stringtranslate.com

Teoría de sistemas dinámicos

La teoría de sistemas dinámicos es un área de las matemáticas que se utiliza para describir el comportamiento de sistemas dinámicos complejos , generalmente empleando ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencia . Cuando se emplean ecuaciones diferenciales, la teoría se denomina sistemas dinámicos continuos . Desde un punto de vista físico, los sistemas dinámicos continuos son una generalización de la mecánica clásica , una generalización donde las ecuaciones de movimiento se postulan directamente y no están restringidas a ser ecuaciones de Euler-Lagrange de un principio de mínima acción . Cuando se emplean ecuaciones de diferencia, la teoría se denomina sistemas dinámicos discretos . Cuando la variable tiempo se ejecuta sobre un conjunto que es discreto en algunos intervalos y continuo en otros intervalos o es cualquier conjunto de tiempo arbitrario como un conjunto de Cantor , se obtienen ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo . Algunas situaciones también pueden modelarse mediante operadores mixtos, como ecuaciones diferenciales-diferenciales .

Esta teoría se ocupa del comportamiento cualitativo a largo plazo de los sistemas dinámicos y estudia la naturaleza y, cuando es posible, las soluciones de las ecuaciones de movimiento de sistemas que suelen ser principalmente mecánicos o de naturaleza física, como las órbitas planetarias y el comportamiento de los circuitos electrónicos , así como los sistemas que surgen en biología , economía y otros ámbitos. Gran parte de la investigación moderna se centra en el estudio de los sistemas caóticos y los sistemas extraños.

Este campo de estudio también se denomina simplemente sistemas dinámicos , teoría matemática de sistemas dinámicos o teoría matemática de sistemas dinámicos .

Una solución caótica del sistema de Lorenz , que es un ejemplo de sistema dinámico no lineal . El estudio del sistema de Lorenz contribuyó a dar origen a la teoría del caos .

Descripción general

La teoría de sistemas dinámicos y la teoría del caos se ocupan del comportamiento cualitativo a largo plazo de los sistemas dinámicos . En este caso, el objetivo no es encontrar soluciones precisas a las ecuaciones que definen el sistema dinámico (lo que a menudo es imposible), sino responder a preguntas como "¿El sistema se estabilizará en un estado estable a largo plazo y, de ser así, cuáles son los posibles estados estables?" o "¿Depende el comportamiento a largo plazo del sistema de su condición inicial?".

Un objetivo importante es describir los puntos fijos o estados estables de un sistema dinámico determinado; estos son valores de la variable que no cambian con el tiempo. Algunos de estos puntos fijos son atractivos , lo que significa que si el sistema comienza en un estado cercano, converge hacia el punto fijo.

De manera similar, nos interesan los puntos periódicos , estados del sistema que se repiten después de varios intervalos de tiempo. Los puntos periódicos también pueden ser atractivos. El teorema de Sharkovskii es una afirmación interesante sobre el número de puntos periódicos de un sistema dinámico discreto unidimensional.

Incluso los sistemas dinámicos no lineales simples a menudo exhiben un comportamiento aparentemente aleatorio que se ha llamado caos . [1] La rama de los sistemas dinámicos que se ocupa de la definición clara y la investigación del caos se llama teoría del caos .

Historia

El concepto de teoría de sistemas dinámicos tiene su origen en la mecánica newtoniana . Allí, como en otras ciencias naturales y disciplinas de ingeniería, la regla de evolución de los sistemas dinámicos está dada implícitamente por una relación que da el estado del sistema sólo en un corto período de tiempo en el futuro.

Antes de la llegada de las máquinas de computación rápidas , resolver un sistema dinámico requería técnicas matemáticas sofisticadas y sólo podía lograrse para una pequeña clase de sistemas dinámicos.

Algunas presentaciones excelentes de la teoría matemática de sistemas dinámicos incluyen Beltrami (1998), Luenberger (1979), Padulo y Arbib (1974) y Strogatz (1994). [2]

Conceptos

Sistemas dinámicos

El concepto de sistema dinámico es una formalización matemática de cualquier "regla" fija que describa la dependencia temporal de la posición de un punto en su espacio circundante . Algunos ejemplos son los modelos matemáticos que describen la oscilación del péndulo de un reloj, el flujo de agua en una tubería y la cantidad de peces que brotan cada vez en un lago.

