lineal tal que ϕ : g 1 → g 2 {\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}} ϕ ( [ x , y ] ) = [ ϕ ( x ) , ϕ ( y ) ] ∀ x , y ∈ g 1 . {\displaystyle \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\,\forall x,y\in {\mathfrak {g}}_{1}.} Harish Chandra 1. Harish-Chandra (1923-1983), matemático y físico indio-estadounidense 2. Homomorfismo de Harish-Chandra 3. Isomorfismo de Harish-Chandra más alto 1. El teorema del mayor peso , que establece que los pesos más altos clasifican las representaciones irreducibles. 2. peso más alto 3. módulo de mayor peso
I ideal Un ideal de un álgebra de Lie es un subespacio tal que, a diferencia de la teoría de anillos, no hay distinción entre el ideal izquierdo y el ideal derecho. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g ′ {\displaystyle {\mathfrak {g'}}} [ g ′ , g ] ⊆ g ′ . {\displaystyle [{\mathfrak {g'}},{\mathfrak {g}}]\subseteq {\mathfrak {g'}}.} índice Índice de un álgebra de Lie cono convexo invariante Un cono convexo invariante es un cono convexo cerrado en el álgebra de Lie de un grupo de Lie conexo que es invariante bajo automorfismos internos. Descomposición de Iwasawa Descomposición de Iwasawa
Yo Identidad de Jacobi 1. Carl Gustav Jacob Jacobi Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851), matemático alemán. 2. Dada una operación binaria , la identidad de Jacobi establece: [[ x , y ], z ] + [[ y , z ], x ] + [[ z , x ], y ] = 0. [ ⋅ , ⋅ ] : V 2 → V {\displaystyle [\cdot ,\,\cdot ]:V^{2}\to V}
K Álgebra de Kac-Moody Álgebra de Kac-Moody Asesinato 1. Wilhelm Killing (1847 – 1923), matemático alemán. 2. La forma Killing en un álgebra de Lie es una forma simétrica, asociativa y bilineal definida por . g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} κ ( x , y ) := Tr ( ad x ad y ) ∀ x , y ∈ g {\displaystyle \kappa (x,y):={\textrm {Tr}}({\textrm {ad}}\,x\,{\textrm {ad}}\,y)\ \forall x,y\in {\mathfrak {g}}} Kirillov Fórmula del personaje de Kirillov
yo Tierras altas Descomposición de Langlands Langlands dual Mentir 1. mentira de sofo Sophus Lie (1842-1899), matemático noruego 2. Un grupo de Lie es un grupo que tiene una estructura compatible de una variedad suave. 3. Un álgebra de Lie es un espacio vectorial sobre un cuerpo con una operación binaria [·, ·] (llamada corchete de Lie o corchete abreviado ), que satisface las siguientes condiciones: , g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} F {\displaystyle F} ∀ a , b ∈ F , x , y , z ∈ g {\displaystyle \forall a,b\in F,x,y,z\in {\mathfrak {g}}} [ a x + b y , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] {\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]} bilinealidad ) [ x , x ] = 0 {\displaystyle [x,x]=0} alternando ) [ [ x , y ] , z ] + [ [ y , z ] , x ] + [ [ z , x ] , y ] = 0 {\displaystyle [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0} Identidad de Jacobi ) 4. Correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie 5. Teorema de Lie Sea un álgebra de Lie compleja resoluble de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica , y sea una representación de dimensión finita distinta de cero de . Entonces existe un elemento de que es un vector propio simultáneo para todos los elementos de . g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 0 {\displaystyle 0} V {\displaystyle V} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} V {\displaystyle V} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 6. Grupo de Lie compacto . 7. Grupo de Lie semisimple ; ver #semisimple. Leví Descomposición de Levi
norte nilpotente 1. Un grupo de Lie nilpotente . 2. Un álgebra de Lie nilpotente es un álgebra de Lie que es nilpotente como ideal; es decir, alguna potencia es cero: . [ g , [ g , [ g , … , [ g , g ] … ] ] ] = 0 {\displaystyle [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},\dots ,[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\dots ]]]=0} 3. Un elemento nilpotente de un álgebra de Lie semisimple [1] es un elemento x tal que el endomorfismo adjunto es un endomorfismo nilpotente. a d x {\displaystyle ad_{x}} 4. Un cono nilpotente normalizador El normalizador de un subespacio de un álgebra de Lie es . K {\displaystyle K} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} N g ( K ) := { x ∈ g | [ x , K ] ⊆ K } {\displaystyle N_{\mathfrak {g}}(K):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,K]\subseteq K\}}
METRO máximo 1. Para " subgrupo compacto máximo ", véase #compact. 2. Para " toro máximo ", véase #toro.
PAG parabólico 1. Subgrupo parabólico 2. Subálgebra parabólica . positivo Para " raíz positiva ", véase #positivo.
