Método espectral

Clase de métodos utilizados en el análisis numérico y la computación científica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y derivadas parciales

Los métodos espectrales son una clase de técnicas utilizadas en matemáticas aplicadas y computación científica para resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales . La idea es escribir la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas " funciones base " (por ejemplo, como una serie de Fourier que es una suma de senos ) y luego elegir los coeficientes en la suma para satisfacer la ecuación diferencial lo mejor posible.

Los métodos espectrales y los métodos de elementos finitos están estrechamente relacionados y se basan en las mismas ideas; la principal diferencia entre ellos es que los métodos espectrales utilizan funciones base que generalmente no son cero en todo el dominio, mientras que los métodos de elementos finitos utilizan funciones base que no son cero solo en pequeños subdominios ( soporte compacto ). En consecuencia, los métodos espectrales conectan variables globalmente mientras que los elementos finitos lo hacen localmente . En parte por esta razón, los métodos espectrales tienen excelentes propiedades de error, siendo la llamada "convergencia exponencial" la más rápida posible, cuando la solución es suave . Sin embargo, no se conocen resultados de captura de choque espectral tridimensionales de un solo dominio (las ondas de choque no son suaves). ^[1] En la comunidad de elementos finitos, un método donde el grado de los elementos es muy alto o aumenta a medida que aumenta el parámetro de cuadrícula h a veces se denomina método de elementos espectrales .

Los métodos espectrales se pueden utilizar para resolver ecuaciones diferenciales (EDE, EDO, valores propios, etc.) y problemas de optimización . Al aplicar métodos espectrales a EDO dependientes del tiempo, la solución se escribe típicamente como una suma de funciones base con coeficientes dependientes del tiempo; al sustituir esto en la EDO se obtiene un sistema de EDO en los coeficientes que se puede resolver utilizando cualquier método numérico para EDO . Los problemas de valores propios para EDO se convierten de manera similar en problemas de valores propios matriciales ^{[ cita requerida ]} .

Los métodos espectrales fueron desarrollados en una larga serie de artículos por Steven Orszag a partir de 1969, incluyendo, pero no limitado a, métodos de series de Fourier para problemas de geometría periódica, métodos espectrales polinomiales para problemas de geometría finita e ilimitada, métodos pseudoespectrales para problemas altamente no lineales y métodos de iteración espectral para la solución rápida de problemas de estado estable. La implementación del método espectral normalmente se logra ya sea con colocación o un enfoque de Galerkin o Tau. Para problemas muy pequeños, el método espectral es único en el sentido de que las soluciones se pueden escribir simbólicamente, lo que produce una alternativa práctica a las soluciones en serie para ecuaciones diferenciales.

Los métodos espectrales pueden ser computacionalmente menos costosos y más fáciles de implementar que los métodos de elementos finitos; brillan mejor cuando se busca alta precisión en dominios simples con soluciones suaves. Sin embargo, debido a su naturaleza global, las matrices asociadas con el cálculo por pasos son densas y la eficiencia computacional sufrirá rápidamente cuando haya muchos grados de libertad (con algunas excepciones, por ejemplo, si las aplicaciones matriciales se pueden escribir como transformadas de Fourier ). Para problemas más grandes y soluciones no suaves, los elementos finitos generalmente funcionarán mejor debido a las matrices dispersas y un mejor modelado de discontinuidades y curvas cerradas.

Ejemplos de métodos espectrales

Un ejemplo concreto y lineal

Aquí presuponemos una comprensión del cálculo multivariado básico y de las series de Fourier . Si es una función compleja conocida de dos variables reales, y g es periódica en x e y (es decir, ), entonces nos interesa encontrar una función f ( x , y ) tal que ${\displaystyle g(x,y)}$ ${\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{for all }}x,y}$

donde la expresión de la izquierda denota las segundas derivadas parciales de f en x e y , respectivamente. Esta es la ecuación de Poisson y puede interpretarse físicamente como algún tipo de problema de conducción de calor o un problema de teoría del potencial, entre otras posibilidades.

Si escribimos f y g en series de Fourier:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)},\\[5mu]g&=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)},\end{aligned}}}$

y sustituimos en la ecuación diferencial, obtenemos esta ecuación:

${\displaystyle \sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}.}$

Hemos intercambiado la diferenciación parcial por una suma infinita, lo cual es legítimo si suponemos, por ejemplo, que f tiene una segunda derivada continua. Por el teorema de unicidad para los desarrollos de Fourier, debemos entonces igualar los coeficientes de Fourier término por término, obteniendo

que es una fórmula explícita para los coeficientes de Fourier a _{j , k} .

En condiciones de contorno periódicas, la ecuación de Poisson tiene solución sólo si b _0,0 = 0. Por lo tanto, podemos elegir libremente un _0,0 que será igual a la media de la resolución. Esto corresponde a elegir la constante de integración.

