Modelado numérico (geología)

Técnica para resolver problemas geológicos mediante simulación computacional.

Simulación de la propagación de ondas sísmicas a escala global utilizando una supercomputadora para resolver ecuaciones de ondas ^[1]

En geología , el modelado numérico es una técnica ampliamente aplicada para abordar problemas geológicos complejos mediante la simulación computacional de escenarios geológicos.

El modelado numérico utiliza modelos matemáticos para describir las condiciones físicas de escenarios geológicos utilizando números y ecuaciones. ^[2] Sin embargo, algunas de sus ecuaciones son difíciles de resolver directamente, como las ecuaciones diferenciales parciales . Con los modelos numéricos, los geólogos pueden utilizar métodos, como los métodos de diferencias finitas , para aproximar las soluciones de estas ecuaciones. Luego se pueden realizar experimentos numéricos en estos modelos, lo que arroja resultados que pueden interpretarse en el contexto del proceso geológico. ^[2] A través de estos experimentos se puede desarrollar una comprensión tanto cualitativa como cuantitativa de una variedad de procesos geológicos. ^[3]

La modelización numérica se ha utilizado para ayudar en el estudio de la mecánica de las rocas , la historia térmica de las rocas, los movimientos de las placas tectónicas y el manto terrestre. El flujo de fluidos se simula utilizando métodos numéricos, y esto muestra cómo se mueve el agua subterránea o cómo los movimientos del núcleo externo fundido producen el campo geomagnético.

Historia

Antes del desarrollo del modelado numérico, el modelado analógico , que simula la naturaleza con escalas reducidas en masa, longitud y tiempo, era una de las principales formas de abordar problemas geológicos, ^{[4] [5]} por ejemplo, para modelar la formación de cinturones de empuje . ^[6] También se utilizaron modelos matemáticos analíticos o semianalíticos simples para abordar cuantitativamente problemas geológicos relativamente simples. ^[2]

Desde finales de los años 1960 hasta los años 1970, tras el desarrollo de métodos de elementos finitos para resolver problemas de mecánica continua para ingeniería civil , se adaptaron métodos numéricos para modelar fenómenos geológicos complejos, ^{[5] [7]} por ejemplo, el plegamiento ^{[8] [9]} y convección del manto . ^[10] Con los avances en la tecnología informática, se ha mejorado la precisión de los modelos numéricos. ^[2] La modelización numérica se ha convertido en una herramienta importante para abordar problemas geológicos, ^[2] especialmente para las partes de la Tierra que son difíciles de observar directamente, como el manto y el núcleo . Sin embargo, el modelado analógico sigue siendo útil para modelar escenarios geológicos que son difíciles de capturar en modelos numéricos, y la combinación de modelado analógico y numérico puede ser útil para mejorar la comprensión de los procesos de la Tierra. ^[11]

Componentes

Pasos en el modelado numérico. El primer paso en el modelado numérico es capturar cuantitativamente el escenario geológico real. Por ejemplo, en el modelado de convección del manto, las ecuaciones de calor se utilizan para describir la energía térmica que circula en el sistema, mientras que las ecuaciones de Navier-Stokes describen el flujo de fluido viscoso (la roca del manto). En segundo lugar, dado que estas ecuaciones son difíciles de resolver, se eligen métodos numéricos y de discretización para hacer una aproximación a las ecuaciones gobernantes. Luego, los algoritmos de la computadora pueden calcular las soluciones aproximadas. Finalmente, se puede hacer una interpretación a partir de esas soluciones. Por ejemplo, en el modelado de convección del manto, primero se puede visualizar el flujo del manto. Entonces, se puede concluir la relación entre los patrones de flujo y los parámetros de entrada.

Un estudio de modelo numérico general generalmente consta de los siguientes componentes: ^{[12] [2]}

1. El modelo matemático es una descripción simplificada del problema geológico, como ecuaciones y condiciones de contorno. ^[2] Estas ecuaciones que rigen el modelo son a menudo ecuaciones diferenciales parciales que son difíciles de resolver directamente ya que involucran la derivada de la función , ^[13] por ejemplo, la ecuación de onda . ^[2]
2. Discretization methods and numerical methods convert those governing equations in the mathematical models to discrete equations.^[2] These discrete equations can approximate the solution of the governing equations.^[2] Common methods include the finite element, finite difference, or finite volume method that subdivide the object of interest into smaller pieces (element) by mesh. These discrete equations can then be solved in each element numerically.^[2] The discrete element method uses another approach, this method reassembling the object of interest from numerous tiny particles. Simple governing equations are then applied to the interactions between particles.
3. Algorithms are computer programs that compute the solution using the idea of the above numerical methods.^[2]
4. Interpretations are made from the solutions given by the numerical models.^[2]

Properties

A good numerical model usually has some of the following properties:^[12][2]

