Lema de Euclides

En álgebra y teoría de números , el lema de Euclides es un lema que captura una propiedad fundamental de los números primos , a saber: ^{[nota 1]}

Lema de Euclides : si un primo $p$ divide el producto $ab$ de dos enteros $a$ y $b$ , entonces $p$ debe dividir al menos uno de esos enteros $a$ o $b$ .

Por ejemplo, si $p = 19$ , $a = 133$ , $b = 143$ , entonces $ab = 133 \times 143 = 19019$ , y dado que esto es divisible por 19, el lema implica que uno o ambos de 133 o 143 también deben serlo. De hecho, $133 = 19 \times 7$ .

Si la premisa del lema no se cumple, es decir, $p$ es un número compuesto , su consecuente puede ser verdadero o falso. Por ejemplo, en el caso de $p = 10$ , $a = 4$ , $b = 15$ , el número compuesto 10 divide $ab = 4 \times 15 = 60$ , pero 10 no divide ni a 4 ni a 15.

Esta propiedad es la clave en la demostración del teorema fundamental de la aritmética . ^{[nota 2]} Se utiliza para definir elementos primos , una generalización de números primos a anillos conmutativos arbitrarios . El Lema de Euclides muestra que en los números enteros los elementos irreducibles también son elementos primos. La prueba utiliza inducción por lo que no se aplica a todos los dominios integrales .

Formulaciones

El lema de Euclides se utiliza comúnmente en la siguiente forma equivalente:

Teorema : si es un número primo que divide al producto y no divide, entonces divide $p$ $ab$ $a,$ $b.$

El lema de Euclides se puede generalizar de la siguiente manera desde números primos hasta cualquier número entero.

Teorema : si un número entero $n$ divide el producto $ab$ de dos números enteros y es coprimo con $a$ , entonces $n$ divide $b$ .

Esta es una generalización porque un número primo $p$ es coprimo con un número entero $a$ si y sólo si $p$ no divide $a a$ .

Historia

El lema aparece por primera vez como proposición 30 en el Libro VII de los Elementos de Euclides . Está incluido en prácticamente todos los libros que cubren la teoría elemental de números. ^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

La generalización del lema a números enteros apareció en el libro de texto Nouveaux Elémens de Mathématiques de Jean Prestet en 1681. ^[9]

En el tratado Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss , el enunciado del lema es la Proposición 14 de Euclides (Sección 2), que utiliza para demostrar la unicidad del producto de descomposición de factores primos de un número entero (Teorema 16), admitiendo la existencia como "obvio". De esta existencia y unicidad deduce luego la generalización de los números primos a números enteros. ^[10] Por esta razón, la generalización del lema de Euclides a veces se denomina lema de Gauss, pero algunos creen que este uso es incorrecto ^[11] debido a la confusión con el lema de Gauss sobre residuos cuadráticos .

Pruebas

Las dos primeras subsecciones son pruebas de la versión generalizada del lema de Euclides, a saber, que: si $n$ divide $a ab$ y es coprimo con $a,$ entonces divide $a b$ .

El lema original de Euclides se sigue inmediatamente, ya que, si $n$ es primo, entonces divide $a$ o no divide $a,$ en cuyo caso es coprimo con $a$ , por lo que, según la versión generalizada, divide a $b$ .

Usando la identidad de Bézout

En las matemáticas modernas, una prueba común implica la identidad de Bézout , que era desconocida en la época de Euclides. ^[12] La identidad de Bézout establece que si $x$ e $y$ son números enteros coprimos (es decir, no comparten divisores comunes distintos de 1 y −1), existen números enteros $r$ y $s$ tales que

rx+sy=1.

Sean $a$ y $n$ coprimos y supongamos que $n | ab$ . Por la identidad de Bézout, existen $r$ y $s$ tales que

rn+sa=1.

Multiplica ambos lados por $b$ :

rnb+sab=b.

El primer término de la izquierda es divisible por $n$ , y el segundo término es divisible por $ab$ , que por hipótesis es divisible por $n$ . Por tanto su suma, $b$ , también es divisible por $n$ .

Por inducción

La siguiente prueba está inspirada en la versión de Euclides del algoritmo euclidiano , que procede utilizando únicamente restas.

Supongamos que y que $n$ y $a$ son coprimos (es decir, su máximo común divisor es $1$ ). Hay que demostrar que $n$ divide $a b$ . Dado que existe un número entero $q$ tal que Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que $n$ , $q$ , $a$ y $b$ son positivos, ya que la relación de divisibilidad es independiente de los signos de los números enteros involucrados. $n\mid ab$ $n\mid ab,$ $nq=ab.$

Para probar esto por inducción fuerte , suponemos que el resultado ha sido probado para todos los valores positivos inferiores de $ab$ .

Hay tres casos:

Si $n = a$ , la coprimalidad implica $n = 1$ , y $n$ divide $a b$ trivialmente.

Si $n < a$ , se tiene

n(qb)=(an)b.

Los números enteros positivos $a - n$ y $n$ son coprimos: su máximo común divisor $d$ debe dividir su suma y, por lo tanto, divide tanto $a n$ como $a$ . Resulta que $d = 1$ , por la hipótesis de coprimalidad. Entonces, la conclusión se deriva de la hipótesis de inducción, ya que $0 < (a - n) b < ab$ .

