Métodos numéricos para calcular el movimiento y el efecto de una gran cantidad de partículas pequeñas.
Un método de elementos discretos ( MDE ), también llamado método de elementos distintos , pertenece a una familia de métodos numéricos para calcular el movimiento y el efecto de una gran cantidad de partículas pequeñas. Aunque DEM está muy estrechamente relacionado con la dinámica molecular , el método generalmente se distingue por su inclusión de grados de libertad de rotación , así como contacto con estado y, a menudo, geometrías complicadas (incluidos los poliedros). Con los avances en la potencia informática y los algoritmos numéricos para la clasificación del vecino más cercano, se ha hecho posible simular numéricamente millones de partículas en un solo procesador. Hoy en día, DEM está ganando amplia aceptación como un método eficaz para abordar problemas de ingeniería en materiales granulares y discontinuos, especialmente en flujos granulares, mecánica de polvos y mecánica de rocas. DEM se ha ampliado al método de elementos discretos extendido teniendo en cuenta la transferencia de calor , [1] la reacción química [2] y el acoplamiento a CFD [3] y FEM [4] .
Los métodos de elementos discretos son relativamente intensivos en términos computacionales, lo que limita la duración de una simulación o el número de partículas. Varios códigos DEM, al igual que los códigos de dinámica molecular, aprovechan las capacidades de procesamiento paralelo (sistemas compartidos o distribuidos) para aumentar el número de partículas o la longitud de la simulación. Una alternativa a tratar todas las partículas por separado es promediar la física de muchas partículas y tratar así el material como un continuo . En el caso del comportamiento granular similar a un sólido , como en la mecánica de suelos , el enfoque continuo generalmente trata el material como elástico o elastoplástico y lo modela con el método de elementos finitos o un método sin malla . En el caso de un flujo granular similar a un líquido o un gas, el enfoque continuo puede tratar el material como un fluido y utilizar dinámica de fluidos computacional . Sin embargo, los inconvenientes de la homogeneización de la física a escala granular están bien documentados y deben considerarse cuidadosamente antes de intentar utilizar un enfoque continuo.
La familia DEM
Las diversas ramas de la familia DEM son el método de elementos distintos propuesto por Peter A. Cundall y Otto DL Strack en 1979, [5] el método de elementos discretos generalizado (Williams, Hocking & Mustoe 1985), el análisis de deformación discontinua (DDA) ( Shi 1992) y el método de elementos finitos discretos desarrollado simultáneamente por varios grupos (p. ej., Munjiza y Owen). El método general fue desarrollado originalmente por Cundall en 1971 para problemas de mecánica de rocas. Williams, Hocking y Mustoe (1985) demostraron que DEM podría verse como un método generalizado de elementos finitos. Su aplicación a problemas de geomecánica se describe en el libro Numerical Methods in Rock Mechanics (Williams, Pande & Beer 1990). Las 1ª, 2ª y 3ª Conferencias Internacionales sobre Métodos de Elementos Discretos han sido un punto común para que los investigadores publiquen avances en el método y sus aplicaciones. Williams, Bicanic y Bobet et al. han publicado artículos de revistas que revisan el estado de la técnica. (vea abajo). El libro The Combined Finite-Discrete Element Method contiene un tratamiento completo del método combinado de elementos finitos y elementos discretos . [6]
Simulación de elementos discretos con partículas dispuestas según una fotografía de Peter A. Cundall . Como proponen Cundall y Strack (1979), los granos interactúan con fuerzas elásticas lineales y fricción de Coulomb. La cinemática de los granos evoluciona a través del tiempo mediante la integración temporal de su equilibrio de fuerza y torque. El comportamiento colectivo es autoorganizado con zonas de corte discretas y ángulos de reposo, característicos de los materiales granulares no cohesivos.
Aplicaciones
El supuesto fundamental del método es que el material consta de partículas separadas y discretas. Estas partículas pueden tener diferentes formas y propiedades que influyen en el contacto entre partículas. Algunos ejemplos son:
líquidos y soluciones, por ejemplo de azúcar o proteínas;
materiales a granel en silos de almacenamiento, como cereales;
Una simulación DEM se inicia generando primero un modelo, lo que da como resultado la orientación espacial de todas las partículas y la asignación de una velocidad inicial . Las fuerzas que actúan sobre cada partícula se calculan a partir de los datos iniciales y las leyes físicas y modelos de contacto relevantes. Generalmente, una simulación consta de tres partes: la inicialización, el paso de tiempo explícito y el posprocesamiento. El paso de tiempo generalmente requiere un paso de clasificación del vecino más cercano para reducir el número de posibles pares de contactos y disminuir los requisitos computacionales; A menudo, esto sólo se realiza periódicamente.
Es posible que sea necesario considerar las siguientes fuerzas en simulaciones macroscópicas:
plasticidad de contacto, o retroceso, cuando dos partículas chocan;
gravedad , la fuerza de atracción entre partículas debido a su masa, que sólo es relevante en simulaciones astronómicas.
Potenciales de atracción, como cohesión , adhesión , puentes líquidos, atracción electrostática . Tenga en cuenta que, debido a la sobrecarga que implica determinar los pares de vecinos más cercanos, la resolución exacta de las fuerzas de largo alcance, en comparación con el tamaño de las partículas, puede aumentar el costo computacional o requerir algoritmos especializados para resolver estas interacciones.