• Consistent: Numerical models often divide the object into smaller elements. If the model is consistent, the result of the numerical model is nearly the same as what the mathematical model predicts when the element size is nearly zero. In other words, the error between the discrete equations used in the numerical model and the governing equations in the mathematical model tends to zero when the space of the mesh (size of element) becomes close to zero.^[2]
• Stable: In a stable numerical model, the error during the computation of the numerical methods does not amplify.^[2] The error of an unstable model will stack up quickly and lead to an incorrect result. A stable and consistent numerical model has the same output as the exact solution in the mathematical model when the spacing of the mesh (size of element) is extremely small.^[2]
• Converging: The output of the numerical model is closer to the actual solution of the governing equations in the mathematical models when the spacing of mesh (size of element) reduces, which is usually checked by carrying out numerical experiments.^[2]
• Conserved: The physical quantities in the models, such as mass and momentum, are conserved.^[2] Since the equations in the mathematical models are usually derived from various conservation laws, the model result should not violate these premises.^[2]
• Bounded: The solution given by the numerical model has reasonable physical bounds with respect to the mathematical models, for instance mass and volume should be positive.^[2]
• Preciso : la solución dada por los modelos numéricos se acerca a la solución real predicha por el modelo matemático. ^[2]

Cálculo

Los siguientes son algunos aspectos clave de las ideas en el desarrollo de modelos numéricos en geología. Primero, se debe decidir la forma de describir el objeto y el movimiento ( descripción cinemática ). Luego, se escriben ecuaciones rectoras que describen los problemas geológicos; por ejemplo, las ecuaciones de calor describen el flujo de calor en un sistema. Dado que algunas de estas ecuaciones no se pueden resolver directamente, se utilizan métodos numéricos para aproximar la solución de las ecuaciones gobernantes.

Descripciones cinemáticas

En los modelos numéricos y en los modelos matemáticos existen dos enfoques diferentes para describir el movimiento de la materia: eulerian y lagrangiano . ^[14] En geología, ambos enfoques se usan comúnmente para modelar el flujo de fluidos como la convección del manto, donde se usa una cuadrícula euleriana para el cálculo y marcadores lagrangianos para visualizar el movimiento. ^[2] Recientemente, ha habido modelos que intentan describir diferentes partes utilizando diferentes enfoques para combinar las ventajas de estos dos enfoques. Este enfoque combinado se denomina enfoque arbitrario lagrangiano-euleriano . ^[15]

Euleriano

El enfoque euleriano considera los cambios de las cantidades físicas, como la masa y la velocidad, de un lugar fijo con el tiempo. ^[14] Es similar a observar cómo el agua de un río pasa por un puente. Matemáticamente, las cantidades físicas se pueden expresar en función de la ubicación y el tiempo. Este enfoque es útil para materiales fluidos y homogéneos (uniformes) que no tienen límites naturales. ^[dieciséis]

lagrangiano

El enfoque lagrangiano, por otro lado, considera el cambio de cantidades físicas, como el volumen, de elementos fijos de la materia a lo largo del tiempo. ^[14] Es similar a observar una determinada colección de moléculas de agua mientras fluyen río abajo en un río. Utilizando el enfoque lagrangiano, es más fácil seguir objetos sólidos que tienen límites naturales para separarlos del entorno. ^[dieciséis]

Descripciones cinemáticas

• 
  Enfoque Euleriano En la figura, el cuadro naranja indica el área de interés. En el enfoque euleriano, la ubicación del cuadro rojo es fija, mientras que el cambio de color de ese cuadro ilustra el valor cambiante en esa posición.
• 
  Enfoque lagrangiano. En la figura, el cuadro naranja indica el área de interés. En el enfoque lagrangiano, la ubicación del cuadro rojo no es fija, sino que se mueve con el tiempo. El área de interés es siempre el mismo elemento.

Ecuaciones gubernamentales

A continuación se presentan algunas ecuaciones básicas que se usan comúnmente para describir fenómenos físicos, por ejemplo, cómo se mueve o fluye la materia en un sistema geológico y cómo se distribuye la energía térmica en un sistema. Estas ecuaciones suelen ser el núcleo del modelo matemático.

