Método espectral

Clase de métodos utilizados en análisis numérico y computación científica para resolver EDO/PDE

Los métodos espectrales son una clase de técnicas utilizadas en matemáticas aplicadas y computación científica para resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales . La idea es escribir la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas " funciones básicas " (por ejemplo, como una serie de Fourier que es una suma de sinusoides ) y luego elegir los coeficientes de la suma para satisfacer la ecuación diferencial. ecuación lo mejor posible.

Los métodos espectrales y los métodos de elementos finitos están estrechamente relacionados y se basan en las mismas ideas; La principal diferencia entre ellos es que los métodos espectrales usan funciones básicas que generalmente son distintas de cero en todo el dominio, mientras que los métodos de elementos finitos usan funciones básicas que son distintas de cero solo en subdominios pequeños ( soporte compacto ). En consecuencia, los métodos espectrales conectan variables globalmente mientras que los elementos finitos lo hacen localmente . En parte por esta razón, los métodos espectrales tienen excelentes propiedades de error, siendo la llamada "convergencia exponencial" la más rápida posible cuando la solución es suave . Sin embargo, no se conocen resultados de captura de choque espectral de dominio único tridimensional (las ondas de choque no son suaves). ^[1] En la comunidad de elementos finitos, un método en el que el grado de los elementos es muy alto o aumenta a medida que aumenta el parámetro de la cuadrícula h a veces se denomina método de elementos espectrales .

Los métodos espectrales se pueden utilizar para resolver ecuaciones diferenciales (PDE, ODE, valores propios, etc.) y problemas de optimización . Cuando se aplican métodos espectrales a PDE dependientes del tiempo, la solución generalmente se escribe como una suma de funciones básicas con coeficientes dependientes del tiempo; sustituir esto en la PDE produce un sistema de EDO en los coeficientes que se puede resolver utilizando cualquier método numérico para EDO . Los problemas de valores propios para EDO se convierten de manera similar en problemas de valores propios matriciales ^{[ cita requerida ]} .

Los métodos espectrales fueron desarrollados en una larga serie de artículos por Steven Orszag a partir de 1969, incluidos, entre otros, métodos de series de Fourier para problemas de geometría periódica, métodos espectrales polinómicos para problemas de geometría finita e ilimitada, métodos pseudoespectrales para problemas altamente no lineales y métodos espectrales. Métodos de iteración para la solución rápida de problemas de estado estacionario. La implementación del método espectral normalmente se logra mediante colocación o un enfoque de Galerkin o Tau. Para problemas muy pequeños, el método espectral es único en el sentido de que las soluciones pueden escribirse simbólicamente, lo que genera una alternativa práctica a las soluciones en serie para ecuaciones diferenciales.

Los métodos espectrales pueden ser computacionalmente menos costosos y más fáciles de implementar que los métodos de elementos finitos; brillan mejor cuando se busca una alta precisión en dominios simples con soluciones fluidas. Sin embargo, debido a su naturaleza global, las matrices asociadas con el cálculo por pasos son densas y la eficiencia computacional se verá afectada rápidamente cuando hay muchos grados de libertad (con algunas excepciones, por ejemplo, si las aplicaciones matriciales se pueden escribir como transformadas de Fourier ). Para problemas más grandes y soluciones no uniformes, los elementos finitos generalmente funcionarán mejor debido a matrices dispersas y un mejor modelado de discontinuidades y curvaturas pronunciadas.

Ejemplos de métodos espectrales

Un ejemplo concreto y lineal

Aquí presumimos una comprensión del cálculo multivariado básico y de las series de Fourier . Si es una función conocida de valores complejos de dos variables reales, y g es periódica en x e y (es decir, ), entonces estamos interesados ​​en encontrar una función f ( x , y ) tal que ${\displaystyle g(x,y)}$ ${\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{for all }}x,y}$

donde la expresión de la izquierda denota las segundas derivadas parciales de f en x e y , respectivamente. Esta es la ecuación de Poisson y puede interpretarse físicamente como una especie de problema de conducción de calor o un problema de teoría potencial, entre otras posibilidades.

Si escribimos f y g en series de Fourier:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)},\\[5mu]g&=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)},\end{aligned}}}$

y sustituimos en la ecuación diferencial, obtenemos esta ecuación:

${\displaystyle \sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}.}$

Hemos intercambiado la derivación parcial con una suma infinita, lo cual es legítimo si suponemos, por ejemplo, que f tiene una segunda derivada continua. Por el teorema de unicidad para las expansiones de Fourier, debemos entonces igualar los coeficientes de Fourier término por término, dando

que es una fórmula explícita para los coeficientes de Fourier a _{j , k} .

Con condiciones de frontera periódicas, la ecuación de Poisson posee solución sólo si b _0,0 = 0. Por lo tanto, podemos elegir libremente un _0,0 que será igual a la media de la resolución. Esto corresponde a elegir la constante de integración.

