Función elemental

función matemática

En matemáticas , una función elemental es una función de una sola variable (típicamente real o compleja ) que se define como la suma , producto , raíz y composición de un número finito de funciones polinómicas , racionales , trigonométricas , hiperbólicas y exponenciales , incluida posiblemente su inversa . funciones (p. ej., arcsin , log o x ^{1/ n} ). ^[1]

Todas las funciones elementales son continuas en sus dominios .

Las funciones elementales fueron introducidas por Joseph Liouville en una serie de artículos de 1833 a 1841. ^{[2] [3] [4]} Joseph Fels Ritt inició un tratamiento algebraico de las funciones elementales en la década de 1930. ^[5]

Ejemplos

Ejemplos básicos

Las funciones elementales de una sola variable x incluyen:

• Funciones constantes : etc. ${\displaystyle 2,\ \pi ,\ e,}$
• Potencias racionales de x : etc. ${\displaystyle x,\ x^{2},\ {\sqrt {x}}\ (x^{\frac {1}{2}}),\ x^{\frac {2}{3}},}$
• Funciones exponenciales : ${\displaystyle e^{x},\ a^{x}}$
• Logaritmos : ${\displaystyle \log x,\ \log _{a}x}$
• Funciones trigonométricas : etc. ${\displaystyle \sin x,\ \cos x,\ \tan x,}$
• Funciones trigonométricas inversas : etc. ${\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,}$
• Funciones hiperbólicas : etc. ${\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}$
• Funciones hiperbólicas inversas : etc. ${\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,}$
• Todas las funciones obtenidas sumando, restando, multiplicando o dividiendo un número finito de cualquiera de las funciones anteriores ^[6]
• Todas las funciones obtenidas por extracción de raíces de un polinomio con coeficientes en funciones elementales ^[7]
• Todas las funciones obtenidas al componer un número finito de cualquiera de las funciones enumeradas anteriormente.

Ciertas funciones elementales de una única variable compleja z , como y , pueden tener varios valores . Además, otras pueden obtener ciertas clases de funciones utilizando las dos últimas reglas. Por ejemplo, la función exponencial compuesta con suma, resta y división proporciona las funciones hiperbólicas, mientras que la composición inicial con proporciona las funciones trigonométricas. ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle z^{i}}$

Ejemplos compuestos

Ejemplos de funciones elementales incluyen:

• Suma, por ejemplo ( x +1)
• Multiplicación, por ejemplo (2 x )
• Funciones polinómicas
• ${\displaystyle {\frac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\log x)^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle -i\log \left(x+i{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$

La última función es igual al coseno inverso en todo el plano complejo . ${\displaystyle \arccos x}$

Todos los monomios , polinomios , funciones racionales y funciones algebraicas son elementales. La función de valor absoluto , de verdad , también es elemental ya que puede expresarse como la composición de una potencia y raíz de :. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

Funciones no elementales

Algunos ejemplos de funciones que no son elementales:

• tetración
• la función gamma
• funciones liouvillianas no elementales , incluidas
  • las integrales exponencial ( Ei ), integral logarítmica ( Li o li ) y de Fresnel ( S y C ).
  • la función de error , un hecho que puede no ser inmediatamente obvio, pero que puede probarse utilizando el algoritmo de Risch . ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}$
• otras integrales no elementales , incluidas la integral de Dirichlet y la integral elíptica .

Cierre

De la definición se deduce directamente que el conjunto de funciones elementales está cerrado bajo operaciones aritméticas, extracción de raíces y composición. Las funciones elementales están cerradas bajo diferenciación . No están cerrados bajo límites y sumas infinitas . Es importante destacar que las funciones elementales no son cerradas bajo integración , como lo muestra el teorema de Liouville , véase Integral no elemental . Las funciones de Liouvillian se definen como las funciones elementales y, recursivamente, las integrales de las funciones de Liouvillian.

Álgebra diferencial

La definición matemática de una función elemental , o de una función en forma elemental, se considera en el contexto del álgebra diferencial . Un álgebra diferencial es un álgebra con la operación adicional de derivación (versión algebraica de diferenciación). Usando la operación de derivación se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones usarse en extensiones del álgebra. Comenzando con el campo de funciones racionales , se pueden agregar dos tipos especiales de extensiones trascendentales (el logaritmo y la exponencial) al campo construyendo una torre que contiene funciones elementales.

Un campo diferencial F es un campo F ₀ (funciones racionales sobre los racionales Q, por ejemplo) junto con un mapa de derivación u  → ∂ u . (Aquí ∂ u es una función nueva. A veces se utiliza la notación u ′.) La derivación captura las propiedades de diferenciación, de modo que para dos elementos cualesquiera del campo base, la derivación es lineal

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$

y satisface la regla del producto de Leibniz

${\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v\,.}$

Un elemento h es una constante si ∂h = 0 . Si el campo base está sobre los racionales, se debe tener cuidado al extender el campo para agregar las constantes trascendentales necesarias.

Una función u de una extensión diferencial F [ u ] de un campo diferencial F es una función elemental sobre F si la función u

• es algebraico sobre F , o
• es exponencial , es decir, ∂ u = u ∂ a para a ∈ F , o
• es un logaritmo , es decir, ∂ u = ∂ a  / a para a ∈ F .

(ver también el teorema de Liouville )

Ver también

• Función algebraica  – Función matemática
• Expresión en forma cerrada  : fórmula matemática que involucra un conjunto dado de operaciones.
• Teoría diferencial de Galois  - Estudio de grupos de simetría de campos diferenciales de Galois
• Aritmética de funciones elementales  - Sistema de aritmética en la teoría de la prueba
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial)  : dice cuándo las antiderivadas de funciones elementales se pueden expresar como funciones elementales.
• Problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski  - Problema matemático
• Función trascendental  : función analítica que no satisface una ecuación polinómica
• Fórmula autorreferencial de Tupper  : fórmula que se representa visualmente a sí misma cuando se representa gráficamente

Notas

1. Spivak, Michael. (1994). Cálculo (3ª ed.). Houston, Texas: Publicar o perecer. pag. 359.ISBN​ 0914098896. OCLC  31441929.
2. Liouville 1833a.
3. Liouville 1833b.
4. Liouville 1833c.
5. Ritt 1950.
6. Ecuaciones diferenciales ordinarias . Dover. 1985. pág. 17.ISBN​ 0-486-64940-7.
7. Weisstein, Eric W. "Función elemental". De MathWorld

Referencias

• Liouville, José (1833a). "Premier mémoire sur la determinación des integrales dont la valeur est algébrique". Revista de la Escuela Politécnica . tomo XIV: 124-148.
• Liouville, José (1833b). "Segunda memoria sobre la determinación de los integrales dont la valeur est algébrique". Revista de la Escuela Politécnica . tomo XIV: 149-193.
• Liouville, José (1833c). "Note sur la determinación des integrales dont la valeur est algébrique". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347–359.
• Ritt, José (1950). Álgebra diferencial. AMS .
• Rosenlicht, Maxwell (1972). "Integración en términos finitos". Mensual Matemático Estadounidense . 79 (9): 963–972. doi :10.2307/2318066. JSTOR  2318066.

Otras lecturas

• Davenport, James H. (2007). "¿Qué podría significar" comprender una función "?". Hacia Asistentes Matemáticos Mecanizados . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 4573, págs. 55–65. doi :10.1007/978-3-540-73086-6_5. ISBN 978-3-540-73083-5. S2CID  8049737.

enlaces externos

• Funciones elementales en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Función elemental". MundoMatemático .