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad es una versión matemática de afirmar que el objeto o medio geológico es continuo, lo que significa que no se puede encontrar ningún espacio vacío en el objeto. ^[17] Esta ecuación se utiliza comúnmente en el modelado numérico en geología. ^[17]

Un ejemplo es la ecuación de continuidad de la masa de un fluido. Según la ley de conservación de la masa , para un fluido con densidad en una posición en un volumen fijo de fluido, la tasa de cambio de masa es igual al flujo de fluido que sale a través del límite : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}\rho dV=-\int \limits _{S}\rho u_{j}dS_{j}}$

donde es el elemento de volumen y es la velocidad en . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

En forma lagrangiana: ^[2]

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}\equiv {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}=-\rho {\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{j}}}}$

En forma euleriana: ^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial (\rho u_{j})}{\partial x_{j}}}}$

Esta ecuación es útil cuando el modelo implica un flujo de fluido continuo, como lo es el manto en escalas de tiempo geológicas. ^[2]

Ecuación de momento

La ecuación del momento describe cómo se mueve la materia en respuesta a la fuerza aplicada. Es una expresión de la segunda ley del movimiento de Newton . ^[17]

Considere un volumen fijo de materia. Según la ley de conservación del impulso , la tasa de cambio de volumen es igual a: ^[2] ${\displaystyle V}$

• fuerza externa aplicada sobre el elemento ${\displaystyle F}$
• más el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante aplicados sobre la superficie que limita el elemento ${\displaystyle S}$
• menos el impulso que sale del elemento en esa superficie

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}\rho u_{i}dV=\int \limits _{V}\rho F_{i}dV+\int \limits _{S}\sigma _{ij}dS_{j}-\int \limits _{S}\rho u_{i}u_{j}dS_{j}}$

donde está el elemento volumen, es la velocidad. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$

Después de simplificaciones e integraciones, para cualquier volumen , la forma euleriana de esta ecuación es: ^{[2] [17]} ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+\rho u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho F_{i}+{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}}$

ecuación de calor

Las ecuaciones de calor describen cómo fluye la energía térmica en un sistema.

Según la ley de conservación de la energía, la tasa de cambio de energía de un volumen fijo de masa es igual a: ^[2] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$

• trabajo realizado en la frontera ${\displaystyle S}$
• más el trabajo realizado por la fuerza externa en el volumen ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$
• menos conducción de calor a través del límite ${\displaystyle S}$
• menos convección de calor a través del límite ${\displaystyle S}$
• más calor producido internamente

Matemáticamente:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}\rho EdV=\int \limits _{S}u_{i}\sigma _{ij}dS_{j}+\int \limits _{V}\rho u_{i}F_{i}dV-\int \limits _{S}k{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}dS_{j}-\int \limits _{S}\rho Eu_{j}dS_{j}+\int \limits _{V}\rho HdV}$

donde es el elemento volumen, es la velocidad, es la temperatura, es el coeficiente de conducción y es la tasa de producción de calor. ^[2] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H}$

Métodos numéricos

Un ejemplo de malla de elementos finitos 2D. El dominio se subdivide en numerosos triángulos (elementos) que no se superponen. Los nodos son los vértices de los triángulos.

Los métodos numéricos son técnicas para aproximar las ecuaciones gobernantes en los modelos matemáticos.

Los métodos numéricos comunes incluyen el método de elementos finitos , el método espectral , el método de diferencias finitas y el método de volúmenes finitos . Estos métodos se utilizan para aproximar la solución de las ecuaciones diferenciales gobernantes en el modelo matemático al diseccionar el dominio en mallas o cuadrículas y aplicar ecuaciones más simples a elementos o nodos individuales en la malla. ^{[2] [18]}

Aproximación de ecuaciones de ondas mediante el método de los elementos finitos. El dominio se subdivide en numerosos triángulos. Se calculan los valores de los nodos de la malla, mostrando cómo se propaga una onda en la región.

El método de elementos discretos utiliza otro enfoque. El objeto se considera un conjunto de pequeñas partículas. ^[19]

Método de elementos finitos

El método de elementos finitos subdivide el objeto (o dominio) en elementos (o subdominios) más pequeños que no se superponen y estos elementos están conectados en los nodos. Luego, la solución de las ecuaciones diferenciales parciales se aproxima mediante ecuaciones de elementos más simples, generalmente polinomios . ^{[2] [20] [21]} Luego, estas ecuaciones de elementos se combinan en ecuaciones para todo el objeto, es decir, la contribución de cada elemento se suma para modelar la respuesta de todo el objeto. ^{[2] [20] [21]} Este método se utiliza comúnmente para resolver problemas mecánicos. ^[21] Los siguientes son los pasos generales para utilizar el método de elementos finitos: ^[21]

