Teoría de la línea de elevación

Modelo matemático para cuantificar el ascensor.

La teoría de la línea de sustentación de Prandtl ^[1] es un modelo matemático en aerodinámica que predice la distribución de sustentación sobre un ala tridimensional en función de su geometría. También se la conoce como teoría del ala de Lanchester-Prandtl . ^[2]

La teoría fue expresada de forma independiente ^[3] por Frederick W. Lanchester en 1907, ^[4] y por Ludwig Prandtl en 1918-1919 ^[5] después de trabajar con Albert Betz y Max Munk .

En este modelo, el vórtice ligado pierde fuerza a lo largo de toda la envergadura porque se desprende como una lámina de vórtice desde el borde de fuga, en lugar de simplemente como un único vórtice desde las puntas de las alas. ^{[6] [7]}

Introducción

Los perfiles aerodinámicos en dos dimensiones son más fáciles de entender, pero no se corresponden directamente con alas finitas tridimensionales.

Una distribución de sustentación poco realista que ignora los efectos tridimensionales.

Una distribución de sustentación observada sobre un ala trapezoidal (finita)

Es difícil predecir analíticamente la cantidad total de sustentación que generará un ala de una geometría determinada. Al analizar un ala finita tridimensional , la primera aproximación a la comprensión es considerar cortar el ala en secciones transversales y analizar cada sección transversal de forma independiente como un ala en un mundo bidimensional. Cada una de estas rebanadas se llama perfil aerodinámico , y es más fácil entender un perfil aerodinámico que un ala tridimensional completa.

Se podría esperar que comprender el ala completa simplemente implique sumar las fuerzas calculadas independientemente de cada segmento del perfil aerodinámico. Sin embargo, resulta que esta aproximación es tremendamente incorrecta: en un ala real, la sustentación sobre cada segmento del ala ( sustentación local por unidad de envergadura, o ) no corresponde simplemente a lo que predice el análisis bidimensional. En realidad, la cantidad local de sustentación en cada sección transversal no es independiente y se ve fuertemente afectada por las secciones de ala vecinas. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\tilde {L}}}$

La teoría de la línea de elevación corrige algunos de los errores del ingenuo enfoque bidimensional al incluir algunas de las interacciones entre las secciones del ala. Produce la distribución de sustentación a lo largo de la dirección de la envergadura, basándose en la geometría del ala (distribución de la cuerda, el perfil aerodinámico y la torsión en la envergadura) y las condiciones de flujo ( , , ). ${\displaystyle {\tilde {L}}_{(y)}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle \alpha _{\infty }}$

Principio

La teoría de la línea de elevación aplica el concepto de circulación y el teorema de Kutta-Joukowski .

${\displaystyle {\tilde {L}}_{(y)}=\rho V\Gamma _{(y)},}$

de modo que en lugar de la función de distribución de elevación , la incógnita se convierte efectivamente en la distribución de la circulación a lo largo del tramo, . ${\displaystyle \Gamma _{(y)}}$

• 
  La distribución de sustentación sobre un ala se puede modelar con el concepto de circulación.
• 
  Se genera un vórtice aguas abajo por cada cambio de sustentación en el tramo.

Modelar el ascensor local (desconocido y buscado) con la circulación local (también desconocida) nos permite dar cuenta de la influencia de un tramo sobre sus vecinos. Desde este punto de vista, cualquier cambio en la sustentación a lo largo de un tramo es equivalente a un cambio de circulación a lo largo de un tramo. Según los teoremas de Helmholtz , un filamento de vórtice no puede comenzar ni terminar en el aire. Cualquier cambio en la sustentación a lo largo de la envergadura se puede modelar como el desprendimiento de un filamento de vórtice a lo largo del flujo , detrás del ala.

Este vórtice desprendido, cuya fuerza se deriva de la (desconocida) distribución local de la circulación del ala, influye en el flujo hacia la izquierda y hacia la derecha de la sección del ala. ${\displaystyle d\Gamma /dy}$

• 
  El vórtice desprendido se puede modelar como una distribución de velocidad vertical.
• 
  La corriente ascendente y descendente inducida por el vórtice generado se puede calcular en cada segmento vecino.

