Transformación de Prandtl-Glauert

La transformación de Prandtl-Glauert es una técnica matemática que permite resolver ciertos problemas de flujo compresible mediante métodos de cálculo de flujo incompresible . También permite aplicar datos de flujo incompresible a casos de flujo compresible.

formulación matemática

Gráfico del factor inverso de Prandtl-Glauert en función del número de Mach en flujo libre . Observe el límite infinito en Mach 1. ${\displaystyle 1/\beta }$

El flujo compresible no viscoso sobre cuerpos delgados se rige por la ecuación de potencial compresible linealizado de pequeña perturbación: ^[1]

${\displaystyle \phi _{xx}+\phi _{yy}+\phi _{zz}=M_{\infty }^{2}\phi _{xx}\quad {\mbox{(in flow field)}}}$

junto con la condición de frontera de tangencia de flujo de pequeña perturbación.

${\displaystyle V_{\infty }n_{x}+\phi _{y}n_{y}+\phi _{z}n_{z}=0\quad {\mbox{(on body surface)}}}$

${\displaystyle M_{\infty }}$es el número de Mach de flujo libre y son los componentes del vector normal a la superficie. La variable desconocida es el potencial de perturbación , y la velocidad total está dada por su gradiente más la velocidad de la corriente libre que aquí se supone que está a lo largo . ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle \phi (x,y,z)}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\vec {V}}=\nabla \phi +V_{\infty }{\hat {x}}=(V_{\infty }+\phi _{x}){\hat {x}}+\phi _{y}{\hat {y}}+\phi _{z}{\hat {z}}}$

La formulación anterior es válida sólo si se aplica la aproximación de pequeñas perturbaciones, ^[2]

${\displaystyle |\nabla \phi |\ll V_{\infty }}$

y además que no hay flujo transónico, aproximadamente indicado por el requisito de que el número de Mach local no exceda la unidad.

${\displaystyle \left[1+(\gamma +1){\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}\right]M_{\infty }^{2}<1}$

La transformación Prandtl-Glauert (PG) utiliza el factor Prandtl-Glauert . Consiste en reducir todas las dimensiones y y z y el ángulo de ataque por el factor del potencial por y la componente x de los vectores normales por : ${\displaystyle \beta \equiv {\sqrt {1-M_{\infty }^{2}}}}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \beta ^{2},}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&=x\\{\bar {y}}&=\beta y\\{\bar {z}}&=\beta z\\{\bar {\alpha }}&=\beta \alpha \\{\bar {\phi }}&=\beta ^{2}\phi \end{aligned}}}$

Esta geometría tendrá entonces vectores normales cuyas componentes x se reducen de las originales: ${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{\bar {x}}&=\beta n_{x}\\{\bar {n}}_{\bar {y}}&=n_{y}\\{\bar {n}}_{\bar {z}}&=n_{z}\end{aligned}}}$

La ecuación del potencial de pequeña perturbación luego se transforma en la ecuación de Laplace,

${\displaystyle {\bar {\phi }}_{{\bar {x}}{\bar {x}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {y}}{\bar {y}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\quad {\mbox{(in flow field)}}}$

y la condición de frontera flujo-tangencia conserva la misma forma.

${\displaystyle V_{\infty }{\bar {n}}_{\bar {x}}+{\bar {\phi }}_{\bar {y}}{\bar {n}}_{\bar {y}}+{\bar {\phi }}_{\bar {z}}{\bar {n}}_{\bar {z}}=0\quad {\mbox{(on body surface)}}}$

Este es el problema del flujo potencial incompresible acerca de la geometría transformada. Puede resolverse mediante métodos incompresibles, como la teoría del perfil aerodinámico delgado, métodos de red de vórtices, métodos de paneles, etc. El resultado es el potencial de perturbación transformado o sus componentes de gradiente en el espacio transformado. El coeficiente de presión físico linealizado se obtiene luego mediante la transformación inversa ${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}$ ${\displaystyle {\bar {\phi }}}$ ${\displaystyle {\bar {\phi }}_{\bar {x}},{\bar {\phi }}_{\bar {y}},{\bar {\phi }}_{\bar {z}}}$

${\displaystyle C_{p}=-2{\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}=-{\frac {2}{\beta ^{2}}}{\frac {{\bar {\phi }}_{\bar {x}}}{V_{\infty }}}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\bar {C}}_{p}}$

que se conoce como regla de Göthert ^[3]

Resultados

Para el flujo bidimensional , el resultado neto es ese y también los coeficientes de sustentación y momento aumentan en el factor : ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle c_{l},c_{m}}$ ${\displaystyle 1/\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {C_{p0}}{\beta }}\\c_{l}&={\frac {c_{l0}}{\beta }}\\c_{m}&={\frac {c_{m0}}{\beta }}\end{aligned}}}$

¿Dónde están los valores de flujo incompresible para la geometría original (sin escala) ? Este resultado únicamente 2D se conoce como regla de Prandtl. ^[4] ${\displaystyle C_{p0},c_{l0},c_{m0}}$ ${\displaystyle xyz}$