1. Seleccione el tipo de elemento y subdivida el objeto. Los tipos de elementos comunes incluyen triangular, cuadrilátero, tetraédrico, etc. ^[21] Se deben elegir diferentes tipos de elementos para diferentes problemas.
2. Decida la función del desplazamiento. La función de desplazamiento gobierna cómo se mueven los elementos. Generalmente se utilizan funciones polinómicas lineales, cuadráticas o cúbicas . ^[21]
3. Decida la relación desplazamiento-deformación. El desplazamiento del elemento cambia o deforma la forma del elemento en lo que técnicamente se llama deformación . Esta relación calcula cuánta tensión experimentó el elemento debido al desplazamiento. ^[21]
4. Decida la relación deformación-esfuerzo. La deformación del elemento induce tensión en el elemento, que es la fuerza aplicada al elemento. Esta relación calcula la cantidad de tensión experimentada por el elemento debido a la deformación. Uno de los ejemplos de esta relación es la ley de Hooke . ^[21]
5. Deducir ecuaciones de rigidez y matriz de rigidez para elementos. La tensión también hace que el elemento se deforme; la rigidez (la rigidez) de los elementos indica cuánto se deformará en respuesta al estrés. La rigidez de los elementos en diferentes direcciones se representa en forma matricial para una operación más sencilla durante el cálculo. ^[21]
6. Combine las ecuaciones de elementos en ecuaciones globales. Las contribuciones de cada elemento se resumen en un conjunto de ecuaciones que describen todo el sistema. ^[21]
7. Aplicar condiciones de contorno. Las condiciones predefinidas en el límite, como la temperatura, la tensión y otras cantidades físicas, se introducen en el límite del sistema. ^[21]
8. Resuelva el desplazamiento. A medida que avanza el tiempo, los desplazamientos de los elementos se van solucionando paso a paso. ^[21]
9. Resuelva las tensiones y el estrés. Una vez calculado el desplazamiento, las deformaciones y tensiones se calculan utilizando las relaciones de los pasos 3 y 4. ^[21]

Solución de la ecuación de Burgers , que describe cómo se comportan las ondas de choque, mediante el método espectral . Primero se subdivide el dominio en una malla rectangular. La idea de este método es similar al método de los elementos finitos.

Método espectral

El método espectral es similar al método de elementos finitos. ^{[22] [23]} La principal diferencia es que el método espectral utiliza funciones básicas , posiblemente mediante el uso de una Transformación Rápida de Fourier (FFT) que aproxima la función mediante la suma de numerosas funciones simples. ^{[22] [23]} Este tipo de funciones básicas se pueden aplicar a todo el dominio y aproximar las ecuaciones diferenciales parciales gobernantes . ^{[2] [22] [23]} Por lo tanto, cada cálculo toma en cuenta la información de todo el dominio, mientras que el método de elementos finitos solo toma la información de la vecindad. ^{[22] [23]} Como resultado, el método espectral converge exponencialmente y es adecuado para resolver problemas que involucran una alta variabilidad en el tiempo o el espacio. ^{[22] [23]}

Método de volumen finito

El método del volumen finito también es similar al método de los elementos finitos. También subdivide el objeto de interés en volúmenes (o elementos) más pequeños, luego las cantidades físicas se resuelven sobre el volumen de control como flujos de estas cantidades a través de las diferentes caras. ^{[2] [24]} Las ecuaciones utilizadas generalmente se basan en la conservación o equilibrio de cantidades físicas, como la masa y la energía. ^{[24] [25]}

El método de volúmenes finitos se puede aplicar sobre mallas irregulares como el método de elementos finitos. Las ecuaciones de elementos siguen siendo físicamente significativas. Sin embargo, es difícil conseguir una mayor precisión, ya que la versión de orden superior de las ecuaciones de elementos no está bien definida. ^{[2] [24] [25]}

método de diferencias finitas

El método de diferencias finitas aproxima ecuaciones diferenciales aproximando la derivada con una ecuación en diferencias , que es el método principal para resolver ecuaciones diferenciales parciales . ^{[26] [27] [28] [29]}

método de diferencias finitas

Considere una función con derivadas de un solo valor que sean funciones continuas y finitas de , según el teorema de Taylor : ^[30] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta xf'(x)+{\frac {1}{2}}\Delta x^{2}f''(x)+{\frac {1}{6}}\Delta x^{3}f'''(x)+\cdots }$

y

${\displaystyle f(x-\Delta x)=f(x)-\Delta xf'(x)+{\frac {1}{2}}\Delta x^{2}f''(x)-{\frac {1}{6}}\Delta x^{3}f'''(x)+\cdots }$

Resumiendo las expresiones anteriores: ^[30]

${\displaystyle f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)=2f(x)+\Delta x^{2}f''(x)+{\text{terms with higher than 4th power of }}\Delta x}$

Ignore los términos con mayor que la 4ta potencia de , entonces: ^[30] ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f''(x)\simeq {\frac {1}{\Delta x^{2}}}\left[f(x+\Delta x)-2f(x)-f(x-\Delta x)\right]}$

${\displaystyle f'(x)\simeq {\frac {1}{2\Delta x}}\left[f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)\right]}$

Lo anterior es la aproximación en diferencia central de las derivadas, ^[30] que también puede aproximarse mediante diferencia directa :

${\displaystyle f'(x)\simeq {\frac {1}{\Delta x}}\left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]}$

o diferencia hacia atrás :

${\displaystyle f'(x)\simeq {\frac {1}{\Delta x}}\left[f(x)-f(x-\Delta x)\right]}$

La precisión de las diferencias finitas se puede mejorar cuando se utilizan más términos de orden superior.

