Teoría de la línea de elevación

Modelo matemático para cuantificar la sustentación

La teoría de la línea de sustentación de Lanchester-Prandtl ^[1] es un modelo matemático en aerodinámica que predice la distribución de la sustentación sobre un ala tridimensional a partir de la geometría del ala . ^[2] La teoría fue expresada de forma independiente ^[3] por Frederick W. Lanchester en 1907, ^[4] y por Ludwig Prandtl en 1918-1919 ^[5] después de trabajar con Albert Betz y Max Munk . En este modelo, el vórtice ligado al ala se desarrolla a lo largo de toda la envergadura porque se desprende como una lámina de vórtices desde el borde de salida, en lugar de solo como un único vórtice desde las puntas de las alas. ^{[6] [7]}

Introducción

Los perfiles aerodinámicos en dos dimensiones son más fáciles de entender, pero no se corresponden directamente con alas finitas tridimensionales.

Es difícil predecir analíticamente la cantidad total de sustentación que generará un ala de geometría dada. Al analizar un ala finita tridimensional , un enfoque tradicional corta el ala en secciones transversales y analiza cada sección transversal de forma independiente como un ala en un mundo bidimensional. Cada una de estas secciones se denomina perfil aerodinámico y es más fácil comprender un perfil aerodinámico que un ala tridimensional completa.

Se podría pensar que para comprender el ala completa basta con sumar las fuerzas calculadas independientemente de cada segmento del perfil aerodinámico. Sin embargo, esta aproximación es totalmente incorrecta: en un ala real, la sustentación de cada sección infinitesimal del ala se ve fuertemente afectada por el flujo de aire sobre las secciones del ala vecinas. La teoría de las líneas de sustentación corrige algunos de los errores del enfoque bidimensional ingenuo al incluir algunas interacciones entre las secciones del ala.

• 
  Una distribución de sustentación poco realista que no tiene en cuenta los efectos tridimensionales
• 
  Distribución de sustentación observada en un ala trapezoidal (finita)

Principio y derivación

La teoría de la línea de sustentación supone alas largas y delgadas con fuselaje despreciable , similar a una barra delgada (la epónima "línea de sustentación") de envergadura  2 s impulsada a través del fluido. Del teorema de Kutta-Joukowski , la sustentación  L ( y ) en un segmento bidimensional del ala a una distancia  y del fuselaje es proporcional a la circulación  Γ( y ) alrededor de la barra en y . Cuando la aeronave está estacionaria en el suelo, estas circulaciones son todas iguales, pero cuando la aeronave está en movimiento, varían con y . Por los teoremas de Helmholtz , la generación de circulación que varía espacialmente debe corresponder al desprendimiento de un filamento de vórtice de igual fuerza aguas abajo del ala . ^[8]

• 
  La distribución de sustentación sobre un ala se puede modelar con el concepto de circulación.
• 
  Se genera un vórtice aguas abajo por cada cambio en la sustentación a lo largo del tramo.

En la teoría de la línea de sustentación, se supone que la línea de vórtice resultante permanece ligada al ala , de modo que cambia el ángulo vertical efectivo del aire de corriente libre entrante .

• 
  El vórtice de cobertizo se puede modelar como una distribución de velocidad vertical.
• 
  La corriente ascendente y descendente inducida por el vórtice desprendido se puede calcular en cada segmento vecino.

El movimiento vertical inducido por una línea de vórtice de fuerza  γ en el aire a una distancia  r es γ ⁄ 4π r , de modo que todo el sistema de vórtices induce un movimiento vertical de corriente libre en la posición  y de donde la integral se entiende en el sentido de un valor principal de Cauchy . Este flujo cambia el ángulo de ataque efectivo en y ; si se entiende la respuesta de circulación de los perfiles aerodinámicos que componen el ala en un rango de ángulos de ataque, entonces se puede desarrollar una ecuación integral para determinar Γ( y ) . ^[9] $${\displaystyle w(y)=\int _{-s}^{s}{\frac {d\Gamma ({\tilde {y}})}{4\pi (y-{\tilde {y}})}},}$$