Para convertir esto en un algoritmo, solo se resuelven un número finito de frecuencias. Esto introduce un error que se puede demostrar que es proporcional a , donde y es la frecuencia más alta tratada. ${\displaystyle h^{n}}$ ${\displaystyle h:=1/n}$ ${\displaystyle n}$

Algoritmo

1. Calcular la transformada de Fourier ( b _j,k ) de g .
2. Calcule la transformada de Fourier ( a _j,k ) de f mediante la fórmula ( * ).
3. Calcule f tomando una transformada de Fourier inversa de ( a _j,k ).

Como solo nos interesa una ventana finita de frecuencias (de tamaño n , por ejemplo), esto se puede hacer utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier . Por lo tanto, globalmente el algoritmo se ejecuta en tiempo O ( n log n ).

Ejemplo no lineal

Deseamos resolver la ecuación de Burgers forzada, transitoria y no lineal utilizando un enfoque espectral.

Dado en el dominio periódico , encuentre tal que ${\displaystyle u(x,0)}$ ${\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)}$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0}$

donde ρ es el coeficiente de viscosidad . En forma conservadora débil, esto se convierte en

${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle ={\Bigl \langle }\partial _{x}\left(-{\tfrac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v{\Bigr \rangle }+\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$

donde la siguiente notación de producto interno . Integrar por partes y usar periodicidad otorga

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}$

Para aplicar el método de Fourier-Galerkin , elija ambos

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:={\biggl \{}u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}{\biggr \}}}$

y

${\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\}}$

donde . Esto reduce el problema a encontrar tal que ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle }$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}$

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$

Usando la relación de ortogonalidad donde es el delta de Kronecker , simplificamos los tres términos anteriores para cada uno de ellos. ${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$ ${\displaystyle \delta _{lk}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }={\biggl \langle }\sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\sum _{l}{\hat {f}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi {\hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}{\Bigr )}-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}{\biggr \rangle }-{\biggl \langle }\rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-{\tfrac {1}{2}}ik{\biggl \langle }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}{\biggr \rangle }-\rho k{\biggl \langle }\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}}$

Reúne los tres términos de cada uno para obtener ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$

Dividiendo por , finalmente llegamos a ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$

Con las condiciones iniciales de la transformada de Fourier y la aplicación de la fuerza , este sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias puede integrarse en el tiempo (utilizando, por ejemplo, una técnica de Runge Kutta ) para encontrar una solución. El término no lineal es una convolución y existen varias técnicas basadas en transformadas para evaluarlo de manera eficiente. Consulte las referencias de Boyd y Canuto et al. para obtener más detalles. ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)}$

Una relación con el método de elementos espectrales

Se puede demostrar que si es infinitamente diferenciable, entonces el algoritmo numérico que utiliza transformadas rápidas de Fourier convergerá más rápido que cualquier polinomio en el tamaño de cuadrícula h. Es decir, para cualquier n>0, existe un tal que el error es menor que para todos los valores suficientemente pequeños de . Decimos que el método espectral es de orden , para cada n>0. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{n}<\infty }$ ${\displaystyle C_{n}h^{n}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$

Debido a que un método de elementos espectrales es un método de elementos finitos de orden muy alto, existe una similitud en las propiedades de convergencia. Sin embargo, mientras que el método espectral se basa en la descomposición propia del problema de valor límite particular, el método de elementos finitos no utiliza esa información y funciona para problemas de valor límite elíptico arbitrario .

Véase también

• Método de elementos finitos
• Cuadrícula gaussiana
• Método pseudoespectral
• Método de elementos espectrales
• Método Galerkin
• Método de colocación

Referencias

1. pp 235, Métodos espectrales: evolución hacia geometrías complejas y aplicaciones a la dinámica de fluidos, por Canuto, Hussaini, Quarteroni y Zang, Springer, 2007.

• Bengt Fornberg (1996) Una guía práctica para métodos pseudoespectrales. Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido
• Métodos espectrales de Chebyshev y Fourier por John P. Boyd.
• Canuto C., Hussaini MY , Quarteroni A. y Zang TA (2006) Métodos espectrales. Fundamentos en dominios únicos. Springer-Verlag, Berlín Heidelberg
• Javier de Frutos, Julia Novo (2000): Un método de elementos espectrales para las ecuaciones de Navier-Stokes con precisión mejorada
• Aproximación polinómica de ecuaciones diferenciales, por Daniele Funaro, Lecture Notes in Physics, Volumen 8, Springer-Verlag, Heidelberg 1992
• D. Gottlieb y S. Orzag (1977) "Análisis numérico de métodos espectrales: teoría y aplicaciones", SIAM, Filadelfia, PA
• J. Hesthaven, S. Gottlieb y D. Gottlieb (2007) "Métodos espectrales para problemas dependientes del tiempo", Cambridge UP, Cambridge, Reino Unido
• Steven A. Orszag (1969) Métodos numéricos para la simulación de turbulencia , Phys. Fluids Supp. II, 12, 250–257
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 20.7. Métodos espectrales". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Jie Shen, Tao Tang y Li-Lian Wang (2011) "Métodos espectrales: algoritmos, análisis y aplicaciones" (Springer Series in Computational Mathematics, V. 41, Springer), ISBN 354071040X 
• Lloyd N. Trefethen (2000) Métodos espectrales en MATLAB. SIAM, Filadelfia, PA