Un sistema dinámico tiene un estado determinado por una colección de números reales o, más generalmente, por un conjunto de puntos en un espacio de estados apropiado . Pequeños cambios en el estado del sistema corresponden a pequeños cambios en los números. Los números también son las coordenadas de un espacio geométrico, una variedad . La regla de evolución del sistema dinámico es una regla fija que describe qué estados futuros se siguen del estado actual. La regla puede ser determinista (para un intervalo de tiempo dado, se puede predecir con precisión un estado futuro dado el estado actual) o estocástica (la evolución del estado solo se puede predecir con cierta probabilidad).

Dinamismo

El dinamismo , también denominado hipótesis dinámica o hipótesis dinámica en la ciencia cognitiva o cognición dinámica , es un nuevo enfoque en la ciencia cognitiva ejemplificado por el trabajo del filósofo Tim van Gelder . Sostiene que las ecuaciones diferenciales son más adecuadas para modelar la cognición que los modelos informáticos más tradicionales .

Sistema no lineal

En matemáticas , un sistema no lineal es un sistema que no es lineal , es decir, un sistema que no satisface el principio de superposición . En términos menos técnicos, un sistema no lineal es cualquier problema en el que la(s) variable(s) a resolver no se pueden escribir como una suma lineal de componentes independientes. Un sistema no homogéneo , que es lineal aparte de la presencia de una función de las variables independientes , es no lineal según una definición estricta, pero dichos sistemas suelen estudiarse junto con los sistemas lineales, porque se pueden transformar en un sistema lineal siempre que se conozca una solución particular.

Campos relacionados

Dinámica aritmética

La dinámica aritmética es un campo que surgió en la década de 1990 y que fusiona dos áreas de las matemáticas, los sistemas dinámicos y la teoría de números . Clásicamente, la dinámica discreta se refiere al estudio de la iteración de autoaplicaciones del plano complejo o la línea real . La dinámica aritmética es el estudio de las propiedades teóricas de los números de puntos enteros, racionales, p -ádicos y/o algebraicos bajo la aplicación repetida de un polinomio o una función racional .

Teoría del caos

La teoría del caos describe el comportamiento de ciertos sistemas dinámicos –es decir, sistemas cuyo estado evoluciona con el tiempo– que pueden presentar dinámicas muy sensibles a las condiciones iniciales (conocido popularmente como efecto mariposa ). Como resultado de esta sensibilidad, que se manifiesta como un crecimiento exponencial de las perturbaciones en las condiciones iniciales, el comportamiento de los sistemas caóticos parece aleatorio . Esto sucede a pesar de que estos sistemas son deterministas , es decir, su dinámica futura está completamente definida por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados. Este comportamiento se conoce como caos determinista, o simplemente caos .

Sistemas complejos

Los sistemas complejos son un campo científico que estudia las propiedades comunes de los sistemas considerados complejos en la naturaleza , la sociedad y la ciencia . También se denomina teoría de sistemas complejos , ciencia de la complejidad , estudio de sistemas complejos y/o ciencias de la complejidad . Los problemas clave de tales sistemas son las dificultades con su modelado formal y simulación . Desde esta perspectiva, en diferentes contextos de investigación los sistemas complejos se definen sobre la base de sus diferentes atributos.
El estudio de los sistemas complejos está aportando nueva vitalidad a muchas áreas de la ciencia en las que una estrategia reduccionista más típica no había sido suficiente. Por ello, el término sistemas complejos se utiliza a menudo como un término amplio que abarca un enfoque de investigación de problemas en muchas disciplinas diversas, entre ellas las neurociencias , las ciencias sociales , la meteorología , la química , la física , la informática , la psicología , la vida artificial , la computación evolutiva , la economía , la predicción de terremotos, la biología molecular y las investigaciones sobre la naturaleza de las propias células vivas .

Teoría del control

La teoría del control es una rama interdisciplinaria de la ingeniería y las matemáticas , que en parte trata de influir en el comportamiento de los sistemas dinámicos .

