En geometría de 4 dimensiones o más, un proprisma es un politopo resultante del producto cartesiano de dos o más politopos, cada uno de dos dimensiones o más. El término fue acuñado por John Horton Conway para referirse al prisma producto . La dimensión del espacio de un proprisma es igual a la suma de las dimensiones de todos sus elementos producto. Los proprismas suelen considerarse como elementos de k -caras de politopos uniformes . [1]
El número de vértices de un proprisma es igual al producto del número de vértices de todos los politopos del producto.
El orden de simetría mínimo de un proprisma es el producto de los órdenes de simetría de todos los politopos. Es posible un orden de simetría mayor si los politopos del producto son idénticos.
Un proprismo es convexo si todos sus politopos productos son convexos.
Un f-vector es un número de elementos de k -caras en un politopo desde k = 0 (puntos) hasta k = n -1 (facetas). Un f-vector extendido también puede incluir k = -1 (nulítopo) o k = n (cuerpo). Los productos prismáticos incluyen el elemento cuerpo. (Los productos duales a prismáticos incluyen el nulítopo, mientras que los productos piramidales incluyen ambos).
El vector f del producto prismático, A×B, se puede calcular como (f A , 1 )*(f B , 1 ), como los coeficientes polinomiales de multiplicación de polinomios .
Por ejemplo, para el producto de un triángulo, f = (3,3), y dion, f = (2) forma un prisma triangular con 6 vértices, 9 aristas y 5 caras:
Los f-vectores de hipercubos se pueden calcular como productos cartesianos de n diones, { } n . Cada { } tiene f=(2), extendida a f=(2, 1 ).
Por ejemplo, un 8-cubo tendrá un producto de potencia f-vectorial extendido: f=(2, 1 ) 8 = (4,4, 1 ) 4 = (16,32,24,8, 1 ) 2 = (256,1024,1792,1792,1120,448,112,16, 1 ). Si las longitudes son iguales, esta duplicación representa { } 8 , un tetraprisma cuadrado {4} 4 , un duoprisma teseracto {4,3,3} 2 y un 8-cubo regular {4,3,3,3,3,3,3}.
En geometría de 4 dimensiones o más, un duoprisma es un politopo resultante del producto cartesiano de dos politopos, cada uno de dos dimensiones o más. El producto cartesiano de un politopo a y un politopo b es un politopo (a+b) , donde a y b son 2-politopos ( polígono ) o más.
Lo más común es que se refiera al producto de dos polígonos de cuatro dimensiones. En el contexto de un producto de polígonos, el trabajo de Henry P. Manning de 1910 que explica la cuarta dimensión los denominó prismas dobles . [2]
El producto cartesiano de dos polígonos es el conjunto de puntos:
donde P 1 y P 2 son los conjuntos de los puntos contenidos en los respectivos polígonos.
El más pequeño es un duoprisma 3-3 , formado como producto de 2 triángulos. Si los triángulos son regulares, se puede escribir como un producto de símbolos de Schläfli , {3} × {3}, y está compuesto por 9 vértices.
El teseracto se puede construir como el duoprisma {4} × {4}, producto de dos cuadrados ortogonales de igual tamaño , compuestos por 16 vértices. El 5-cubo se puede construir como un duoprisma {4} × {4,3}, producto de un cuadrado y un cubo, mientras que el 6-cubo se puede construir como el producto de dos cubos, {4,3} × {4,3}.
En geometría de 6 dimensiones o más, un producto triple es un politopo resultante del producto cartesiano de tres politopos, cada uno de dos dimensiones o más. El producto cartesiano de un politopo a , un politopo b y un politopo c es un politopo ( a + b + c ), donde a , b y c son 2-politopos ( polígono ) o más.
Las formas de menor dimensión son los 6-politopos, que son el producto cartesiano de tres polígonos . El más pequeño se puede escribir como {3} × {3} × {3} en símbolos de Schläfli si son regulares y contienen 27 vértices. Este es el producto de tres triángulos equiláteros y es un politopo uniforme . Los f-vectores se pueden calcular mediante (3,3, 1 ) 3 = (27,81,108,81,36,9, 1 ).
El cubo de 6 puede construirse como un producto triple {4} × {4} × {4}. Los vectores f pueden calcularse mediante (4,4, 1 ) 3 = (64,192,240,160,60,12, 1 ).