Esta influencia lateral (corriente ascendente en el exterior, corriente descendente en el interior) es la clave de la teoría de la línea de elevación. Ahora, si se conoce el cambio en la distribución de elevación en una sección de elevación determinada, es posible predecir cómo esa sección influye en la elevación sobre sus vecinas: la velocidad vertical inducida (ascendente o descendente) se puede cuantificar utilizando la distribución de velocidad dentro de un vórtice. y relacionado con un cambio en el ángulo de ataque efectivo sobre las secciones vecinas. ${\displaystyle \omega _{i}}$

En términos matemáticos, el cambio local inducido del ángulo de ataque en una sección determinada se puede cuantificar con la suma integral de la corriente descendente inducida por cada dos secciones del ala. A su vez, la suma integral de la sustentación en cada sección del ala lavada hacia abajo es igual a la cantidad total de sustentación deseada (conocida). ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Esto conduce a una ecuación integro-diferencial en la forma de , donde se expresa únicamente en términos de la geometría del ala y su propia variación en cuanto a envergadura . La solución a esta ecuación es una función que describe con precisión la distribución de circulación (y por lo tanto de elevación) sobre un ala finita de geometría conocida. ${\displaystyle L_{\text{total}}=\rho V_{\infty }\int _{\text{tip}}^{\text{tip}}\Gamma _{(y)}\,dy}$ ${\displaystyle \Gamma _{(y)}}$ ${\displaystyle d\Gamma _{(y)}/dy}$ ${\displaystyle \Gamma _{(y)}}$

Derivación

(Basado en. ^[8] )

Nomenclatura:

• ${\displaystyle \ \Gamma }$es la circulación sobre toda el ala (m ² /s)
• ${\displaystyle \ C_{L}}$es el coeficiente de sustentación 3D (para todo el ala)
• ${\displaystyle \ AR}$es la relación de aspecto
• ${\displaystyle \ \alpha _{\infty }}$es el ángulo de ataque de corriente libre (rad)
• ${\displaystyle \ V_{\infty }}$es la velocidad de la corriente libre (m/s)
• ${\displaystyle \ C_{D_{i}}}$es el coeficiente de arrastre para el arrastre inducido
• ${\displaystyle \ e}$es el factor de eficiencia en forma de planta

Las siguientes son todas las funciones de la estación de envergadura de las alas (es decir, todas pueden variar a lo largo del ala) ${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle \ C_{l}}$es el coeficiente de sustentación 2D (unidades/m)
• ${\displaystyle \ \gamma }$es la circulación 2D en una sección (m/s)
• ${\displaystyle \ c}$es la longitud de la cuerda de la sección local
• ${\displaystyle \ \alpha _{geo}}$es el cambio local en el ángulo de ataque debido al giro geométrico del ala
• ${\displaystyle \ \alpha _{0}}$es el ángulo de ataque de elevación cero de esa sección (depende de la geometría del perfil aerodinámico)
• ${\displaystyle \ C_{l_{\alpha }}}$es la pendiente del coeficiente de sustentación 2D (unidades/m⋅rad, y depende de la geometría del perfil aerodinámico, consulte Teoría del perfil aerodinámico delgado )
• ${\displaystyle \ \alpha _{i}}$es un cambio en el ángulo de ataque debido a la corriente descendente
• ${\displaystyle \ w_{i}}$es la velocidad descendente local

Para derivar el modelo partimos del supuesto de que la circulación del ala varía en función de las ubicaciones a lo largo de la envergadura. La función asumida es una función de Fourier. En primer lugar, la coordenada para la ubicación a lo largo de la envergadura se transforma mediante , donde y es la ubicación a lo largo de la envergadura y s es la semienvergadura del ala. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=s\cos(\theta )}$

por lo que se supone que la circulación es:

${\displaystyle \Gamma (y)=\Gamma (\theta )=\gamma =4sV_{\infty }\sum _{n}{A_{n}\sin(n\theta })\qquad (1)}$

Dado que la circulación de una sección está relacionada con la ecuación: ${\displaystyle C_{l}}$

${\displaystyle C_{l}={\frac {2\gamma }{V_{\infty }c}}\qquad (2)}$

pero dado que el coeficiente de sustentación es función del ángulo de ataque:

${\displaystyle C_{l}=C_{l_{\alpha }}(\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0}-\alpha _{i})\qquad (3)}$

por lo tanto, la fuerza del vórtice en cualquier estación particular a lo largo de un tramo puede venir dada por las ecuaciones:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}V_{\infty }cC_{l_{\alpha }}(\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0}-\alpha _{i})\qquad (4)}$

Esta ecuación tiene dos incógnitas: el valor de y el valor de . Sin embargo, la corriente descendente es puramente una función de la circulación únicamente. Entonces podemos determinar el valor en términos de , llevar este término al lado izquierdo de la ecuación y resolver. La corriente descendente en cualquier estación determinada es función de todo el sistema de vórtice del cobertizo. Esto se determina integrando la influencia de cada vórtice diferencial sobre la envergadura del ala. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \Gamma (y)}$

Elemento diferencial de circulación:

${\displaystyle d\Gamma =4sV_{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }nA_{n}\cos(n\theta )d\theta \qquad (5)}$

Descendente diferencial debido al elemento diferencial de circulación (actúa como media línea de vórtice infinita):

${\displaystyle dw_{i}={\frac {d\Gamma }{4\pi r}}\qquad (6)}$

La ecuación integral sobre la envergadura del ala para determinar la corriente descendente en un lugar particular es:

${\displaystyle w_{i}=\int _{-s}^{s}{\frac {1}{y-y_{0}}}d\Gamma \qquad (7)}$

Después de las sustituciones e integraciones apropiadas obtenemos:

${\displaystyle w_{i}=V_{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nA_{n}\sin(n\theta )}{\sin(\theta )}}\qquad (8)}$

Y entonces el cambio en el ángulo de ataque está determinado por ( asumiendo ángulos pequeños ):

${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {w_{i}}{V_{\infty }}}\qquad (9)}$

Al sustituir las ecuaciones 8 y 9 en el lado derecho de la ecuación 4 y la ecuación 1 en el lado izquierdo de la ecuación 4, obtenemos:

${\displaystyle 4sV_{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin(n\theta )={\frac {1}{2}}V_{\infty }cC_{l_{\alpha }}\left[\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nA_{n}\sin(n\theta )}{\sin(\theta )}}\right]\qquad (10)}$

Después de reordenar, obtenemos la serie de ecuaciones simultáneas:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin(n\theta ){\bigg (}\sin(\theta )+{\frac {nC_{l\alpha }c}{8s}}{\bigg )}={\frac {C_{l\alpha }c}{8s}}\sin(\theta )(\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0})\qquad (11)}$

Al tomar un número finito de términos, la ecuación 11 se puede expresar en forma matricial y resolver para los coeficientes A. Tenga en cuenta que el lado izquierdo de la ecuación representa cada elemento de la matriz, y los términos en el lado derecho de la ecuación 11 representan el lado derecho. de la forma matricial. Cada fila en la forma matricial representa una estación diferente en términos de tramo, y cada columna representa un valor diferente para n.

Las opciones apropiadas para son como una variación lineal entre . Tenga en cuenta que este rango no incluye los valores de 0 y , ya que esto conduce a una matriz singular, que no se puede resolver. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (0,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

Levantar y arrastrar a partir de coeficientes.

La sustentación se puede determinar integrando los términos de circulación:

${\displaystyle {\text{Lift}}=\rho V_{\infty }\int _{-s}^{s}\Gamma (y)\cos {(\alpha _{i}(y))}dy\approx \rho V_{\infty }\int _{-s}^{s}\Gamma (y)dy}$

que se puede reducir a:

${\displaystyle C_{L}=\pi A\!RA_{1}}$

donde es el primer término de la solución de las ecuaciones simultáneas mostradas arriba. ${\displaystyle A_{1}}$

La resistencia inducida se puede determinar a partir de

${\displaystyle {\text{D}}_{\text{i}}=\rho V_{\infty }\int _{-s}^{s}\Gamma (y)\sin {(\alpha _{i}(y))}dy\approx \rho V_{\infty }\int _{-s}^{s}\Gamma (y)\alpha _{i}(y)dy}$

que también se puede reducir a:

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}=\pi A\!R\sum _{n=1}^{\infty }nA_{n}^{2}}$

donde están todos los términos de la solución de las ecuaciones simultáneas mostradas arriba. ${\displaystyle A_{n}}$

Además, esta expresión se puede ordenar en función de de la siguiente manera: ${\displaystyle C_{L}}$

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}=\pi A\!RA_{1}^{2}+\pi A\!R\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}$

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}=\pi A\!RA_{1}^{2}*{\frac {\pi A\!R}{\pi A\!R}}+\pi A\!R\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}*{\frac {\pi A\!RA_{1}^{2}}{\pi A\!RA_{1}^{2}}}}$

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}={\frac {\pi ^{2}A\!R^{2}A_{1}^{2}}{\pi A\!R}}+{\frac {\pi ^{2}A\!R^{2}A_{1}^{2}}{\pi A\!R}}*{\frac {\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}{A_{1}^{2}}}}$

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}(1+{\frac {\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}{A_{1}^{2}}})={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!Re}}}$

dónde

${\displaystyle \delta ={\frac {\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}{A_{1}^{2}}}}$

${\displaystyle e={\frac {1}{1+\delta }}}$es el factor de eficiencia del tramo

ala simétrica

Para un ala simétrica, los términos pares de los coeficientes de la serie son idénticamente iguales a 0, por lo que pueden eliminarse.

alas rodantes

Cuando la aeronave está rodando, se puede agregar un término adicional que suma la distancia de la estación del ala multiplicada por la velocidad de balanceo para dar un cambio de ángulo de ataque adicional. La ecuación 3 entonces se convierte en:

${\displaystyle C_{l}=C_{l_{\alpha }}\left(\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0}-\alpha _{i}+{\frac {py}{s}}\right)\qquad (3)}$

dónde

• ${\displaystyle \ p}$es la velocidad de balanceo en rad/seg,

Tenga en cuenta que y puede ser negativo, lo que introduce coeficientes pares distintos de cero en la ecuación que deben tenerse en cuenta.

Cuando el ala está rodando, la resistencia inducida se altera porque el vector de sustentación gira en cada estación a lo largo de la envergadura debido a la velocidad de rodadura. ^[9] La resistencia inducida resultante para un ala con una velocidad de balanceo es

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}(1+{\frac {\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}{A_{1}^{2}}})-{\frac {\pi A\!R{\bar {p}}}{2}}A_{2}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!Re}}-{\frac {\pi A\!R{\bar {p}}}{2}}A_{2}}$

dónde

• ${\displaystyle {\bar {p}}={\frac {pb}{2V}}}$es la velocidad de rodadura adimensional.

Un cambio similar en la resistencia inducida también está presente cuando el ala está batiendo y comprende la producción principal de empuje para el aleteo. ^[9]

Controlar la deflexión

Los efectos de la deflexión de la superficie de control se pueden explicar simplemente cambiando el término en la Ecuación 3. Para controles no simétricos, como los alerones, el término cambia en cada lado del ala. ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$

Alas elípticas

Para un ala elíptica sin torsión, con:

${\displaystyle y(\theta )=s\cos(\theta )}$

La longitud de la cuerda está dada en función de la ubicación del tramo como:

${\displaystyle c(\theta )=c_{root}\sin(\theta )}$

También,

${\displaystyle e=1}$

Esto produce la famosa ecuación para el coeficiente de resistencia inducida elíptica:

${\displaystyle C_{D_{induced}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}}$

dónde

• ${\displaystyle s}$es el valor de la envergadura del ala,
• ${\displaystyle y(\theta )}$es la posición en la envergadura del ala, y
• ${\displaystyle c(\theta )}$es el acorde.

Solución de Fourier descompuesta

Se puede utilizar una solución de serie de Fourier descompuesta para estudiar individualmente los efectos de la forma en planta, la torsión, la desviación de control y la velocidad de rodadura. ^{[10] [11]}

Aproximaciones útiles

Una aproximación útil ^{[ cita necesaria ]} es que

${\displaystyle \ C_{L}=C_{l_{\alpha }}\left({\frac {\text{AR}}{{\text{AR}}+2}}\right)\alpha }$

dónde

• ${\displaystyle \ C_{\text{L}}}$es el coeficiente de elevación 3D para la distribución de circulación elíptica,
• ${\displaystyle \ C_{l_{\alpha }}}$es la pendiente del coeficiente de sustentación 2D (ver teoría del perfil aerodinámico delgado ),
• ${\displaystyle \ {\text{AR}}}$es la relación de aspecto , y
• ${\displaystyle \ \alpha }$es el ángulo de ataque en radianes.

