Teoría de la línea de elevación

Modelo matemático para cuantificar el ascensor.

La teoría de la línea de sustentación de Lanchester-Prandtl ^[1] es un modelo matemático en aerodinámica que predice la distribución de sustentación sobre un ala tridimensional a partir de la geometría del ala . ^[2] La teoría fue expresada de forma independiente ^[3] por Frederick W. Lanchester en 1907, ^[4] y por Ludwig Prandtl en 1918-1919 ^[5] después de trabajar con Albert Betz y Max Munk . En este modelo, el vórtice unido al ala se desarrolla a lo largo de toda la envergadura porque se desprende como una lámina de vórtice desde el borde de salida, en lugar de simplemente como un único vórtice desde las puntas del ala. ^{[6] [7]}

Introducción

Los perfiles aerodinámicos en dos dimensiones son más fáciles de entender, pero no se corresponden directamente con alas finitas tridimensionales.

Es difícil predecir analíticamente la cantidad total de sustentación que generará un ala de una geometría determinada. Al analizar un ala finita tridimensional , un enfoque tradicional corta el ala en secciones transversales y analiza cada sección transversal de forma independiente como un ala en un mundo bidimensional. Cada una de estas rebanadas se llama perfil aerodinámico , y es más fácil entender un perfil aerodinámico que un ala tridimensional completa.

Se podría esperar que comprender el ala completa simplemente implique sumar las fuerzas calculadas independientemente de cada segmento del perfil aerodinámico. Sin embargo, esta aproximación es tremendamente incorrecta: en un ala real, la sustentación de cada sección de ala infinitesimal se ve fuertemente afectada por el flujo de aire sobre las secciones de ala vecinas. La teoría de la línea de sustentación corrige algunos de los errores del ingenuo enfoque bidimensional al incluir algunas interacciones entre las secciones del ala.

• 
  Una distribución de sustentación poco realista que ignora los efectos tridimensionales.
• 
  La distribución de sustentación observada en un ala trapezoidal (finita)

Principio y derivación

La teoría de la línea de elevación supone alas largas y delgadas con un fuselaje insignificante , similar a una barra delgada (la "línea de elevación" del mismo nombre) de 2 s de envergadura  impulsada a través del fluido. Según el teorema de Kutta-Joukowski , la sustentación  L ( y ) en un segmento bidimensional del ala a una distancia  y del fuselaje es proporcional a la circulación Γ( y ) alrededor de la barra en y . Cuando la aeronave está parada en tierra, estas circulaciones son todas iguales, pero cuando la nave está en movimiento, varían con y . Según los teoremas de Helmholtz , la generación de una circulación espacialmente variable debe corresponder al desprendimiento de un filamento de vórtice de igual fuerza aguas abajo del ala . ^[8] 

• 
  La distribución de sustentación sobre un ala se puede modelar con el concepto de circulación.
• 
  Se genera un vórtice aguas abajo por cada cambio de sustentación en el tramo.

En la teoría de la línea de elevación, se supone que la línea de vórtice resultante permanece unida al ala , de modo que cambia el ángulo vertical efectivo de la corriente de aire entrante.

• 
  El vórtice desprendido se puede modelar como una distribución de velocidad vertical.
• 
  La corriente ascendente y descendente inducida por el vórtice generado se puede calcular en cada segmento vecino.

El movimiento vertical inducido por una línea de vórtice de fuerza  γ en el aire a una distancia  r es γ ⁄ 4π r , de modo que todo el sistema de vórtice induce un movimiento vertical de corriente libre en la posición  y de donde la integral se entiende en el sentido de un principio de Cauchy. valor . Este flujo cambia el ángulo de ataque efectivo en y ; Si la respuesta de circulación de los perfiles que componen el ala se entiende en una variedad de ángulos de ataque, entonces se puede desarrollar una ecuación integral para determinar Γ( y ) . ^[9] $${\displaystyle w(y)=\int _{-s}^{s}{\frac {d\Gamma ({\tilde {y}})}{4\pi (y-{\tilde {y}})}},}$$