Teoría ergódica

La teoría ergódica es una rama de las matemáticas que estudia los sistemas dinámicos con una medida invariante y los problemas relacionados. Su desarrollo inicial estuvo motivado por problemas de física estadística .

Análisis funcional

El análisis funcional es la rama de las matemáticas , y específicamente del análisis , que se ocupa del estudio de los espacios vectoriales y los operadores que actúan sobre ellos. Tiene sus raíces históricas en el estudio de los espacios funcionales , en particular las transformaciones de funciones , como la transformada de Fourier , así como en el estudio de las ecuaciones diferenciales e integrales . Este uso de la palabra funcional se remonta al cálculo de variaciones , lo que implica una función cuyo argumento es una función. Su uso en general se ha atribuido al matemático y físico Vito Volterra y su fundación se atribuye en gran medida al matemático Stefan Banach .

Sistemas dinámicos de gráficos

El concepto de sistemas dinámicos de grafos (GDS) se puede utilizar para capturar una amplia gama de procesos que tienen lugar en grafos o redes. Un tema importante en el análisis matemático y computacional de los sistemas dinámicos de grafos es relacionar sus propiedades estructurales (por ejemplo, la conectividad de la red) y la dinámica global resultante.

Sistemas dinámicos proyectados

Los sistemas dinámicos proyectados son una teoría matemática que investiga el comportamiento de los sistemas dinámicos donde las soluciones están restringidas a un conjunto de restricciones. La disciplina comparte conexiones y aplicaciones tanto con el mundo estático de los problemas de optimización y equilibrio como con el mundo dinámico de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Un sistema dinámico proyectado se da por el flujo de la ecuación diferencial proyectada.

Dinámica simbólica

La dinámica simbólica es la práctica de modelar un sistema topológico o dinámico suave mediante un espacio discreto que consiste en secuencias infinitas de símbolos abstractos, cada uno de los cuales corresponde a un estado del sistema, con la dinámica (evolución) dada por el operador de desplazamiento .

Dinámica de sistemas

La dinámica de sistemas es un enfoque para comprender el comportamiento de los sistemas a lo largo del tiempo. Se ocupa de los bucles de retroalimentación internos y los retrasos temporales que afectan el comportamiento y el estado de todo el sistema. [3] Lo que hace que el uso de la dinámica de sistemas sea diferente de otros enfoques para estudiar sistemas es el lenguaje utilizado para describir los bucles de retroalimentación con stocks y flujos . Estos elementos ayudan a describir cómo incluso sistemas aparentemente simples muestran una no linealidad desconcertante .

Dinámica topológica

La dinámica topológica es una rama de la teoría de sistemas dinámicos en la que se estudian las propiedades cualitativas y asintóticas de los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la topología general .

Aplicaciones

En biomecánica

En la biomecánica deportiva , la teoría de sistemas dinámicos ha surgido en las ciencias del movimiento como un marco viable para modelar el rendimiento y la eficiencia atléticos. No es una sorpresa, ya que la teoría de sistemas dinámicos tiene sus raíces en la mecánica analítica . Desde la perspectiva psicofisiológica, el sistema de movimiento humano es una red altamente intrincada de subsistemas codependientes (por ejemplo, respiratorio, circulatorio, nervioso, esquelético-muscular, perceptivo) que se componen de una gran cantidad de componentes que interactúan (por ejemplo, células sanguíneas, moléculas de oxígeno, tejido muscular, enzimas metabólicas, tejido conectivo y hueso). En la teoría de sistemas dinámicos, los patrones de movimiento emergen a través de procesos genéricos de autoorganización que se encuentran en sistemas físicos y biológicos. [4] No existe ninguna validación de investigación de ninguna de las afirmaciones asociadas a la aplicación conceptual de este marco.

En la ciencia cognitiva

La teoría de sistemas dinámicos se ha aplicado en el campo de la neurociencia y el desarrollo cognitivo , especialmente en las teorías neopiagetianas del desarrollo cognitivo . Es la creencia de que el desarrollo cognitivo se representa mejor mediante teorías físicas en lugar de teorías basadas en la sintaxis y la IA . También se creía que las ecuaciones diferenciales son la herramienta más apropiada para modelar el comportamiento humano. Estas ecuaciones se interpretan para representar la trayectoria cognitiva de un agente a través del espacio de estados . En otras palabras, los dinamistas argumentan que la psicología debería ser (o es) la descripción (a través de ecuaciones diferenciales) de las cogniciones y comportamientos de un agente bajo ciertas presiones ambientales e internas. El lenguaje de la teoría del caos también se adopta con frecuencia.