Q cuántico grupo cuánticocuantificado álgebra envolvente cuantificada
R radical 1. El radical de un grupo de Lie. 2. El radical de un álgebra de Lie es el ideal resoluble más grande (es decir, el único maximal) de . g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} real forma real .reductivo 1. Un grupo reductivo . 2. Un álgebra de Lie reductiva . reflexión Un grupo de reflexión , un grupo generado por reflexiones. regular 1. Un elemento regular de un álgebra de Lie . 2. Un elemento regular con respecto a un sistema raíz.Sea un sistema raíz. se llama regular si . Φ {\displaystyle \Phi } γ ∈ E {\displaystyle \gamma \in E} ( γ , α ) ≠ 0 ∀ γ ∈ Φ {\displaystyle (\gamma ,\alpha )\neq 0\,\forall \gamma \in \Phi } Para cada conjunto de raíces simples de , existe un elemento regular tal que , a la inversa, para cada regular existe un único conjunto de raíces base tales que la condición anterior se cumple para . Se puede determinar de la siguiente manera: sea . Llamemos a un elemento de descomponible si donde , entonces es el conjunto de todos los elementos indecomponibles de Δ {\displaystyle \Delta } Φ {\displaystyle \Phi } γ ∈ E {\displaystyle \gamma \in E} ( γ , α ) > 0 ∀ γ ∈ Δ {\displaystyle (\gamma ,\alpha )>0\,\forall \gamma \in \Delta } γ {\displaystyle \gamma } Δ ( γ ) {\displaystyle \Delta (\gamma )} Δ = Δ ( γ ) {\displaystyle \Delta =\Delta (\gamma )} Φ + ( γ ) = { α ∈ Φ | ( α , γ ) > 0 } {\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )=\{\alpha \in \Phi |(\alpha ,\gamma )>0\}} α {\displaystyle \alpha } Φ + ( γ ) {\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )} α = α ′ + α ″ {\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''} α ′ , α ″ ∈ Φ + ( γ ) {\displaystyle \alpha ',\alpha ''\in \Phi ^{+}(\gamma )} Δ ( γ ) {\displaystyle \Delta (\gamma )} Φ + ( γ ) {\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )} raíz 1. raíz de un álgebra de Lie semisimple :Sea un álgebra de Lie semisimple, sea un subálgebra de Cartan de . Para , sea . se llama raíz de si es distinto de cero y g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} α ∈ h ∗ {\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}} g α := { x ∈ g | [ h , x ] = α ( h ) x ∀ h ∈ h } {\displaystyle {\mathfrak {g_{\alpha }}}:=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\,\forall h\in {\mathfrak {h}}\}} α {\displaystyle \alpha } g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g α ≠ { 0 } {\displaystyle {\mathfrak {g_{\alpha }}}\neq \{0\}} El conjunto de todas las raíces se denota por ; forma un sistema de raíces. Φ {\displaystyle \Phi } 2. Sistema de raíces Un subconjunto del espacio euclidiano se denomina sistema raíz si satisface las siguientes condiciones: Φ {\displaystyle \Phi } E {\displaystyle E} Φ {\displaystyle \Phi } span ( Φ ) = E {\displaystyle {\textrm {span}}(\Phi )=E} 0 ∉ Φ {\displaystyle 0\notin \Phi } Para todos y , si y solo si . α ∈ Φ {\displaystyle \alpha \in \Phi } c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } c α ∈ Φ {\displaystyle c\alpha \in \Phi } c = ± 1 {\displaystyle c=\pm 1} Para todo , es un número entero. α , β ∈ Φ {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi } ⟨ α , β ⟩ {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle } Para todo , , donde es la reflexión a través del hiperplano normal a , es decir . α , β ∈ Φ {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi } S α ( β ) ∈ Φ {\displaystyle S_{\alpha }(\beta )\in \Phi } S α {\displaystyle S_{\alpha }} α {\displaystyle \alpha } S α ( x ) = x − ⟨ x , α ⟩ α {\displaystyle S_{\alpha }(x)=x-\langle x,\alpha \rangle \alpha } 3. Dato raíz 4. La raíz positiva de un sistema de raíces con respecto a un conjunto de raíces simples es una raíz de la cual es una combinación lineal de elementos de con coeficientes no negativos. Φ {\displaystyle \Phi } Δ {\displaystyle \Delta } Φ {\displaystyle \Phi } Δ {\displaystyle \Delta } 5. La raíz negativa de un sistema de raíces con respecto a un conjunto de raíces simples es una raíz de la cual es una combinación lineal de elementos de con coeficientes no positivos. Φ {\displaystyle \Phi } Δ {\displaystyle \Delta } Φ {\displaystyle \Phi } Δ {\displaystyle \Delta } 6. raíz larga 7. raíz corta 8. Inverso de un sistema de raíces: Dado un sistema de raíces . Defina , se denomina inverso de un sistema de raíces. Φ {\displaystyle \Phi } α v = 2 α ( α , α ) {\displaystyle \alpha ^{v}={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}} Φ v = { α v | α ∈ Φ } {\displaystyle \Phi ^{v}=\{\alpha ^{v}|\alpha \in \Phi \}} Φ v {\displaystyle \Phi ^{v}} Φ {\displaystyle \Phi } 9. base de un sistema radicular: sinónimo de “conjunto de raíces simples” 10. dual de un sistema de raíces: sinónimo de "inverso de un sistema de raíces"
