Solución de triángulos

Problema de encontrar longitudes y ángulos desconocidos de un triángulo.

Solución de triángulos ( latín : solutio triangulorum ) es el principal problema trigonométrico de encontrar las características de un triángulo (ángulos y longitudes de los lados), cuando algunas de estas son conocidas. El triángulo puede ubicarse sobre un plano o sobre una esfera . Las aplicaciones que requieren soluciones triangulares incluyen geodesia , astronomía , construcción y navegación .

Resolver triángulos planos

Notación estándar para un triángulo

Un triángulo de forma general tiene seis características principales (ver imagen): tres lineales (longitudes de los lados a, b, c ) y tres angulares ( α, β, γ ). El problema de trigonometría plana clásica consiste en especificar tres de las seis características y determinar las otras tres. Un triángulo se puede determinar de forma única en este sentido cuando se da cualquiera de las siguientes condiciones: ^{[1] [2]}

• Tres lados ( SSS )
• Dos lados y el ángulo incluido ( SAS , lado-ángulo-lado)
• Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos ( SSA ), si la longitud del lado adyacente al ángulo es menor que la longitud del otro lado.
• Un lado y los dos ángulos adyacentes a él ( ASA )
• Un lado, el ángulo opuesto a él y un ángulo adyacente a él ( AAS ).

Para todos los casos en el plano, se debe especificar al menos una de las longitudes de los lados. Si sólo se dan los ángulos, no se pueden determinar las longitudes de los lados, porque cualquier triángulo semejante es una solución.

Relaciones trigonómicas

Descripción general de pasos y herramientas particulares utilizados al resolver triángulos planos

El método estándar para resolver el problema es utilizar relaciones fundamentales.

Ley de cosenos

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \\b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}$$

ley de los senos

$${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$$

suma de angulos

$${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$$

ley de las tangentes

$${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}$$

Existen otras relaciones universales (a veces prácticamente útiles): la ley de las cotangentes y la fórmula de Mollweide .

Notas

1. Para encontrar un ángulo desconocido, la ley de los cosenos es más segura que la ley de los senos . La razón es que el valor del seno del ángulo del triángulo no determina de forma única este ángulo. Por ejemplo, si sen β = 0,5 , el ángulo β puede ser igual a 30° o 150°. Este problema se evita utilizando la ley de los cosenos: en el intervalo de 0° a 180° el valor del coseno determina inequívocamente su ángulo. Por otro lado, si el ángulo es pequeño (o cercano a 180°), entonces es más robusto numéricamente determinarlo a partir de su seno que de su coseno porque la función arco-coseno tiene una derivada divergente en 1 (o −1). .
2. Suponemos que se conoce la posición relativa de características específicas. Si no, el reflejo especular del triángulo también será una solución. Por ejemplo, las longitudes de tres lados definen de forma única un triángulo o su reflejo.

Tres lados dados (SSS)

Tres lados dados

Sean especificadas las longitudes de tres lados a, b, c . Para encontrar los ángulos α, β , se puede utilizar la ley de los cosenos : ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}$$

Entonces el ángulo γ = 180° − α − β .

Algunas fuentes recomiendan encontrar el ángulo β a partir de la ley de los senos pero (como indica la Nota 1 anterior) existe el riesgo de confundir el valor de un ángulo agudo con uno obtuso.

Otro método para calcular los ángulos a partir de lados conocidos es aplicar la ley de las cotangentes .

Dos lados y el ángulo incluido dado (SAS)

Dos lados y el ángulo incluido dado

Aquí se conocen las longitudes de los lados a, by el ángulo γ entre estos lados. El tercer lado se puede determinar a partir de la ley de los cosenos: ^[4]

$${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$$

$${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$$

β = 180° − α − γ

Dos lados y un ángulo no incluido (SSA)

Se dan dos lados y un ángulo no incluido

Dos soluciones para el triángulo.

Este caso no tiene solución en todos los casos; Se garantiza que una solución será única sólo si la longitud del lado adyacente al ángulo es más corta que la longitud del otro lado. Supongamos que se conocen dos lados b, c y el ángulo β . La ecuación del ángulo γ puede deducirse de la ley de los senos : ^[5]

$${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$$

D =C/bsen β

1. Si D > 1 , no existe tal triángulo porque el lado b no llega a la línea BC . Por la misma razón no existe solución si el ángulo β ≥ 90° y b ≤ c .
2. Si D = 1 , existe una solución única: γ = 90° , es decir, el triángulo es rectángulo .
3. Si D < 1 son posibles dos alternativas.
   1. Si b ≥ c , entonces β ≥ γ (el lado mayor corresponde a un ángulo mayor). Como ningún triángulo puede tener dos ángulos obtusos, γ es un ángulo agudo y la solución γ = arcosen D es única.
   2. Si b < c , el ángulo γ puede ser agudo: γ = arcosen D u obtuso: γ ′ = 180° − γ . La figura de la derecha muestra el punto C , el lado b y el ángulo γ como primera solución, y el punto C ′ , el lado b ′ y el ángulo γ ′ como segunda solución.