Formalmente, existe un cierto ángulo de orientación tal que el perfil aerodinámico en la posición  y no desarrolla sustentación. Para corrientes de aire de velocidad  V orientadas en un ángulo α en relación con el ángulo sin sustentación, el perfil aerodinámico desarrollará cierta circulación V ⋅ C ( y ,α) ; para α pequeño , la expansión de Taylor aproxima esa circulación como V ⋅ ∂ C ⁄ ∂α ( y ,0)⋅α . Si el perfil aerodinámico es ideal y tiene cuerda c ( y ) , entonces la teoría predice que, pero los perfiles aerodinámicos reales pueden ser menos eficientes. ^{[10] [11]} $${\displaystyle C(y,\alpha )=2\pi c(y)\sin(\alpha ){\text{,}}}$$

Supongamos que el flujo de corriente libre ataca el perfil aerodinámico en la posición  y con un ángulo α( y ) (en relación con el ángulo sin sustentación del perfil aerodinámico en la posición y  ; por lo tanto, un flujo uniforme a través de un ala puede tener α( y ) variable ). Por la aproximación de ángulo pequeño , el ángulo de ataque efectivo en y del sistema combinado de corriente libre y vórtice es α( y )+ w ( y ) ⁄ V . Combinando las fórmulas anteriores,

Todas las cantidades en esta ecuación excepto V y Γ son propiedades geométricas del ala, y por lo tanto un ingeniero puede (en principio) resolver Γ( y ) dado un V fijo . Como en la derivación de la teoría de perfil aerodinámico delgado , un enfoque común es expandir Γ como una serie de Fourier a lo largo del ala, y luego mantener solo los primeros términos. ^{[12] [13] [14]}

Una vez que se conocen la velocidad V , la circulación Γ y la densidad del fluido  ρ , se supone que la sustentación generada por el ala es la sustentación neta producida por cada perfil aerodinámico con la circulación prescrita... ...y la resistencia es asimismo la suma total entre perfiles aerodinámicos: A partir de estas cantidades y la relación de aspecto A‍R , se puede calcular el factor de eficiencia de envergadura . ^{[15] [16] [11]} $${\displaystyle L=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\,dy}}$$ $${\displaystyle D=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\alpha (y)\,dy}{\text{.}}}$$ $${\displaystyle e={\frac {1}{\pi \mathrm {A\!R} }}\cdot {\frac {L^{2}}{\rho VD}}}$$

Efectos de las entradas de control

La deflexión de la superficie de control cambia la forma de cada corte del perfil aerodinámico, lo que puede producir un ángulo de no sustentación diferente para ese perfil aerodinámico, así como una respuesta de ángulo de ataque diferente. Estos no requieren una modificación sustancial de la teoría, solo cambiando ∂ _α C ( y ,0) y α( y ) en ( 1 ). Sin embargo, un cuerpo con alas que se mueven rápidamente, como un avión que rueda o un pájaro que aletea, experimenta un flujo vertical a través del ala debido al cambio de orientación del ala, que aparece como un término faltante en la teoría.

Alas rodantes

Cuando el avión gira a una velocidad p sobre el fuselaje, un perfil aerodinámico en la posición ( con signo ) y experimenta un flujo de aire vertical a una velocidad py , que en consecuencia añade py ⁄ V al ángulo de ataque efectivo. Por lo tanto, ( 1 ) se convierte en: que modifica en consecuencia tanto la sustentación como la resistencia inducida. ^[17] Esta "fuerza de resistencia" comprende la producción principal de empuje para las alas batientes. ^[17] $${\displaystyle \Gamma (y)=\partial _{\alpha }C(y,0)\left(V\alpha (y)+py+{\frac {1}{4\pi }}\int _{-s}^{s}{\frac {\Gamma '({\tilde {y}})\,dy}{y-{\tilde {y}}}}\right){\text{,}}}$$

Alas elípticas

La eficiencia e se optimiza teóricamente en un ala elíptica sin torsión, en la que θ es una parametrización alternativa de la posición a lo largo del ala. Para un ala de este tipo, que produce la ecuación para el coeficiente de arrastre inducido elíptico: Según la teoría de la línea de sustentación, cualquier forma de planta del ala puede lograr la misma eficiencia a través de la torsión (un aumento de la inclinación que varía con la posición ) en relación con el fuselaje. ^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=s\cos \theta \\c(y)&=\mathrm {A\!R} \,s\sin \theta {\text{,}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle e=1{\text{,}}}$$ $${\displaystyle C_{D_{induced}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}}$$