Método de elementos discretos

Un ejemplo de modelo que utiliza el método de elementos discretos, que utiliza una fotografía de Peter A. Cundall para iniciar las partículas.

El método de elementos discretos , a veces llamado método de elementos distintos, generalmente se usa para modelar materiales discontinuos, como rocas con fracturas como juntas y lechos, ya que puede modelar explícitamente las propiedades de las discontinuidades. ^[19] Este método fue desarrollado para simular problemas de mecánica de rocas al principio. ^{[19] [31]}

La idea principal de este método es modelar los objetos como un conjunto de partículas más pequeñas ^[19] , lo que es similar a construir un castillo con arena . Estas partículas son de geometría simple, como una esfera. Las cantidades físicas de cada partícula, como la velocidad, se actualizan continuamente en los contactos entre ellas. ^[19] Este modelo es relativamente intensivo desde el punto de vista computacional, ya que es necesario utilizar una gran cantidad de partículas, ^[19] especialmente para modelos a gran escala, como una pendiente. ^[32] Por lo tanto, este modelo generalmente se aplica a objetos de pequeña escala.

Modelo de partículas unidas

Hay objetos que no están compuestos por materiales granulares, como rocas cristalinas compuestas por granos minerales que se pegan entre sí o se entrelazan entre sí. Se agrega algo de unión entre partículas para modelar esta cohesión o cementación entre partículas. Este tipo de modelo también se denomina modelo de partículas enlazadas. ^{[33] [34] [35]}

Aplicaciones

El modelado numérico se puede utilizar para modelar problemas en diferentes campos de la geología a diversas escalas, como ingeniería geológica , geofísica , geomecánica , geodinámica , mecánica de rocas , hidrogeología y estratigrafía . ^[36] Los siguientes son algunos ejemplos de aplicaciones de modelado numérico en geología.

Ejemplar a escala de afloramiento

mecanica de rocas

El modelado numérico ha sido ampliamente aplicado en diferentes campos de la mecánica de rocas . ^[3] La roca es un material difícil de modelar porque las rocas suelen ser: ^[3]

• Discontinuo : hay numerosas fracturas y microfracturas en un macizo rocoso ^[37] y el espacio en el macizo rocoso puede estar lleno de otras sustancias como aire y agua. ^[3] Se necesita un modelo complejo para capturar completamente estas discontinuidades, ya que las discontinuidades tienen grandes efectos en el macizo rocoso. ^[3]
• Anisotrópico : las propiedades del macizo rocoso, como la permeabilidad (la capacidad de permitir que el fluido fluya), pueden variar en diferentes direcciones. ^{[3] [37]}
• No homogéneo : las propiedades de diferentes porciones del macizo rocoso pueden ser diferentes. ^{[3] [37]} Por ejemplo, las propiedades físicas de los granos de cuarzo y los granos de feldespato son diferentes en el granito . ^{[38] [39]}
• No elástica : la roca no puede volver perfectamente a su forma original una vez que se elimina la tensión. ^{[37] [3]}

Para modelar el comportamiento de las rocas se necesita un modelo complejo que tenga en cuenta todas las características anteriores. ^[3] Hay muchos modelos que modelan la roca como un continuo utilizando métodos como los métodos de diferencias finitas , elementos finitos y elementos de frontera . Una de las desventajas es que la capacidad de modelar grietas y otras discontinuidades suele ser limitada en estos modelos. ^[40] También se emplean comúnmente modelos que modelan la roca como un discontinuo, utilizando métodos como el de elementos discretos y el de redes de fracturas discretas. ^{[3] [35]} También se han desarrollado combinaciones de ambos métodos. ^[3]

El modelado numérico mejora la comprensión de los procesos mecánicos en rocas mediante la realización de experimentos numéricos y es útil para trabajos de diseño y construcción. ^[3]

Escala regional

Termocronología

La modelización numérica se ha utilizado para predecir y describir la historia térmica de la corteza terrestre , lo que permite a los geólogos mejorar su interpretación de los datos termocronológicos. ^[41] La termocronología puede indicar el momento en que una roca se enfrió por debajo de una temperatura particular. ^[42] Los eventos geológicos, como el desarrollo de fallas y la erosión superficial, pueden cambiar el patrón termocronológico de las muestras recolectadas en la superficie, y es posible limitar los eventos geológicos mediante estos datos. ^[42] Se pueden utilizar modelos numéricos para predecir el patrón.