En este proceso, la mente del alumno alcanza un estado de desequilibrio en el que los viejos patrones se han desmoronado. Esta es la fase de transición del desarrollo cognitivo. La autoorganización (la creación espontánea de formas coherentes) se establece a medida que los niveles de actividad se vinculan entre sí. Las estructuras macroscópicas y microscópicas recién formadas se apoyan entre sí, acelerando el proceso. Estos vínculos forman la estructura de un nuevo estado de orden en la mente a través de un proceso llamado festoneado (la construcción y el colapso repetidos de un desempeño complejo). Este nuevo estado novedoso es progresivo, discreto, idiosincrásico e impredecible. [5]

La teoría de sistemas dinámicos se ha utilizado recientemente para explicar un problema del desarrollo infantil que llevaba mucho tiempo sin respuesta, conocido como el error A-no-B . [6]

Además, desde mediados de la década de 1990 [7] la ciencia cognitiva , orientada hacia un conexionismo teórico de sistemas , ha adoptado cada vez más los métodos de la “Teoría de Sistemas Dinámicos (TSD)” (no lineal). [8] [9] [10] Una variedad de neuroarquitecturas cognitivas neurosimbólicas en el conexionismo moderno, considerando su núcleo estructural matemático, pueden categorizarse como sistemas dinámicos (no lineales). [11] [12] [13] Estos intentos en neurocognición de fusionar neuroarquitecturas cognitivas conexionistas con la TSD provienen no solo de la neuroinformática y el conexionismo, sino también recientemente de la psicología del desarrollo (“Teoría de Campos Dinámicos (TDF)” [14] [15] ) y de la “ robótica evolutiva ” y la “ robótica del desarrollo ” [16] en conexión con el método matemático de “ computación evolutiva (CE)”. Para una descripción general, consulte Maurer. [17] [18]

En el desarrollo de una segunda lengua

La aplicación de la teoría de sistemas dinámicos para estudiar la adquisición de una segunda lengua se atribuye a Diane Larsen-Freeman, quien publicó un artículo en 1997 en el que afirmaba que la adquisición de una segunda lengua debería considerarse un proceso de desarrollo que incluye el desgaste del lenguaje así como su adquisición. [19] En su artículo, afirmaba que el lenguaje debería considerarse un sistema dinámico, complejo, no lineal, caótico, impredecible, sensible a las condiciones iniciales, abierto, autoorganizado, sensible a la retroalimentación y adaptativo.

