Método de red de vórtice

Simulación de un avión utilizando Open VOGEL, un framework de código abierto para simulaciones aerodinámicas basado en UVLM.

El método Vortex Lattice , (VLM), es un método numérico utilizado en dinámica de fluidos computacional , principalmente en las primeras etapas del diseño de aeronaves y en la educación aerodinámica a nivel universitario. El VLM modela las superficies de sustentación, como un ala , de un avión como una lámina infinitamente delgada de vórtices discretos para calcular la sustentación y la resistencia inducida . Se desprecia la influencia del espesor y la viscosidad .

Los VLM pueden calcular el flujo alrededor de un ala con una definición geométrica rudimentaria. Para un ala rectangular basta con conocer la luz y la cuerda. En el otro lado del espectro, pueden describir el flujo alrededor de una geometría de aeronave bastante compleja (con múltiples superficies de elevación con conicidad, torceduras, torsión, curvatura, superficies de control del borde de salida y muchas otras características geométricas).

Al simular el campo de flujo, se puede extraer la distribución de presión o, como en el caso del VLM, la distribución de fuerzas, alrededor del cuerpo simulado. Este conocimiento se utiliza luego para calcular los coeficientes aerodinámicos y sus derivados que son importantes para evaluar las cualidades de manejo de la aeronave en la fase de diseño conceptual. Con una estimación inicial de la distribución de presión en el ala, los diseñadores estructurales pueden comenzar a diseñar las partes portantes de las alas, las aletas y el plano de cola y otras superficies de sustentación. Además, si bien el VLM no puede calcular la resistencia viscosa, se puede estimar la resistencia inducida derivada de la producción de sustentación. Por lo tanto, como la resistencia debe equilibrarse con el empuje en la configuración de crucero, el grupo de propulsión también puede obtener datos importantes de la simulación VLM.

Antecedentes históricos

John DeYoung proporciona una historia de fondo del VLM en la documentación del taller de Langley de la NASA SP-405. ^[1]

El VLM es la extensión de la teoría de la línea de elevación de Prandtl , ^[2] donde el ala de un avión se modela como un número infinito de vórtices en herradura . El nombre fue acuñado por VM Falkner en su artículo del Aeronautical Research Council de 1946. ^[3] Desde entonces, el método ha sido desarrollado y perfeccionado por WP Jones, H. Schlichting, GN Ward y otros.

Aunque los cálculos necesarios se pueden realizar a mano, el VLM se benefició de la llegada de las computadoras para las grandes cantidades de cálculos que se requieren.

En lugar de un solo vórtice de herradura por ala, como en la teoría de la línea de elevación , el VLM utiliza una red de vórtices de herradura, como lo describió Falkner en su primer artículo sobre este tema en 1943. ^[4] El número de vórtices utilizados varía con la resolución de distribución de presión requerida y con la precisión requerida en los coeficientes aerodinámicos calculados. Un número típico de vórtices sería de alrededor de 100 para el ala completa de un avión; un informe del Consejo de Investigación Aeronáutica de Falkner publicado en 1949 menciona el uso de una "red de 84 vórtices antes de la estandarización de la red de 126" (p. 4). ^[5]

El método se describe de forma comprensible en todos los principales libros de texto sobre aerodinámica, como Katz & Plotkin, ^[6] Anderson, ^[7] Bertin & Smith ^[8] Houghton & Carpenter ^[9] o Drela, ^[10].

Teoría

El método de la red de vórtices se basa en la teoría del flujo ideal, también conocido como flujo potencial . El flujo ideal es una simplificación del flujo real experimentado en la naturaleza; sin embargo, para muchas aplicaciones de ingeniería, esta representación simplificada tiene todas las propiedades que son importantes desde el punto de vista de la ingeniería. Este método ignora todos los efectos viscosos. Las turbulencias, la disipación y las capas límite no se resuelven en absoluto. Sin embargo, se puede evaluar la resistencia inducida por la sustentación y, teniendo especial cuidado, se pueden modelar algunos fenómenos de pérdida.

