Hoja de vórtice

Una lámina de vórtice es un término utilizado en mecánica de fluidos para una superficie a través de la cual hay una discontinuidad en la velocidad del fluido , como en el deslizamiento de una capa de fluido sobre otra. ^[1] Mientras que los componentes tangenciales de la velocidad del flujo son discontinuos a través de la lámina de vórtice, el componente normal de la velocidad del flujo es continuo. La discontinuidad en la velocidad tangencial significa que el flujo tiene una vorticidad infinita en una lámina de vórtice.

Con números de Reynolds elevados , las láminas de vórtice tienden a ser inestables. En particular, pueden presentar inestabilidad de Kelvin-Helmholtz .

La formulación de la ecuación de movimiento de la lámina de vórtice se da en términos de una coordenada compleja . La hoja se describe paramétricamente mediante donde es la longitud del arco entre la coordenada y un punto de referencia, y es el tiempo. Denotemos la resistencia de la lámina, es decir, el salto en la discontinuidad tangencial. Entonces el campo de velocidades inducido por la lámina es ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle z(s,t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma (s,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma (s',t)\mathrm {d} s'}{z(s,t)-z(s',t)}}}$

La integral en la ecuación anterior es una integral de valor principal de Cauchy. Ahora la definimos como la resistencia o circulación integrada de la lámina entre un punto con longitud de arco y el punto del material de referencia en la lámina. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle \Gamma (s,t)=\int \limits _{0}^{s}\gamma (s',t)\mathrm {d} s'\qquad \mathrm {and} \qquad {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} s}}=\gamma (s,t)}$

Como consecuencia del teorema de circulación de Kelvin, en ausencia de fuerzas externas sobre la lámina, la circulación entre dos puntos materiales cualesquiera de la lámina permanece conservada, por lo que . La ecuación de movimiento de la hoja se puede reescribir en términos de y mediante un cambio de variable. El parámetro se reemplaza por . Eso es, ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma /\mathrm {d} t=0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\Gamma '}{z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t)}}}$

Esta ecuación integrodiferencial no lineal se llama ecuación de Birkoff-Rott. Describe la evolución de la lámina de vórtice dadas las condiciones iniciales. Se pueden encontrar mayores detalles sobre las láminas de vórtice en el libro de texto de Saffman (1977).

Difusión de una lámina de vórtice.

Una vez que se forma una lámina de vórtice, se difundirá debido a la acción viscosa. Considere un flujo unidireccional plano en , ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle u={\begin{cases}+U,&{\text{for }}y>0\\-U,&{\text{for }}y<0\end{cases}}}$

lo que implica la presencia de una lámina de vórtice en . La discontinuidad de la velocidad se suaviza según ^[2] ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2{\sqrt {\pi \nu t}}}}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-(s-y)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s-\int _{0}^{\infty }e^{-(s+y)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s\right].}$

¿Dónde está la viscosidad cinemática ? El único componente de vorticidad distinto de cero está en la dirección, dada por ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \omega _{z}=-{\frac {U}{\sqrt {\pi \nu t}}}e^{-y^{2}/4\nu t}}$.

Hoja de vórtice con límites periódicos.

Se puede utilizar una lámina de vórtice plana con límites periódicos en la dirección de la corriente para modelar una capa de corte libre temporal con un número de Reynolds alto. Supongamos que el intervalo entre los límites periódicos es de longitud . Entonces la ecuación de movimiento de la lámina de vórtice se reduce a ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2}}\int \limits _{0}^{1}\cot \pi (z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t))\;d\Gamma '}$

Aproximación de láminas de vórtice continuo mediante método de panel. Enrollamiento de una lámina de vórtice debido a una perturbación sinusoidal inicial.

Tenga en cuenta que la integral en la ecuación anterior es una integral de valor principal de Cauchy. La condición inicial para una lámina de vórtice plana con resistencia constante es . La lámina plana de vórtice es una solución de equilibrio. Sin embargo, es inestable ante perturbaciones periódicas infinitesimales de la forma . La teoría lineal muestra que el coeficiente de Fourier crece exponencialmente a una tasa proporcional a . Es decir, cuanto mayor es el número de onda de un modo de Fourier, más rápido crece. Sin embargo, una teoría lineal no puede extenderse mucho más allá del estado inicial. Si se tienen en cuenta las interacciones no lineales, el análisis asintótico sugiere que para valores grandes y finitos , donde es un valor crítico, el coeficiente de Fourier decae exponencialmente. Se espera que la solución de lámina de vórtice pierda analiticidad en el momento crítico. Véase Moore (1979) y Meiron, Baker y Orszag (1983). ${\displaystyle z(\Gamma ,0)=\Gamma }$ ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }A_{k}\mathrm {e} ^{\imath 2\pi k\Gamma }}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t<t_{c}}$ ${\displaystyle t_{c}}$ ${\displaystyle A_{k}}$

La solución de la lámina de vórtice dada por la ecuación de Birkoff-Rott no puede ir más allá del tiempo crítico. La pérdida espontánea de analiticidad en una lámina de vórtice es una consecuencia del modelado matemático, ya que un fluido real con viscosidad, por pequeña que sea, nunca desarrollará singularidad. La viscosidad actúa como parámetro de suavizado o regularización en un fluido real. Se han realizado extensos estudios sobre una lámina de vórtice, la mayoría de ellos mediante aproximación de vórtice puntual o discreta, con o sin desingularización. Utilizando una aproximación de vórtice puntual y regularización delta, Krasny (1986) obtuvo un enrollamiento suave de una lámina de vórtice en una espiral de doble ramificación. Dado que los vórtices puntuales son inherentemente caóticos, es necesario un filtro de Fourier para controlar el crecimiento de los errores de redondeo. La aproximación continua de una lámina de vórtice mediante paneles de vórtice con difusión en arco de la densidad de circulación también muestra que la lámina se enrolla formando una espiral de doble ramificación.

En muchas aplicaciones físicas y de ingeniería es de interés el crecimiento de una capa de corte libre temporal. El espesor de una capa de corte libre generalmente se mide por el espesor del momento, que se define como

${\displaystyle \theta =\int \limits _{y=-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{4}}-\left({\frac {\left\langle u\right\rangle }{2U}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} y}$

donde y es la velocidad de la corriente libre. El espesor del momento tiene la dimensión de longitud y el espesor del momento adimensional viene dado por . El espesor del momento se puede utilizar para medir el espesor de una capa de vórtice. ${\displaystyle \left\langle u\right\rangle ={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}\ u(x,y,t)dx}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \theta _{ND}=\theta /L}$

Ver también

• anillo de vórtice
• Hoja de vórtice de hamburguesas

Referencias

1. Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos obtenido en julio de 2012
2. Drazin, PG y Riley, N. (2006). Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas (No. 334). Prensa de la Universidad de Cambridge.