Las dificultades del modelado térmico de la corteza terrestre involucran principalmente la irregularidad y los cambios de la superficie terrestre (principalmente erosión ) a través del tiempo. Por tanto, para modelar los cambios morfológicos de la superficie terrestre, los modelos necesitan resolver ecuaciones de calor con condiciones de contorno que cambian con el tiempo y tienen mallas irregulares. ^[43]

Pécubo

Pecube es uno de los modelos numéricos desarrollados para predecir el patrón termocronológico. ^[43] Resuelve la siguiente ecuación generalizada de transferencia de calor con advección utilizando el método de elementos finitos. [ ^41] Los primeros tres términos del lado derecho son el calor transferido por conducción en direcciones y mientras es la advección. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\kappa {\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\kappa {\frac {\partial T}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}\kappa {\frac {\partial T}{\partial z}}+A}$$

^[41][41]

Una sección transversal que muestra los patrones térmicos y de exhumación de la corteza generada por el movimiento de una falla . La simulación es generada por Pcube [versión del Grupo de Geodinámica de la Universidad de Helsinki (HUGG)]. ^{[43] [44] [45]} El modelo es tridimensional; ^{[43] [44]} la figura muestra una porción del modelo para simplificar. En la figura, la línea blanca indica la falla . Las pequeñas flechas negras indican la dirección del movimiento del material en ese punto. Las líneas rojas son isotermas (los puntos de la línea tienen la misma temperatura). El modelo Pecube utiliza enfoques eulerianos y lagrangianos. ^[43] La falla puede considerarse estacionaria y la corteza se está moviendo. Inicialmente, la temperatura de la corteza depende de la profundidad. Cuanto mayor sea la profundidad, más caliente será el material. Durante este evento, el movimiento de la corteza a lo largo de la falla mueve el material con diferentes temperaturas. En la pared colgante (el bloque sobre la falla), el material más caliente de mayor profundidad se mueve hacia la superficie; mientras que el material más frío a menor profundidad en la pared del pie (el bloque debajo de la falla) se mueve más profundamente. El flujo de material cambia el patrón térmico (la isoterma se curva a través de la falla) de la corteza, lo que puede restablecer los termocronómetros en la roca. Por otro lado, el ritmo de exhumación también afecta a los termocronómetros en la roca. Una tasa de exhumación positiva indica que la roca se está moviendo hacia la superficie, mientras que una tasa de exhumación negativa indica que la roca se está moviendo hacia abajo. La geometría de la falla afecta la tasa de exhumación del patrón en la superficie.

hidrogeología

En hidrogeología , el flujo de agua subterránea a menudo se modela numéricamente mediante el método de elementos finitos ^{[46] [47] [48]} y el método de diferencias finitas. ^[49] Se ha demostrado que estos dos métodos producen resultados similares si la malla es lo suficientemente fina. ^{[50] [51]}

Cuadrícula de diferencias finitas utilizada en MODFLOW

MODFLUJO

Uno de los programas más conocidos en la modelización del flujo de aguas subterráneas es MODFLOW , desarrollado por el Servicio Geológico de Estados Unidos . Es un programa gratuito y de código abierto que utiliza el método de diferencias finitas como marco para modelar las condiciones del agua subterránea. El desarrollo reciente de programas relacionados ofrece más funciones, que incluyen: ^{[52] [53]}

• Interacciones entre los sistemas de aguas subterráneas y superficiales ^[52]
• Transporte de solutos ^[52]
• Flujo de fluido con densidad variable, como agua salada ^[52]
• Compactación de sistemas acuíferos ^[52]
• Hundimiento del terreno ^[52]
• Gestión de aguas subterráneas ^[52]

Dinámica de la corteza terrestre

La reología (respuesta de los materiales al estrés) de la corteza y la litosfera es compleja, ya que es necesario considerar una superficie libre (la superficie terrestre) y la plasticidad y elasticidad de los materiales de la corteza. ^[2] La mayoría de los modelos utilizan métodos de elementos finitos con una malla lagrangiana. ^[2] Un uso es el estudio de la deformación y la cinemática de la subducción . ^{[54] [55]}

FLAC

El Análisis Lagrangiano Rápido de Continua (FLAC) es uno de los enfoques más populares en el modelado de la dinámica de la corteza terrestre. ^[2] El enfoque es rápido ya que resuelve las ecuaciones de impulso y continuidad sin utilizar una matriz, por lo que es rápido pero los pasos de tiempo deben ser lo suficientemente pequeños. ^[56] El enfoque se ha utilizado en estudios 2D, ^{[57] [58] [59]} 2,5D, ^[60] y 3D ^[61] de dinámica de la corteza terrestre, en los que los resultados 2,5D se generaron combinando múltiples cortes de dos -Resultados Dimensionales. ^[2]