Suposiciones

Se hacen las siguientes suposiciones con respecto al problema del método de red de vórtices:

• El campo de flujo es incompresible , no viscoso e irrotacional . Sin embargo, el flujo compresible subsónico de pequeña perturbación se puede modelar si se incorpora al método la transformación general 3D de Prandtl-Glauert .
• Las superficies de elevación son delgadas. Se desprecia la influencia del espesor sobre las fuerzas aerodinámicas.
• El ángulo de ataque y el ángulo de deslizamiento lateral son ambos pequeños, una aproximación de ángulo pequeño .

Método

Según los supuestos anteriores, el campo de flujo es un campo vectorial conservador , lo que significa que existe un potencial de velocidad de perturbación tal que el vector de velocidad total está dado por ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} _{\infty }+\nabla \varphi }$

y eso satisface la ecuación de Laplace . ${\displaystyle \varphi }$

La ecuación de Laplace es una ecuación lineal de segundo orden, y al serlo está sujeta al principio de superposición. Lo que significa que si y son dos soluciones de la ecuación diferencial lineal, entonces la combinación lineal también es una solución para cualquier valor de las constantes y . Como dijo Anderson ^[7] : "Se puede sintetizar un patrón de flujo complicado para un flujo irrotacional e incompresible sumando varios flujos elementales, que también son irrotacionales e incompresibles". Dichos flujos elementales son la fuente puntual o el sumidero, el doblete y la línea de vórtice , cada uno de los cuales es una solución de la ecuación de Laplace. Estos pueden superponerse de muchas maneras para crear la formación de fuentes de líneas, láminas de vórtice , etc. En el método Vortex Lattice, cada uno de esos flujos elementales es el campo de velocidad de. un vórtice de herradura con cierta fuerza . ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

modelo de avión

Todas las superficies de elevación de una aeronave se dividen en una cierta cantidad de paneles cuadriláteros, y en cada panel se colocan un vórtice de herradura y un punto de colocación (o punto de control). El segmento transversal del vórtice está en la posición de 1/4 de cuerda del panel, mientras que el punto de colocación está en la posición de 3/4 de cuerda. La fuerza del vórtice está por determinar. También se coloca un vector normal en cada punto de colocación, fijado normal a la superficie de curvatura de la superficie de elevación real. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Para un problema con paneles, la velocidad de perturbación en el punto de colocación viene dada por la suma de las contribuciones de todos los vórtices de herradura en términos de una matriz de coeficiente de influencia aerodinámica (AIC) . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{ij}}$

${\displaystyle \nabla \varphi _{i}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}}$

El vector de velocidad de la corriente libre está dado en términos de la velocidad de la corriente libre y los ángulos de ataque y deslizamiento lateral, . ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle \mathbf {V} _{\infty }=V_{\infty }{\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta \\-\sin \beta \\\sin \alpha \cos \beta \end{bmatrix}}}$

Se aplica una condición de frontera de Neumann en cada punto de colocación, que prescribe que la velocidad normal a través de la superficie de curvatura es cero. Implementaciones alternativas también pueden utilizar la condición de frontera de Dirichlet directamente sobre el potencial de velocidad .

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {n} _{i}=\left(\mathbf {V} _{\infty }+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}\right)\cdot \mathbf {n} _{i}=0}$

Esto también se conoce como condición de tangencia de flujo. Al evaluar los productos escalares anteriores, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones. La nueva matriz AIC de lavado normal es , y el lado derecho está formado por la velocidad de flujo libre y los dos ángulos aerodinámicos. ${\displaystyle a_{ij}=\mathbf {w} _{ij}\cdot \mathbf {n} _{i}}$ ${\displaystyle b_{i}=V_{\infty }[-\cos \alpha \cos \beta ,\sin \beta ,-\sin \alpha \cos \beta ]\cdot \mathbf {n} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1N}\\a_{21}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\a_{N1}&\cdots &\cdots &a_{NN}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{2}\\\vdots \\\Gamma _{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{N}\end{bmatrix}}}$