Formalmente, existe algún ángulo de orientación tal que el perfil aerodinámico en la posición  y no desarrolla sustentación. Para corrientes de aire de velocidad  V orientadas en un ángulo α con respecto al ángulo sin sustentación, el perfil aerodinámico desarrollará cierta circulación V ⋅ C ( y ,α) ; para α pequeña , la expansión de Taylor se aproxima a esa circulación como V ⋅ ∂ C ⁄ ∂α ( y ,0)⋅α . Si el perfil aerodinámico es ideal y tiene una cuerda c ( y ) , entonces la teoría predice eso, pero los perfiles aerodinámicos reales pueden ser menos eficientes. ^{[10] [11]} $${\displaystyle C(y,\alpha )=2\pi c(y)\sin(\alpha ){\text{,}}}$$

Supongamos que el flujo libre ataca el perfil aerodinámico en la posición  y en el ángulo α( y ) (en relación con el ángulo sin sustentación del perfil aerodinámico en la posición y  ; por lo tanto, un flujo uniforme a través de un ala aún puede tener α( y ) variable ). Por la aproximación de ángulo pequeño , el ángulo de ataque efectivo en y del sistema combinado de corriente libre y vórtice es α( y ) + w ( y ) ⁄ V. Combinando las fórmulas anteriores,

Todas las cantidades en esta ecuación, excepto V y Γ, son propiedades geométricas del ala, por lo que un ingeniero puede (en principio) resolver para Γ( y ) dada una V fija . Como en la derivación de la teoría del perfil aerodinámico delgado , un enfoque común es expandir Γ como una serie de Fourier a lo largo del ala y luego mantener solo los primeros términos. ^{[12] [13] [14]}

Una vez que se conocen la velocidad V , la circulación Γ y la densidad del fluido  ρ , se supone que la sustentación generada por el ala es la sustentación neta producida por cada perfil aerodinámico con la circulación prescrita... ...y la resistencia es también el total a través perfiles aerodinámicos: A partir de estas cantidades y la relación de aspecto A‍R , se puede calcular el factor de eficiencia de luz . ^{[15] [16] [11]} $${\displaystyle L=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\,dy}}$$ $${\displaystyle D=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\alpha (y)\,dy}{\text{.}}}$$ $${\displaystyle e={\frac {1}{\pi \mathrm {A\!R} }}\cdot {\frac {L^{2}}{\rho VD}}}$$

Efectos de las entradas de control.

La deflexión de la superficie de control cambia la forma de cada corte del perfil, lo que puede producir un ángulo diferente de no sustentación para ese perfil, así como una respuesta de ángulo de ataque diferente. Estos no requieren una modificación sustancial de la teoría, solo cambiar ∂ _α C ( y ,0) y α ( y ) en ( 1 ). Sin embargo, un cuerpo con alas que se mueven rápidamente, como un avión que gira o un pájaro que aletea, experimenta un flujo vertical a través del ala debido al cambio de orientación del ala, lo que aparece como un término faltante en la teoría.

alas rodantes

Cuando la aeronave rueda a una velocidad p alrededor del fuselaje, un perfil aerodinámico en la posición ( con signo ) y experimenta un flujo de aire vertical a una velocidad py , que correspondientemente agrega py ⁄ V al ángulo de ataque efectivo. Así ( 1 ) se convierte en: lo que modifica correspondientemente tanto la sustentación como la resistencia inducida. ^[17] Esta "fuerza de arrastre" comprende la producción principal de empuje para el aleteo de las alas. ^[17] $${\displaystyle \Gamma (y)=\partial _{\alpha }C(y,0)\left(V\alpha (y)+py+{\frac {1}{4\pi }}\int _{-s}^{s}{\frac {\Gamma '({\tilde {y}})\,dy}{y-{\tilde {y}}}}\right){\text{,}}}$$

Alas elípticas

La eficiencia e está teóricamente optimizada en un ala elíptica sin torsión, en la que θ es una parametrización alternativa de la estación a lo largo del ala. Para tal ala, que produce la ecuación para el coeficiente de resistencia elíptica inducida: según la teoría de la línea de elevación, cualquier forma en planta del ala puede lograr la misma eficiencia a través de la torsión (un aumento del paso que varía la posición ) en relación con el fuselaje. ^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=s\cos \theta \\c(y)&=\mathrm {A\!R} \,s\sin \theta {\text{,}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle e=1{\text{,}}}$$ $${\displaystyle C_{D_{induced}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}}$$