S Serre El teorema de Serre establece que, dado un sistema de raíces (finito reducido) , existe un álgebra de Lie semisimple única (hasta la elección de una base) cuyo sistema de raíces es . Φ {\displaystyle \Phi } Φ {\displaystyle \Phi } simple 1. Un grupo de Lie simple es un grupo de Lie conexo que no es abeliano y que no tiene subgrupos normales conexos no triviales. 2. Un álgebra de Lie simple es un álgebra de Lie que no es abeliana y tiene solo dos ideales, ella misma y . { 0 } {\displaystyle \{0\}} 3. grupo simplemente entrelazado (un grupo de Lie simple está simplemente entrelazado cuando su diagrama de Dynkin no tiene aristas múltiples). 4. Raíz simple . Un subconjunto de un sistema de raíces se denomina conjunto de raíces simples si cumple las siguientes condiciones: Δ {\displaystyle \Delta } Φ {\displaystyle \Phi } Δ {\displaystyle \Delta } E {\displaystyle E} Cada elemento de es una combinación lineal de elementos de con coeficientes que son todos no negativos o todos no positivos. Φ {\displaystyle \Phi } Δ {\displaystyle \Delta } 5. Clasificación de álgebras de Lie simples Álgebras de Lie clásicas :
Álgebras de Lie excepcionales :
semisimple 1. Un grupo de Lie semisimple 2. Un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie distinta de cero que no tiene un ideal abeliano distinto de cero. 3. En un álgebra de Lie semisimple , un elemento es semisimple si su imagen bajo la representación adjunta es semisimple; véase Álgebra de Lie semisimple#Descomposición de Jordan . soluble 1. Un grupo de Lie resoluble 2. Un álgebra de Lie resoluble es un álgebra de Lie tal que para algún ; donde denota el álgebra derivada de . g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} D n g = 0 {\displaystyle D^{n}{\mathfrak {g}}=0} n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} D g = [ g , g ] {\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} dividir Botas Diagrama de Stiefel de un grupo de Lie compacto conexo. subálgebra Un subespacio de un álgebra de Lie se llama subálgebra de si está cerrado bajo corchetes, es decir g ′ {\displaystyle {\mathfrak {g'}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ g ′ , g ′ ] ⊆ g ′ . {\displaystyle [{\mathfrak {g'}},{\mathfrak {g'}}]\subseteq {\mathfrak {g'}}.}
yo Tetas Cono de tetas .toral 1. Álgebra de Lie toral 2. subálgebra toral máxima
tú
V
Yo Weyl 1. Hermann Weyl (1885 – 1955), matemático alemán 2. Una cámara de Weyl es uno de los componentes conexos del complemento en V , un espacio vectorial real en el que se define un sistema raíz, cuando se eliminan los hiperplanos ortogonales a los vectores raíz. 3. La fórmula de caracteres de Weyl da en forma cerrada los caracteres de las representaciones complejas irreducibles de los grupos de Lie simples. 4. Grupo de Weyl : El grupo de Weyl de un sistema de raíces es un grupo (necesariamente finito) de transformaciones lineales ortogonales que se genera por reflexiones a través de hiperplanos normales a las raíces de Φ {\displaystyle \Phi } E {\displaystyle E} Φ {\displaystyle \Phi }
Referencias ^ Nota editorial: la definición de un elemento nilpotente en un álgebra de Lie general parece poco clara. Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie , Éléments de Mathématique, Hermann Erdmann, Karin y Wildon, Mark. Introducción a las álgebras de Lie , 1.ª edición, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0 Humphreys, James E. Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , segunda edición, revisada. Textos de posgrado en matemáticas, 9. Springer-Verlag, Nueva York, 1978. ISBN 0-387-90053-5 Jacobson, Nathan , Álgebras de Lie , republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN 0-486-63832-4 Kac, Victor (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-46693-8 Claudio Procesi (2007) Grupos de Lie: una aproximación a través de invariantes y representación , Springer, ISBN 9780387260402 . Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Álgebras de mentira complejas semisimples ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4 J.-P. Serre, "Álgebras de Lie y grupos de Lie", Benjamin (1965) (Traducido del francés) 
![{\displaystyle [x,y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb3ac5611c95c794cec85401f417c5e0146185d)
![{\displaystyle {\textrm {anuncio}}(x)y=[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2513423903809672d4ce6c41ca033e7eb079aef0)
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![{\displaystyle C^{0}(L)=L,\,C^{1}(L)=[L,L],\,C^{n+1}(L)=[L,C^{ n}(L)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6e252dfdace4a46757a4c3606bddd375a7f2a6)
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![{\displaystyle [{\mathfrak {g'}},{\mathfrak {g'}}]\subseteq {\mathfrak {g'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b93362411c63816edde3258fb3b94a7b20a9cd0)