Véase también

Temas relacionados
Científicos relacionados

Notas

  1. ^ Grebogi, C.; Ott, E.; Yorke, J. (1987). "Caos, atractores extraños y límites de cuencas fractales en dinámica no lineal". Science . 238 (4827): 632–638. Bibcode :1987Sci...238..632G. doi :10.1126/science.238.4827.632. JSTOR  1700479. PMID  17816542. S2CID  1586349.
  2. ^ Jerome R. Busemeyer (2008), "Sistemas dinámicos". Aparecerá en: Encyclopedia of cognitive science , Macmillan. Consultado el 8 de mayo de 2008. Archivado el 13 de junio de 2008 en Wayback Machine .
  3. ^ Proyecto de Dinámica de Sistemas en Educación (SDEP) del MIT Archivado el 9 de mayo de 2008 en Wayback Machine.
  4. ^ Paul S Glazier, Keith Davids, Roger M Bartlett (2003). "TEORÍA DE SISTEMAS DINÁMICOS: un marco relevante para la investigación biomecánica deportiva orientada al rendimiento". en: Sportscience 7. Consultado el 8 de mayo de 2008.
  5. ^ Lewis, Mark D. (25 de febrero de 2000). "La promesa de los enfoques de sistemas dinámicos para una explicación integrada del desarrollo humano" (PDF) . Child Development . 71 (1): 36–43. CiteSeerX 10.1.1.72.3668 . doi :10.1111/1467-8624.00116. PMID  10836556 . Consultado el 4 de abril de 2008 . 
  6. ^ Smith, Linda B.; Esther Thelen (30 de julio de 2003). "El desarrollo como un sistema dinámico" (PDF) . Tendencias en las ciencias cognitivas . 7 (8): 343–8. CiteSeerX 10.1.1.294.2037 . doi :10.1016/S1364-6613(03)00156-6. PMID  12907229. S2CID  5712760. Consultado el 4 de abril de 2008 . 
  7. ^ RF Port y T. van Gelder [eds.] (1995). La mente como movimiento. Exploraciones en la dinámica de la cognición. Un libro de Bradford. MIT Press, Cambridge/MA.
  8. ^ van Gelder, T. y RF Port (1995). Ya era hora: una visión general del enfoque dinámico de la cognición. Págs. 1-43. En: RF Port y T. van Gelder [eds.]: La mente como movimiento. Exploraciones en la dinámica de la cognición. Un libro de Bradford. MIT Press, Cambridge/MA.
  9. ^ van Gelder, T. (1998b). La hipótesis dinámica en la ciencia cognitiva. Ciencias del comportamiento y del cerebro 21: 615-628.
  10. ^ Abrahamsen, A. y W. Bechtel (2006). Fenómenos y mecanismos: poniendo el debate sobre sistemas simbólicos, conexionistas y dinámicos en una perspectiva más amplia. pp. 159-185. En: R. Stainton [ed.]: Debates contemporáneos en ciencia cognitiva. Basil Blackwell, Oxford.
  11. ^ Nadeau, SE (2014). Cuencas atractoras: una base neuronal para la conformación del conocimiento. pp. 305-333. En: A. Chatterjee [ed.]: Las raíces de la neurociencia cognitiva. Neurología y neuropsicología del comportamiento. Oxford University Press, Oxford.
  12. ^ Leitgeb, H. (2005). Sistemas dinámicos interpretados y leyes cualitativas: de las redes neuronales a los sistemas evolutivos. Synthese 146: 189-202.
  13. ^ Munro, PW y JA Anderson. (1988). Herramientas para el modelado conexionista: la metodología de sistemas dinámicos. Behavior Research Methods, Instruments, and Computers 20: 276-281.
  14. ^ Schöner, G. (2008). Enfoques de sistemas dinámicos para la cognición. Págs. 101-126. En: R. Sun [ed.]: The Cambridge Handbook of Computational Psychology. CambridgeUniversity Press, Cambridge.
  15. ^ Schöner, G. (2009) El desarrollo como cambio de la dinámica de sistemas: estabilidad, inestabilidad y emergencia. pp. 25-31. En: JP Spencer, MSC Thomas y JL McClelland. [eds.]: Hacia una teoría unificada del desarrollo: conexionismo y teoría de sistemas dinámicos reconsiderados. Oxford University Press, Oxford.
  16. ^ Schlesinger, M. (2009). El robot como nueva frontera para el conexionismo y la teoría de sistemas dinámicos. pp. 182-199. En: JP Spencer, MSC Thomas y JL McClelland. [eds.]: Hacia una teoría unificada del desarrollo: conexionismo y teoría de sistemas dinámicos reconsiderados. Oxford University Press, Oxford.
  17. ^ Maurer, H. (2021). Ciencia cognitiva: mecanismos de sincronización integradores en las neuroarquitecturas cognitivas del conexionismo moderno. CRC Press, Boca Raton/FL, cap. 1.4, 2., 3.26, 11.2.1, ISBN 978-1-351-04352-6. https://doi.org/10.1201/9781351043526
  18. ^ Maurer, H. (2016). “Mecanismos de sincronización integrativa en neuroarquitecturas cognitivas conexionistas”. Computational Cognitive Science. 2: 3. https://doi.org/10.1186/s40469-016-0010-8
  19. ^ Larsen-Freeman, D. (1997). "Ciencia del caos/complejidad y adquisición de segundas lenguas". Applied Linguistics . págs. 141–165. doi :10.1093/applin/18.2.141.

Lectura adicional

Enlaces externos