Una vez obtenido γ , el tercer ángulo α = 180° − β − ​​γ .

El tercer lado se puede encontrar entonces a partir de la ley de los senos:

$${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$$

o de la ley de los cosenos:

$${\displaystyle a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$$

Un lado y dos ángulos adyacentes dados (ASA)

Se dan un lado y dos ángulos adyacentes

Las características conocidas son el lado c y los ángulos α, β . El tercer ángulo γ = 180° − α − β .

Se pueden calcular dos lados desconocidos a partir de la ley de los senos: ^[6]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\\[4pt]b&=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\end{aligned}}}$$

Un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto dado (AAS)

El procedimiento para resolver un triángulo AAS es el mismo que para un triángulo ASA: primero, encuentre el tercer ángulo usando la propiedad de la suma de ángulos de un triángulo, luego encuentre los otros dos lados usando la ley de los senos .

Otras longitudes dadas

En muchos casos, los triángulos se pueden resolver con tres datos, algunos de los cuales son las longitudes de las medianas , las altitudes o las bisectrices de los ángulos del triángulo . Posamentier y Lehmann ^[7] enumeran los resultados de la cuestión de la solubilidad utilizando no más de raíces cuadradas (es decir, constructibilidad ) para cada uno de los 95 casos distintos; 63 de ellos son construibles.

Resolver triángulos esféricos

Triángulo esférico

El triángulo esférico general está totalmente determinado por tres de sus seis características (3 lados y 3 ángulos). Las longitudes de los lados a, b, c de un triángulo esférico son sus ángulos centrales , medidos en unidades angulares en lugar de unidades lineales. (En una esfera unitaria, el ángulo (en radianes ) y la longitud alrededor de la esfera son numéricamente iguales. En otras esferas, el ángulo (en radianes) es igual a la longitud alrededor de la esfera dividida por el radio).

La geometría esférica se diferencia de la geometría euclidiana plana , por lo que la solución de triángulos esféricos se basa en reglas diferentes. Por ejemplo, la suma de los tres ángulos α + β + γ depende del tamaño del triángulo. Además, los triángulos semejantes no pueden ser desiguales, por lo que el problema de construir un triángulo con tres ángulos específicos tiene una solución única. Las relaciones básicas utilizadas para resolver un problema son similares a las del caso plano: ver Ley esférica de los cosenos y Ley esférica de los senos .

Entre otras relaciones que pueden resultar útiles se encuentran la fórmula del medio lado y las analogías de Napier : ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a+\,b)\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \ \!\cos {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \,\sin {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b).\end{aligned}}}$$

Tres lados dados

Tres lados dados (SSS esférico)

Conocidos: los lados a , b , c (en unidades angulares). Los ángulos del triángulo se calculan utilizando la ley esférica de los cosenos :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}},\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}},\\[4pt]\gamma &=\arccos {\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}.\end{aligned}}}$$

Dos lados y el ángulo incluido dado

Dos lados y el ángulo incluido dado (SAS esférico)

Conocido: los lados a, b y el ángulo γ entre ellos. El lado c se puede encontrar a partir de la ley esférica de los cosenos :

$${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}$$

Los ángulos α, β se pueden calcular como se indicó anteriormente o utilizando las analogías de Napier:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b+a)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b-a)}},\\[4pt]\beta &=\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a+b)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a-b)}}.\end{aligned}}}$$

Este problema surge en el problema de navegación de encontrar el círculo máximo entre dos puntos de la Tierra especificados por su latitud y longitud; En esta aplicación, es importante utilizar fórmulas que no sean susceptibles a errores de redondeo. Para ello, se pueden utilizar las siguientes fórmulas (que pueden derivarse mediante álgebra vectorial):

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\[4pt]\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\[4pt]\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}$$

Se dan dos lados y un ángulo no incluido

Se dan dos lados y un ángulo no incluido (SSA esférico)

Este problema no tiene solución en todos los casos; Se garantiza que una solución será única sólo si la longitud del lado adyacente al ángulo es más corta que la longitud del otro lado. Conocidos: los lados b, c y el ángulo β que no están entre ellos. Existe una solución si se cumple la siguiente condición:

$${\displaystyle b>\arcsin \!{\bigl (}\sin c\,\sin \beta {\bigr )}.}$$

γley esférica de los senos

$${\displaystyle \gamma =\arcsin {\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}.}$$

b < cγ180° - γ

Podemos encontrar otras características utilizando las analogías de Napier:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(b-c)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(b+c)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(b-c)}}\right].\end{aligned}}}$$

Se dan un lado y dos ángulos adyacentes

Un lado y dos ángulos adyacentes dados (ASA esférico)