El valor teórico de es 2 . Tenga en cuenta que esta ecuación se convierte en la ecuación del perfil aerodinámico delgado si AR llega al infinito. ^[12] ${\displaystyle \ C_{l_{\alpha }}}$ ${\displaystyle \pi }$

Como se vio arriba, la teoría de la línea de elevación también establece una ecuación para la resistencia inducida : ^{[13] [14]}

${\displaystyle \ C_{D_{i}}={\frac {{C_{L}}^{2}}{\pi {\text{AR}}e}}}$

dónde

• ${\displaystyle \ C_{D_{i}}}$es el componente de arrastre inducido del coeficiente de arrastre ,
• ${\displaystyle \ C_{L}}$es el coeficiente de sustentación 3D ,
• ${\displaystyle \ {\text{AR}}}$es la relación de aspecto ,
• ${\displaystyle \ e}$es el número de eficiencia de Oswald (o factor de eficiencia de tramo). Esto es igual a 1 para la distribución de circulación elíptica y, por lo general, se tabula para otras distribuciones.

Soluciones interesantes

Según la teoría de la línea de sustentación, cualquier forma en planta del ala se puede girar para producir una distribución de sustentación elíptica. ^[11]

Limitaciones de la teoría.

La teoría de la línea de elevación no tiene en cuenta lo siguiente:

• Flujo compresible
• flujo viscoso
• alas barridas
• Alas de baja relación de aspecto
• Flujos inestables

Ver también

• Vórtice de herradura
• condición de kutta
• Teoría del perfil aerodinámico delgado
• Método de red de vórtice

Notas

1. Anderson, John D. (2001), Fundamentos de la aerodinámica , p. 360. McGraw-Hill, Boston. ISBN  0-07-237335-0 .
2. Houghton, EL; Carpintero, PW (2003). Butterworth Heinmann (ed.). Aerodinámica para estudiantes de ingeniería (5ª ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-5111-3.
3. Kármán, Theodore von (2004) [1954]. Aerodinámica: temas seleccionados a la luz de su desarrollo histórico . Dover. ISBN 0-486-43485-0.
4. Lanchester, Federico W. (1907). Alguacil (ed.). Aerodinámica.
5. Prandtl, Ludwig (1918). Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (ed.). Teoría de la tragflügel .
6. Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E., Teoría de las secciones de alas , Sección 1.4.
7. Clancy, LJ, Aerodinámica , Sección 8.11.
8. Aerodinámica para estudiantes de la Universidad de Sydney (pdf)
9. Phillips, WF (28 de febrero de 2014). "Descomposición analítica del balanceo y aleteo del ala mediante la teoría de la línea de elevación". Revista de Aeronaves . 51 (3): 761–778. doi :10.2514/1.C032399.
10. Phillips, Warren; Callejón, Nicolás; Goodrich, Wayne (23 de junio de 2003), "Análisis de la línea de elevación del control de balanceo y torsión variable", 21ª Conferencia de Aerodinámica Aplicada de la AIAA , Dinámica de fluidos y conferencias compartidas, Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, doi :10.2514/6.2003 -4061, ISBN 978-1-62410-092-5, consultado el 2 de diciembre de 2020
11. Phillips, WF (1 de enero de 2004). "Análisis de líneas de elevación para alas torcidas y alas optimizadas para lavado". Revista de Aeronaves . 41 (1): 128-136. doi :10.2514/1.262.
12. Explicación de Aerospace Web sobre el coeficiente de sustentación.
13. Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E., Teoría de las secciones de alas , Sección 1.3
14. Clancy, LJ, Aerodinámica , Ecuación 5.7

Referencias

• LJ Clancy (1975), Aerodinámica , Pitman Publishing Limited, Londres. ISBN 0-273-01120-0 
• Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E. (1959), Teoría de las secciones de alas , Dover Publications Inc., Nueva York. Número de libro estándar 486-60586-8