Aproximaciones útiles

Una aproximación útil para el coeficiente de sustentación 3D para la distribución de circulación elíptica ^{[ cita necesaria ]} es Tenga en cuenta que esta ecuación se convierte en la ecuación del perfil aerodinámico delgado si AR llega al infinito. ^{[18] [ verificación fallida ]} $${\displaystyle \ C_{L}=\partial _{\alpha }C(0,0)\left(1+{\frac {2}{\mathrm {A\!R} }}\right)^{-1}\alpha }$$

Limitaciones

La teoría de la línea de elevación no tiene en cuenta la compresión del aire por las alas, el flujo viscoso dentro de la capa límite del fuselaje o las formas de las alas distintas de las largas, rectas y delgadas, como las alas en flecha o de baja relación de aspecto . La teoría también presupone que el flujo alrededor de las alas está en equilibrio y no se refiere a cuerpos que se aceleran rápidamente en relación con la corriente de aire libre.

Ver también

• Vórtice de herradura
• condición de kutta
• Teoría del perfil aerodinámico delgado
• Método de red de vórtice

Notas

1. Anderson, John D. (2001), Fundamentos de la aerodinámica , p. 360. McGraw-Hill, Boston. ISBN  0-07-237335-0 .
2. Houghton, EL; Carpintero, PW (2003). Butterworth Heinmann (ed.). Aerodinámica para estudiantes de ingeniería (5ª ed.). ISBN 0-7506-5111-3.
3. von Kármán, Theodore (2004) [1954]. Aerodinámica: temas seleccionados a la luz de su desarrollo histórico . Dover. ISBN 0-486-43485-0.
4. Lanchester, Federico W. (1907). Alguacil (ed.). Aerodinámica.
5. Prandtl, Ludwig (1918). Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (ed.). Teoría de la tragflügel .
6. Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E., Teoría de las secciones de alas , Sección 1.4.
7. Clancy, LJ, Aerodinámica , Sección 8.11.
8. Batchelor, GK (1993) [1967]. Introducción a la dinámica de fluidos (tercera edición de la reimpresión india). Nueva Delhi: Cambridge University Press (publicado en 2014). págs. 580–585. ISBN 978-81-85618-24-1.
9. Licenciado 1993, pag. 585-586.
10. Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Matemáticas Aplicadas y Ciencias de la Computación de Oxford. Oxford: Clarendon Press (publicado en 2009). págs. 134-136, 138.
11. Auld, Douglass; Srinivas (1995). "Teoría de la línea de elevación tridimensional". Aerodinámica para estudiantes. Universidad de Sídney.
12. Licenciado 1993, pag. 586-587.
13. Phillips, Warren; Callejón, Nicolás; Goodrich, Wayne (23 de junio de 2003), "Análisis de la línea de elevación del control de balanceo y torsión variable", 21ª Conferencia de Aerodinámica Aplicada de la AIAA , Dinámica de fluidos y conferencias compartidas, Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, doi :10.2514/6.2003 -4061, ISBN 978-1-62410-092-5, consultado el 2 de diciembre de 2020
14. Phillips, WF (1 de enero de 2004). "Análisis de líneas de elevación para alas torcidas y alas optimizadas para lavado". Revista de Aeronaves . 41 (1): 128-136. doi :10.2514/1.262.
15. Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E., Teoría de las secciones de alas , Sección 1.3
16. Clancy, LJ, Aerodinámica , Ecuación 5.7
17. Phillips, WF (28 de febrero de 2014). "Descomposición analítica del balanceo y aleteo del ala mediante la teoría de la línea de elevación". Revista de Aeronaves . 51 (3): 761–778. doi :10.2514/1.C032399.
18. Scott, Jeff (10 de agosto de 2003). "Pregunta n.° 136: Teoría del coeficiente de elevación y del perfil aerodinámico delgado". Pregúntele a un científico espacial: aerodinámica. Aerospaceweb.org.

Referencias

• LJ Clancy (1975), Aerodinámica , Pitman Publishing Limited, Londres. ISBN 0-273-01120-0 
• Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E. (1959), Teoría de las secciones de alas , Dover Publications Inc., Nueva York. Número de libro estándar 486-60586-8