Esta figura muestra la configuración del modelo numérico utilizado en el estudio de la evolución tectónica del Bloque Cathaysia , ^[54] que constituye la parte sureste del cartón del Sur de China . ^[62] Este modelo utiliza el código llamado Flamar , que es un código similar a FLAC que combina métodos de diferencias finitas y elementos finitos. ^[54] El elemento utilizado en esta malla lagrangiana es el cuadrilátero. ^[54] Las condiciones de contorno aplicadas a la superficie terrestre son libres, lo que se ve afectado por la erosión y la deposición de sedimentos. ^[54] El límite en los lados está a velocidad constante, lo que empujará a la corteza a subducirse . ^[54] La condición de contorno utilizada en la parte inferior se llama "sótano flexible de Winkler". Está en equilibrio hidrostático y permite que la base se deslice libremente horizontalmente. ^[54]

Escala global

convección del manto

Una simulación de la convección del manto en forma de un cuarto de anillo 2D utilizando ASPECTO. ^{[63] [64]} En el modelo, la temperatura del límite núcleo-manto (límite interior) es una constante de 4273 K (aproximadamente 4000 °C), mientras que la del límite entre la corteza y el manto (límite exterior) es 973 K (aproximadamente 700°C). ^[63] La malla en la simulación cambia con el tiempo. El código utiliza un refinamiento de malla adaptativo , la malla es más fina en las áreas que necesitan un cálculo más preciso, como las columnas ascendentes, mientras que la malla es más gruesa en otras áreas para ahorrar potencia de cálculo. ^[63] En la figura, el color rojo indica una temperatura más cálida, mientras que el color azul indica una temperatura más fría; El material caliente se eleva desde el límite del manto central debido a una menor densidad. Cuando el material caliente alcanza el límite exterior, comienza a moverse horizontalmente y finalmente se hunde debido al enfriamiento.

Hay muchos intentos de modelar la convección del manto.

Se han utilizado elementos finitos , ^[65] volúmenes finitos , diferencias finitas ^[66] y métodos espectrales para modelar la convección del manto, y casi todos los modelos utilizaron una cuadrícula euleriana. ^[2] Debido a la simplicidad y velocidad de los métodos espectrales y de diferencias finitas, se utilizaron en algunos de los primeros modelos, pero los métodos de elementos finitos o volúmenes finitos se adoptaron generalmente en la década de 2010. ^[2] Muchos artículos de referencia han investigado la validez de estos modelos numéricos. ^{[2] [67] [68] [69] [70] [71] [72]} Los enfoques actuales utilizan principalmente una cuadrícula fija y uniforme. ^[2] El refinamiento de la cuadrícula, en el que el tamaño de los elementos se reduce en la parte que requiere una aproximación más precisa, es posiblemente la dirección del desarrollo futuro en el modelado numérico de la convección del manto. ^{[2] [73]}

Enfoque de diferencias finitas

En las décadas de 1960 y 1970, los modelos de convección del manto que utilizaban el enfoque de diferencias finitas generalmente utilizaban diferencias finitas de segundo orden . ^{[2] [67] Se utilizaron} funciones de flujo para eliminar el efecto de la presión y reducir la complejidad del algoritmo. ^[2] Debido al avance de la tecnología informática, ahora se utilizan diferencias finitas con términos de orden superior para generar un resultado más preciso. ^{[2] [74]}

Enfoque de volumen finito

La convección del manto modelada mediante un enfoque de volumen finito se basa a menudo en el equilibrio entre presión y momento . Las ecuaciones derivadas son las mismas que el método de diferencias finitas utilizando una cuadrícula con velocidad y presión escalonadas, en la que los valores de velocidad y presión de cada elemento se ubican en diferentes puntos. ^[2] Este enfoque puede mantener el acoplamiento entre velocidad y presión. ^[2]

Se desarrollan múltiples códigos basados ​​en este enfoque de diferencias finitas/volumen finito. ^{[2] [75] [76] [77] [78] [66] [79]} Al modelar la geometría tridimensional de la Tierra, dado que los parámetros de los mantos varían a diferentes escalas, se utiliza multigrid , lo que significa usar diferentes tamaños de cuadrícula para diferentes variables, se aplica para superar las dificultades. ^[2] Los ejemplos incluyen la cuadrícula de esfera cúbica, ^{[80] [81]} la cuadrícula 'Yin-Yang', ^{[82] [83] [84]} y la cuadrícula en espiral. ^[85]

Enfoque de elementos finitos

En el enfoque de elementos finitos, las funciones de flujo también se utilizan a menudo para reducir la complejidad de las ecuaciones. ^[2] ConMan, ^[86] que modela el flujo bidimensional incompresible en el manto, fue uno de los códigos populares para modelar la convección del manto en la década de 1990. ^{[87] [2]} Citcom , un modelo de elementos finitos de red múltiple euleriana, es uno de los programas más populares ^[2] para modelar la convección del manto en 2D ^[88] y 3D. ^[89]

Método espectral

El método espectral en la convección del manto descompone la ecuación gobernante tridimensional en varias ecuaciones unidimensionales, lo que resuelve las ecuaciones mucho más rápido. Fue uno de los enfoques populares en los primeros modelos de convección del manto. ^[2] Muchos programas se desarrollaron utilizando este método durante la década de 1980 y principios de la de 2000. ^{[2] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96]} Sin embargo, los cambios laterales de la viscosidad del manto son difíciles de gestionar con este enfoque, y otros métodos se hicieron más populares en la década de 2010. . ^[2]

La Tierra está formada por varias placas. Se pueden utilizar modelos numéricos para modelar la cinemática de placas.