Para flujos tridimensionales , estas escalas simples NO se aplican. En cambio, es necesario trabajar con la geometría escalada como se indicó anteriormente y usar la regla de Göthert para calcular las fuerzas y los momentos, y posteriormente. No es posible obtener resultados simples, excepto en casos especiales. Por ejemplo, utilizando la teoría de la línea de sustentación para un ala elíptica plana, el coeficiente de sustentación es ${\displaystyle 1/\beta }$ ${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}$ ${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{L}={\frac {2\pi \alpha }{\beta +2/AR}}}$

donde AR es la relación de aspecto del ala. Tenga en cuenta que en el caso 2D donde AR → ∞ esto se reduce al caso 2D, ya que en un flujo 2D incompresible para un perfil aerodinámico plano tenemos lo indicado en la teoría del perfil aerodinámico delgado . ${\displaystyle c_{l0}=2\pi \alpha ,}$

Limitaciones

La transformación PG funciona bien para todos los números de Mach de flujo libre hasta aproximadamente 0,7, o una vez que el flujo transónico comienza a aparecer. ^[2]

Historia

El interés por la investigación de la compresibilidad surgió después de la Primera Guerra Mundial, cuando las puntas de las hélices de los aviones empezaron a alcanzar M=0,8. Ludwig Prandtl había enseñado la transformación en sus conferencias alrededor de 1922, pero la primera prueba rigurosa fue publicada en 1928 por Hermann Glauert . ^[5] La introducción de esta relación permitió el diseño de aviones que podían operar en áreas de mayor velocidad subsónica. ^[6] Originalmente, todos estos resultados se desarrollaron para flujo 2D. Göthert finalmente se dio cuenta en 1946 de que la distorsión geométrica inducida por la transformación PG hacía que la simple regla de Prandtl 2D no fuera válida para 3D, y planteó adecuadamente el problema 3D completo como se describe anteriormente.

Jakob Ackeret amplió la transformación PG a flujos supersónicos de corriente libre en 1925. Al igual que en el caso subsónico, el caso supersónico es válido sólo si no hay efecto transónico, lo que requiere que el cuerpo sea delgado y que el Mach de corriente libre esté lo suficientemente lejos por encima. unidad.

Singularidad

Cerca de la velocidad del sonido, la transformación PG presenta una singularidad . La singularidad también se llama singularidad de Prandtl-Glauert y la resistencia al flujo se calcula para acercarse al infinito. En realidad, las perturbaciones aerodinámicas y termodinámicas se amplifican fuertemente cerca de la velocidad del sonido, pero no se produce una singularidad. Una explicación para esto es que la ecuación de potencial de pequeña perturbación linealizada anterior no es válida, ya que supone que sólo hay pequeñas variaciones en el número de Mach dentro del flujo y ausencia de choques de compresión y, por lo tanto, faltan ciertos términos no lineales. Sin embargo, estos se vuelven relevantes tan pronto como cualquier parte del campo de flujo se acelera por encima de la velocidad del sonido, y se vuelven esenciales cerca de La ecuación no lineal más correcta no exhibe la singularidad. ${\displaystyle M_{\infty }\simeq 1}$ ${\displaystyle M_{\infty }\simeq 1.}$

Ver también

• Luis Prandtl
• Hermann Glauert
• Jacob Ackeret

Referencias

Citas

1. Kuethe y Chow 1976, págs.248-.
2. Shapiro 1953.
3. Gothert 1940.
4. Truckenbrodt 1996, págs. 178–9.
5. Glauert 1928, pag. 113–119.
6. Meier 2005.

Fuentes

• Göthert, BH (1940), "Ebene und räumliche Strömung bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten: Erweiterung der Prandtl'schen Regel" [Flujo plano y tridimensional a altas velocidades subsónicas: extensión de la regla de Prandtl], Lilienthal Gesellschaft (en alemán) (127 ), Berlín: Zentrale fuer Wissenschaftliches Berichtswesen
• Glauert, H. (1928). "El efecto de la compresibilidad en la sustentación de un perfil aerodinámico". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 118 (779): 113-119. Código Bib : 1928RSPSA.118..113G. doi : 10.1098/rspa.1928.0039 . ISSN  1364-5021.
• Kuethe, Arnold Martín; Chow, Chuen-Yen (1976). Fundamentos de la aerodinámica: bases del diseño aerodinámico . Wiley. ISBN 978-0-471-50953-0.
• Meier, H.-U. (2005), "Die Entwicklung des Pfeilflügels, eine technische Herausforderung" [La evolución del ala en flecha, un desafío técnico] (PDF) , conferencia en memoria de Ludwig Prandtl, GAMM 2005, 28 de marzo - 1 de abril de 2005 (en alemán), Universidad de Luxemburgo
• Shapiro, Ascher H. (1953). La dinámica y termodinámica del flujo de fluido compresible. vol. 1. Wiley. ISBN 9780471066910.
• Truckenbrodt, Erich (1996). Fluidmechanik [ Mecánica de fluidos ] (en alemán). vol. 2 (4ª ed.). Springer Verlag.