Todas estas fuerzas se suman para encontrar la fuerza total que actúa sobre cada partícula. Se emplea un método de integración para calcular el cambio en la posición y la velocidad de cada partícula durante un determinado paso de tiempo a partir de las leyes del movimiento de Newton . Luego, las nuevas posiciones se utilizan para calcular las fuerzas durante el siguiente paso y este ciclo se repite hasta que finaliza la simulación.
Los métodos de integración típicos utilizados en un método de elementos discretos son:
El método de elementos discretos se aplica ampliamente para la consideración de interacciones mecánicas en problemas de muchos cuerpos, particularmente materiales granulares. Entre las diversas extensiones de DEM, la consideración del flujo de calor es particularmente útil. En términos generales, en los métodos DEM térmico, se considera el acoplamiento termomecánico, mediante el cual se consideran las propiedades térmicas de un elemento individual para modelar el flujo de calor a través de un medio macroscópico granular o de múltiples elementos sujeto a una carga mecánica. [9] Las fuerzas entre partículas, calculadas como parte del DEM clásico, se utilizan para determinar áreas de verdadero contacto entre partículas y así modelar la transferencia conductiva de calor de un elemento sólido a otro. Otro aspecto que se considera en DEM es la conducción, radiación y convección del calor en fase gaseosa en los espacios entre partículas. Para facilitar esto, es necesario considerar las propiedades de la fase gaseosa entre elementos en términos de presión, conductividad del gas y camino libre medio de las moléculas de gas. [10]
Fuerzas de largo alcance
Cuando se tienen en cuenta las fuerzas de largo alcance (normalmente la gravedad o la fuerza de Coulomb), es necesario calcular la interacción entre cada par de partículas. Tanto el número de interacciones como el costo de cálculo aumentan cuadráticamente con el número de partículas. Esto no es aceptable para simulaciones con una gran cantidad de partículas. Una posible forma de evitar este problema es combinar algunas partículas, que están lejos de la partícula en cuestión, en una pseudopartícula. Consideremos como ejemplo la interacción entre una estrella y una galaxia distante : el error que surge al combinar todas las estrellas de la galaxia distante en una masa puntual es insignificante. Para decidir qué partículas se pueden combinar en una pseudopartícula se utilizan los llamados algoritmos de árbol . Estos algoritmos organizan todas las partículas en un árbol, un árbol cuádruple en el caso bidimensional y un ocárbol en el caso tridimensional .
Sin embargo, las simulaciones en dinámica molecular dividen el espacio en el que se realiza la simulación en células. Las partículas que salen por un lado de una celda simplemente se insertan en el otro lado ( condiciones de contorno periódicas ); Lo mismo ocurre con las fuerzas. La fuerza ya no se tiene en cuenta después de la llamada distancia de corte (normalmente la mitad de la longitud de una celda), de modo que una partícula no se ve influenciada por la imagen especular de la misma partícula en el otro lado de la celda. Ahora se puede aumentar el número de partículas simplemente copiando las células.
Los algoritmos para hacer frente a la fuerza de largo alcance incluyen:
Siguiendo el trabajo de Munjiza y Owen, el método combinado de elementos finitos discretos se ha desarrollado aún más para diversas partículas irregulares y deformables en muchas aplicaciones, incluidas la formación de tabletas farmacéuticas, [11] simulaciones de flujo y embalaje, [12] y el análisis de impacto. [13]
Ventajas y limitaciones
Ventajas
DEM se puede utilizar para simular una amplia variedad de situaciones de flujo granular y mecánica de rocas. Varios grupos de investigación han desarrollado de forma independiente software de simulación que concuerda bien con los hallazgos experimentales en una amplia gama de aplicaciones de ingeniería, incluidos polvos adhesivos, flujo granular y macizos rocosos articulados.
DEM permite un estudio más detallado de la microdinámica de los flujos de polvo de lo que a menudo es posible mediante experimentos físicos. Por ejemplo, las redes de fuerza formadas en un medio granular se pueden visualizar utilizando DEM. Estas mediciones son casi imposibles en experimentos con partículas pequeñas y numerosas.
Las características generales de los contactos transmisores de fuerza en conjuntos granulares bajo ambientes de carga externos concuerdan con estudios experimentales que utilizan análisis de fotoestrés (PSA). [14] [15]
Desventajas
El número máximo de partículas y la duración de una simulación virtual están limitados por la potencia computacional. Los flujos típicos contienen miles de millones de partículas, pero las simulaciones DEM contemporáneas en grandes recursos informáticos de clústeres sólo recientemente han podido acercarse a esta escala durante un tiempo suficientemente largo (tiempo simulado, no tiempo real de ejecución del programa).
DEM es computacionalmente exigente, razón por la cual no ha sido adoptado tan fácil y ampliamente como enfoques continuos en las ciencias y la industria de la ingeniería computacional. Sin embargo, los tiempos reales de ejecución del programa se pueden reducir significativamente cuando se utilizan unidades de procesamiento gráfico (GPU) para realizar simulaciones DEM, debido a la gran cantidad de núcleos informáticos en las GPU típicas. Además, las GPU tienden a ser significativamente más eficientes energéticamente que los clústeres informáticos convencionales cuando se realizan simulaciones DEM, es decir, una simulación DEM resuelta en GPU requiere menos energía que cuando se resuelve en un clúster informático convencional. [dieciséis]
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