Placas tectónicas

La tectónica de placas es una teoría que sugiere que la litosfera de la Tierra está compuesta esencialmente de placas que flotan sobre el manto. ^[97] El modelo de convección del manto es fundamental para modelar las placas que flotan sobre él, y existen dos enfoques principales para incorporar las placas en este modelo: el enfoque de bloque rígido y el enfoque reológico. ^[2] El enfoque de bloques rígidos supone que las placas son rígidas, lo que significa que mantienen su forma y no se deforman, como algunos bloques de madera que flotan en el agua. Por el contrario, el enfoque reológico modela las placas como un fluido altamente viscoso en el que las ecuaciones aplicadas a la litosfera inferior también se aplican a las placas superiores. ^[2]

geodinamo

Se han realizado modelos numéricos para verificar la teoría de la geodinamo , teoría que postula que el campo geomagnético se genera por el movimiento de fluidos conductores de hierro y níquel en el núcleo de la Tierra . ^{[2] [98]}

Modelar el flujo del núcleo externo líquido de la Tierra es difícil porque: ^[2]

• No se puede ignorar el efecto Coriolis debido a la rotación de la Tierra.
• El campo magnético generado también generará fuerza de Lorentz , que afectará el movimiento del fluido conductor en el núcleo externo líquido.
• La baja viscosidad del hierro líquido hace que el flujo del fluido sea difícil de modelar.

La mayoría de los modelos utilizan el método espectral para simular la geodinamo, ^{[2] [99]} por ejemplo el modelo Glatzmaier-Roberts. ^{[100] [101]} Kageyama y Sato también han utilizado el método de diferencias finitas en el modelo. ^{[99] [102]} Algunos estudios también probaron otros métodos, como el volumen finito ^[103] y los métodos de elementos finitos. ^[104]

Un modelo numérico de geodinamo (modelo Glatzmaier-Roberts) que muestra el campo magnético generado por el núcleo externo líquido que fluye. ^[105] Esta figura muestra cómo se comporta el campo magnético de la Tierra durante una inversión magnética .

Sismología

Simulación de la propagación de ondas sísmicas a través de la Tierra. ^[1]

Los métodos de diferencias finitas se han utilizado ampliamente en simulaciones de la propagación de ondas sísmicas . ^{[106] [107] [108]} Sin embargo, debido a limitaciones en el poder de cálculo, en algunos modelos, el espaciado de la malla es demasiado grande (en comparación con la longitud de onda de las ondas sísmicas), por lo que los resultados son inexactos debido a la dispersión de la malla . , en el que se separan las ondas sísmicas de diferentes frecuencias. ^{[106] [109]} Algunos investigadores sugieren utilizar el método espectral para modelar la propagación de ondas sísmicas. ^{[106] [110]}

Errores y limitaciones

Fuentes de error

Si bien el modelado numérico proporciona una estimación cuantitativa precisa de los problemas geológicos, siempre existe una diferencia entre la observación real y los resultados del modelado debido a: ^[2]

• la simplificación del problema real al construir el modelo numérico. ^[2] Dado que numerosos factores pueden afectar un sistema geológico, es casi imposible tenerlo todo en cuenta. Por lo tanto, un modelo numérico normalmente simplifica el sistema real omitiendo los factores menos significativos. Por ejemplo, la Tierra a menudo se modela como una esfera, a pesar de la ondulación de la superficie terrestre.
• las aproximaciones o idealizaciones de las ecuaciones gobernantes. ^[2] Muchos objetos en la naturaleza son complejos. Es imposible capturar todas las características usando ecuaciones. Por ejemplo, las rocas son discontinuas , pero modelar la roca como un material continuo es razonable a gran escala, ya que describe las propiedades con suficiente precisión.
• las aproximaciones en el proceso de discretización. ^[2] Dado que las ecuaciones que rigen el modelo no se pueden resolver directamente, las aproximaciones a estas ecuaciones se realizan utilizando métodos numéricos y de discretización.
• La incertidumbre en los parámetros físicos. ^[2] Por ejemplo, los modelos de viscosidad del manto y del núcleo no son precisos. ^[111]

Limitaciones

Aparte de los errores, existen algunas limitaciones al utilizar modelos numéricos:

• Los usuarios de los modelos necesitan un alto nivel de conocimiento y experiencia para evitar el mal uso y la mala interpretación de los resultados. ^[112]

Ver también

• Modelado geológico
• Análisis numérico

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