De manera similar, si $n > a$ uno tiene

(na)q=a(bq),

y el mismo argumento muestra que $n - a$ y $a$ son coprimos. Por lo tanto, se tiene $0 < a (b - q) < ab$ , y la hipótesis de inducción implica que $n - a$ divide $b - q$ ; es decir, para algún número entero. Entonces, y, al dividir por $n$ $-$ $a$ , se tiene Por lo tanto, y al dividir por $a$ , se obtiene el resultado deseado. $bq=r(na)$ $(na)q=ar(na),$ $q=ar.$ $ab=nq=anr,$ $b=nr,$

Prueba de elementos

El lema de Euclides se demuestra en la Proposición 30 del Libro VII de los Elementos de Euclides . La prueba original es difícil de entender tal como está, por lo que citamos el comentario de Euclides (1956, págs. 319-332).

Proposición 19: Si cuatro números son proporcionales, el número resultante del primero y del cuarto es igual al número resultante del segundo y del tercero; y si el número producido por el primero y el cuarto es igual al producido por el segundo y el tercero, los cuatro números son proporcionales. ^{[nota 3]}
Proposición 20: El menor número de aquellos que tienen la misma proporción con ellos mide a aquellos que tienen la misma proporción el mismo número de veces: cuanto mayor es mayor y cuanto menor es menor. ^{[nota 4]}
Proposición 21: Los números primos entre sí son los menores de aquellos que tienen la misma proporción con ellos. ^{[nota 5]}
Proposición 29: Cualquier número primo es primo respecto de cualquier número que no mida. ^{[nota 6]}
Proposición 30: Si dos números, al multiplicarse entre sí, dan el mismo número, y cualquier número primo mide el producto, también mide uno de los números originales. ^{[nota 7]}
Prueba de 30: Si c , un número primo, mide ab , c mide a o b .
Supongamos que c no mide a .
Por lo tanto c , a son primos entre sí.［VII. 29］
Supongamos que ab = mc .
Por lo tanto c : a＝b : m . ［VII. 19］
Por lo tanto, ［VII. 20, 21］b＝nc , donde n es un número entero.
Por lo tanto c mide b .
De manera similar, si c no mide b , c mide a .
Por lo tanto c mide uno u otro de los dos números a , b .
QED ^[18]

Ver también

Notas a pie de página

Notas

^ También se le llama primer teorema de Euclides ^[1]^[2] aunque ese nombre pertenece más propiamente a la condición lado-ángulo-lado para demostrar que los triángulos son congruentes . ^[3]
^ En general, para demostrar que un dominio es un dominio de factorización único , basta con probar el lema de Euclides y la condición de la cadena ascendente sobre ideales principales (ACCP)
^ Si a：b＝c：d , entonces ad＝bc ; y por el contrario. ^[13]
^ Si a：b＝c：d y a , b son los números menores entre los que tienen la misma proporción, entonces c＝na , d＝nb , donde n es un número entero. ^[14]
^ Si a：b＝c：d y a , b son primos entre sí, entonces a , b son los números menores entre aquellos que tienen la misma proporción. ^[15]
^ Si a es primo y no mide b , entonces a , b son primos entre sí. ^[dieciséis]
^ Si c , un número primo, mide ab , c mide a o b . ^[17]

Citas

^ Bajnok 2013, Teorema 14.5
^ Joyner, Kreminski y Turisco 2004, Proposición 1.5.8, p. 25
^ Martín 2012, pag. 125
^ Gauss 2001, pag. 14
^ Hardy, Wright y Wiles 2008, Teorema 3
^ Irlanda y Rosen 2010, Proposición 1.1.1
^ Landau 1999, Teorema 15
^ Riesel 1994, Teorema A2.1
^ Euclides 1994, págs. 338–339
^ Gauss 2001, artículo 19
^ Weisstein, Eric W. "Lema de Euclides". MundoMatemático .
^ Hardy, Wright y Wiles 2008, §2.10
^ Euclides 1956, pag. 319
^ Euclides 1956, pag. 321
^ Euclides 1956, pag. 323
^ Euclides 1956, pag. 331
^ Euclides 1956, pag. 332
^ Euclides 1956, págs. 331-332

Referencias

Bajnok, Béla (2013), Una invitación a las matemáticas abstractas, Textos de pregrado en matemáticas , Springer, ISBN 978-1-4614-6636-9.
Euclides (1956), Los trece libros de los elementos , vol. 2 (Libros III-IX), traducido por Heath, Thomas Little , Dover Publications, ISBN 978-0-486-60089-5- vol. 2
Euclid (1994), Les Éléments, traducción, comentarios y notas (en francés), vol. 2, traducido por Vitrac, Bernard, págs. 338–339, ISBN 2-13-045568-9
Gauss, Carl Friedrich (2001), Disquisitiones Arithmeticae , traducido por Clarke, Arthur A. (Segunda edición corregida), New Haven, CT: Yale University Press, ISBN 978-0-300-09473-2
Gauss, Carl Friedrich (1981), Untersuchungen uber hohere Arithmetik [ Investigaciones sobre aritmética superior ], traducido por Maser, H. (Segunda ed.), Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0191-3
Hardy, GH ; Wright, EM ; Wiles, AJ (15 de septiembre de 2008), Introducción a la teoría de los números (6.ª ed.), Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-921986-5
Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (2010), Una introducción clásica a la teoría de números moderna (Segunda ed.), Nueva York: Springer , ISBN 978-1-4419-3094-1
Joyner, David; Kreminski, Richard; Turisco, Joann (2004), Álgebra abstracta aplicada, JHU Press, ISBN 978-0-8018-7822-0.
Landau, Edmund (1999), Teoría elemental de números , traducido por Goodman, JE (2.ª ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-821-82004-9
Martin, GE (2012), Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano, Textos de pregrado en matemáticas, Springer, ISBN 978-1-4612-5725-7.
Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos de factorización (2ª ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9.

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "El lema de Euclides". MundoMatemático .