Para convertir esto en un algoritmo, sólo se resuelven un número finito de frecuencias. Esto introduce un error que se puede demostrar que es proporcional a , donde y es la frecuencia más alta tratada. ${\displaystyle h^{n}}$ ${\displaystyle h:=1/n}$ ${\displaystyle n}$

Algoritmo

1. Calcule la transformada de Fourier ( b _j,k ) de g .
2. Calcule la transformada de Fourier ( a _j,k ) de f mediante la fórmula ( * ).
3. Calcule f tomando una transformada de Fourier inversa de ( a _j,k ).

Dado que sólo estamos interesados ​​en una ventana finita de frecuencias (de tamaño n , digamos), esto se puede hacer usando un algoritmo de transformada rápida de Fourier . Por lo tanto, globalmente el algoritmo se ejecuta en el tiempo O ( n log n ).

Ejemplo no lineal

Deseamos resolver la ecuación de Burgers forzada, transitoria y no lineal utilizando un enfoque espectral.

Dado en el dominio periódico , encuentre tal que ${\displaystyle u(x,0)}$ ${\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)}$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0}$

donde ρ es el coeficiente de viscosidad . En forma conservadora débil esto se convierte en

${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle ={\Bigl \langle }\partial _{x}\left(-{\tfrac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v{\Bigr \rangle }+\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$

donde sigue la notación interna del producto . Integrar por partes y utilizar subvenciones de periodicidad

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}$

Para aplicar el método de Fourier-Galerkin , elija ambos

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:={\biggl \{}u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}{\biggr \}}}$

y

${\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\}}$

dónde . Esto reduce el problema a encontrar tal que ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle }$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}$

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$

Usando la relación de ortogonalidad donde está el delta de Kronecker , simplificamos los tres términos anteriores para que cada uno vea ${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$ ${\displaystyle \delta _{lk}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }={\biggl \langle }\sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\sum _{l}{\hat {f}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi {\hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}{\Bigr )}-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}{\biggr \rangle }-{\biggl \langle }\rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-{\tfrac {1}{2}}ik{\biggl \langle }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}{\biggr \rangle }-\rho k{\biggl \langle }\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}}$

Reúna los tres términos de cada uno para obtener ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$

Dividiendo por , finalmente llegamos a ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$

Con las condiciones iniciales transformadas de Fourier y el forzamiento , este sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias puede integrarse en el tiempo (usando, por ejemplo, una técnica de Runge Kutta ) para encontrar una solución. El término no lineal es convolución y existen varias técnicas basadas en transformaciones para evaluarlo de manera eficiente. Véanse las referencias de Boyd y Canuto et al. para más detalles. ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)}$

Una relación con el método del elemento espectral.

Se puede demostrar que si es infinitamente diferenciable, entonces el algoritmo numérico que utiliza Transformadas Rápidas de Fourier convergerá más rápido que cualquier polinomio en el tamaño de cuadrícula h. Es decir, para cualquier n>0, existe un error tal que el error es menor que para todos los valores suficientemente pequeños de . Decimos que el método espectral es de orden , para todo n>0. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{n}<\infty }$ ${\displaystyle C_{n}h^{n}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$

Debido a que un método de elementos espectrales es un método de elementos finitos de orden muy alto, existe una similitud en las propiedades de convergencia. Sin embargo, mientras que el método espectral se basa en la descomposición propia del problema de valor límite particular, el método de elementos finitos no utiliza esa información y funciona para problemas de valor límite elípticos arbitrarios .

Ver también

• Método de elementos finitos
• rejilla gaussiana
• Método pseudoespectral
• Método del elemento espectral
• método galerkin
• Método de colocación

Referencias

1. págs. 235, Métodos espectrales: evolución a geometrías complejas y aplicaciones a la dinámica de fluidos, por Canuto, Hussaini, Quarteroni y Zang, Springer, 2007.

• Bengt Fornberg (1996) Una guía práctica de métodos pseudoespectrales. Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido
• Métodos espectrales de Chebyshev y Fourier por John P. Boyd.
• Canuto C., Hussaini MY , Quarteroni A. y Zang TA (2006) Métodos espectrales. Fundamentos en dominios únicos. Springer-Verlag, Berlín Heidelberg
• Javier de Frutos, Julia Novo (2000): Un método de elementos espectrales para las ecuaciones de Navier-Stokes con mayor precisión
• Aproximación polinomial de ecuaciones diferenciales, por Daniele Funaro, Lecture Notes in Physics, Volumen 8, Springer-Verlag, Heidelberg 1992
• D. Gottlieb y S. Orzag (1977) "Análisis numérico de métodos espectrales: teoría y aplicaciones", SIAM, Filadelfia, PA
• J. Hesthaven, S. Gottlieb y D. Gottlieb (2007) "Métodos espectrales para problemas dependientes del tiempo", Cambridge UP, Cambridge, Reino Unido
• Steven A. Orszag (1969) Métodos numéricos para la simulación de turbulencias , Phys. Suministro de fluidos II, 12, 250–257
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 20.7. Métodos espectrales". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Jie Shen, Tao Tang y Li-Lian Wang (2011) "Métodos espectrales: algoritmos, análisis y aplicaciones" (Serie Springer en Matemática Computacional, V.41, Springer), ISBN 354071040X 
• Lloyd N. Trefethen (2000) Métodos espectrales en MATLAB. SIAM, Filadelfia, PA