Este sistema de ecuaciones se resuelve para todas las fuerzas de los vórtices . Luego , el vector de fuerza total y el vector de momento total alrededor del origen se calculan sumando las contribuciones de todas las fuerzas en todos los vórtices de herradura individuales, siendo la densidad del fluido. ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\rho \Gamma _{i}(\mathbf {V} _{\infty }+\mathbf {v} _{i})\times \mathbf {l} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}\times \mathbf {r} _{i}}$

Aquí, es el vector del segmento transversal del vórtice y es la velocidad de perturbación en la ubicación central de este segmento (no en el punto de colocación). ${\displaystyle \mathbf {l} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

La sustentación y la resistencia inducida se obtienen a partir de las componentes del vector de fuerza total . Para el caso de deslizamiento lateral cero, estos vienen dados por ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}D_{i}&=&\;\;F_{x}\cos \alpha +F_{z}\sin \alpha \\L&=&\!-F_{x}\sin \alpha +F_{z}\cos \alpha \end{array}}}$

Referencias

1. NASA, utilización de la red Vortex . NASA SP-405, NASA-Langley, Washington, 1976.
2. Prandtl. L, Aplicaciones de la hidrodinámica moderna a la aeronáutica , NACA-TR-116, NASA, 1923.
3. Falkner. VM, La precisión de los cálculos basados ​​en la teoría del entramado de vórtices , Rep. No. 9621, British ARC, 1946.
4. Falkner. VM, Cálculos de carga aerodinámica en superficies de cualquier forma , R&M 1910, British ARC, 1943.
5. Falkner. VM, Comparación de dos métodos para calcular la carga alar teniendo en cuenta la compresibilidad , R&M 2685, British ARC, 1949.
6. J. Katz, A. Plotkin, Aerodinámica de baja velocidad, 2ª ed., Cambridge University Press , Cambridge, 2001.
7. JD Anderson Jr, Fundamentos de la aerodinámica , 2ª ed., McGraw-Hill Inc, 1991.
8. JJ Bertin, ML Smith, Aerodinámica para ingenieros , 3.ª ed., Prentice Hall, Nueva Jersey, 1998.
9. EL Houghton, PW Carpenter, Aerodinámica para estudiantes de ingeniería , 4ª ed., Edward Arnold, Londres, 1993.
10. M. Drela, Aerodinámica de vehículos de vuelo, MIT Press , Cambridge, MA, 2014.

enlaces externos

• http://web.mit.edu/drela/Public/web/avl/
• https://github.com/OpenVOGEL

Fuentes

• NASA, utilización de la red Vortex . NASA SP-405, NASA-Langley, Washington, 1976.
• Prandtl. L, Aplicaciones de la hidrodinámica moderna a la aeronáutica , NACA-TR-116, NASA, 1923.
• Falkner. VM, La precisión de los cálculos basados ​​en la teoría del entramado de vórtices , Rep. No. 9621, British ARC, 1946.
• J. Katz, A. Plotkin, Aerodinámica de baja velocidad, 2ª ed., Cambridge University Press , Cambridge, 2001.
• JD Anderson Jr, Fundamentos de aerodinámica , 2ª ed., McGraw-Hill Inc, 1991.
• JJ Bertin, ML Smith, Aerodinámica para ingenieros , 3.ª ed., Prentice Hall, Nueva Jersey, 1998.
• EL Houghton, PW Carpenter, Aerodinámica para estudiantes de ingeniería , 4ª ed., Edward Arnold, Londres, 1993.
• Lamar, JE, Herbert, HE, Versión de producción del programa informático FORTRAN extendido de celosía de vórtice de NASA-Langley. Volumen 1: Guía del usuario , NASA-TM-83303, NASA, 1982
• Lamar, JE, Herbert, HE, Versión de producción del programa informático FORTRAN extendido de celosía de vórtice de NASA-Langley. Volumen 2: Código fuente , NASA-TM-83304, NASA, 1982
• Melin, Thomas, Implementación de MATLAB A Vortex Lattice para aplicaciones de alas aerodinámicas lineales , Real Instituto de Tecnología (KTH), Suecia, diciembre de 2000
• M. Drela, Aerodinámica de vehículos de vuelo , MIT Press, Cambridge, MA, 2014.