Aproximaciones útiles

Una aproximación útil para el coeficiente de sustentación 3D para la distribución de circulación elíptica ^{[ cita requerida ]} es Nótese que esta ecuación se convierte en la ecuación del perfil aerodinámico delgado si AR tiende al infinito. ^{[18] [ verificación fallida ]} $${\displaystyle \ C_{L}=\partial _{\alpha }C(0,0)\left(1+{\frac {2}{\mathrm {A\!R} }}\right)^{-1}\alpha }$$

Limitaciones

La teoría de las líneas de sustentación no tiene en cuenta la compresión del aire por las alas, el flujo viscoso dentro de la capa límite del fuselaje ni las formas de las alas que no sean largas, rectas y delgadas, como las alas en flecha o de baja relación de aspecto . La teoría también presupone que el flujo alrededor de las alas está en equilibrio y no tiene en cuenta los cuerpos que se aceleran rápidamente en relación con el aire de la corriente libre.

Véase también

• Vórtice de herradura
• Condición de Kutta
• Teoría de los perfiles aerodinámicos delgados
• Método de red de vórtices
• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)

Notas

1. Anderson, John D. (2001), Fundamentos de aerodinámica , pág. 360. McGraw-Hill, Boston. ISBN  0-07-237335-0 .
2. Houghton, EL; Carpenter, PW (2003). Butterworth Heinmann (ed.). Aerodinámica para estudiantes de ingeniería (5.ª ed.). ISBN 0-7506-5111-3.
3. von Kármán, Theodore (2004) [1954]. Aerodinámica: temas seleccionados a la luz de su desarrollo histórico . Dover. ISBN 0-486-43485-0.
4. Lanchester, Frederick W. (1907). Constable (ed.). Aerodinámica.
5. Prandtl, Ludwig (1918). Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (ed.). Teoría de la tragflügel .
6. Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E., Teoría de las secciones del ala , Sección 1.4.
7. Clancy, LJ, Aerodinámica , Sección 8.11.
8. Batchelor, G. K. (1993) [1967]. Introducción a la dinámica de fluidos (3.ª edición india reimpresa). Nueva Delhi: Cambridge University Press (publicado en 2014). pp. 580–585. ISBN 978-81-85618-24-1.
9. Batchelor 1993, pág. 585-586.
10. Acheson, D. J. (1990). Dinámica de fluidos elemental . Oxford Applied Mathematics and Computing Science. Oxford: Clarendon Press (publicado en 2009). págs. 134-136, 138.
11. Auld, Douglass; Srinivas (1995). "Teoría de la línea de sustentación en 3-D". Aerodinámica para estudiantes. Universidad de Sydney.
12. Batchelor 1993, pág. 586-587.
13. Phillips, Warren; Alley, Nicholas; Goodrich, Wayne (23 de junio de 2003), "Análisis de la línea de sustentación del control de balanceo y torsión variable", 21.ª Conferencia de aerodinámica aplicada de la AIAA , Dinámica de fluidos y conferencias en el mismo lugar, Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, doi : 10.2514/6.2003-4061, ISBN 978-1-62410-092-5, consultado el 2 de diciembre de 2020
14. Phillips, WF (1 de enero de 2004). "Análisis de la línea de sustentación para alas torcidas y alas optimizadas para derribo". Journal of Aircraft . 41 (1): 128–136. doi :10.2514/1.262.
15. Abbott, Ira H., y Von Doenhoff, Albert E., Teoría de las secciones del ala , Sección 1.3
16. Clancy, LJ, Aerodinámica , Ecuación 5.7
17. Phillips, WF (28 de febrero de 2014). "Descomposición analítica del balanceo y aleteo de las alas utilizando la teoría de líneas de sustentación". Journal of Aircraft . 51 (3): 761–778. doi :10.2514/1.C032399.
18. Scott, Jeff (10 de agosto de 2003). "Pregunta nº 136: Coeficiente de sustentación y teoría de perfil aerodinámico delgado". Pregúntele a un científico de cohetes: Aerodinámica. Aerospaceweb.org.

Referencias

• L. J. Clancy (1975), Aerodinámica , Pitman Publishing Limited, Londres. ISBN 0-273-01120-0 
• Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E. (1959), Theory of Wing Sections , Dover Publications Inc., Nueva York. Número de libro estándar 486-60586-8