Conocidos: el lado c y los ángulos α, β . Primero determinamos el ángulo γ usando la ley esférica de los cosenos :

$${\displaystyle \gamma =\arccos \!{\bigl (}\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta {\bigr )}.\,}$$

Podemos encontrar los dos lados desconocidos a partir de la ley esférica de los cosenos (usando el ángulo calculado γ ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }},\end{aligned}}}$$

o usando las analogías de Napier:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan {\frac {2\sin \alpha }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta +\alpha )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta -\alpha )}},\\[4pt]b&=\arctan {\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}$$

Un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto dados

Un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto dado (AAS esférico)

Conocido: el lado a y los ángulos α, β . El lado b se puede encontrar a partir de la ley esférica de los senos :

$${\displaystyle b=\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Si el ángulo del lado a es agudo y α > β , existe otra solución:

$${\displaystyle b=\pi -\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Podemos encontrar otras características utilizando las analogías de Napier:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\frac {1}{2}}(a-b)}}\right].\end{aligned}}}$$

Tres ángulos dados

Tres ángulos dados (AAA esférico)

Conocidos: los ángulos α, β, γ . De la ley esférica de los cosenos deducimos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }},\\[4pt]c&=\arccos {\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}}$$

Resolver triángulos esféricos rectángulos

Los algoritmos anteriores se vuelven mucho más simples si uno de los ángulos de un triángulo (por ejemplo, el ángulo C ) es el ángulo recto. Un triángulo esférico de este tipo está completamente definido por sus dos elementos, y los otros tres se pueden calcular utilizando el Pentágono de Napier o las siguientes relaciones.

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}$(de la ley esférica de los senos )

${\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$(de la ley esférica de los cosenos )

${\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}$(también de la ley esférica de los cosenos)

${\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}$

Algunas aplicaciones

Triangulación

Medición de distancia por triangulación

Si se quiere medir la distancia d desde la costa hasta un barco remoto mediante triangulación, se marcan en la costa dos puntos con una distancia conocida l entre ellos (la línea de base). Sean α, β los ángulos entre la línea de base y la dirección al barco.

A partir de las fórmulas anteriores (caso ASA, suponiendo geometría plana), se puede calcular la distancia como la altura del triángulo :

$${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}$$

Para el caso esférico, primero se puede calcular la longitud del lado desde el punto en α hasta el barco (es decir, el lado opuesto a β ) mediante la fórmula ASA

$${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha -\beta )}},}$$

αbd

$${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}$$

dℓ

Este método se utiliza en cabotaje . Los ángulos α, β se definen mediante la observación de puntos de referencia familiares desde el barco.

Cómo medir la altura de una montaña

Como otro ejemplo, si se quiere medir la altura h de una montaña o de un edificio alto, se especifican los ángulos α, β desde dos puntos del suelo hasta la cima. Sea ℓ la distancia entre estos puntos. De las mismas fórmulas del caso ASA obtenemos:

$${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .}$$

La distancia entre dos puntos del globo.

Para calcular la distancia entre dos puntos del globo,

Punto A: latitud λ _A , longitud L _A , y

Punto B: latitud λ _B , longitud L _B

Consideremos el triángulo esférico ABC , donde C es el Polo Norte. Algunas características son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=90^{\circ }-\lambda _{B},\\b&=90^{\circ }-\lambda _{A},\\\gamma &=L_{A}-L_{B}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\overline {AB}}=R\arccos \!{\Bigr [}\sin \lambda _{A}\sin \lambda _{B}+\cos \lambda _{A}\cos \lambda _{B}\cos(L_{A}-L_{B}){\Bigr ]}.}$$

Rradio de la Tierra

Ver también

• Congruencia
• El problema de Hansen
• Teorema de la bisagra
• Esfera de Lénárt
• Problema de Snellius-Pothenot

Referencias

1. "Resolver triángulos". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 4 de abril de 2012 .
2. "Resolver triángulos". web.horacemann.org. Archivado desde el original el 7 de enero de 2014 . Consultado el 4 de abril de 2012 .
3. "Resolver triángulos SSS". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 13 de enero de 2015 .
4. "Resolver triángulos SAS". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 13 de enero de 2015 .
5. "Resolver triángulos SSA". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 9 de marzo de 2013 .
6. "Resolver triángulos ASA". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 13 de enero de 2015 .
7. Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann, Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012: págs.
8. Analogías de Napier en MathWorld

• Euclides (1956) [1925]. Sir Thomas Heath (ed.). Los trece libros de los elementos. Tomo I. Traducido con introducción y comentario. Dover. ISBN 0-486-60088-2.

enlaces externos

• Trigonometric Delights, de Eli Maor , Princeton University Press, 1998. Versión de libro electrónico, en formato PDF, se presenta el texto completo.
• Trigonometría de Alfred Monroe Kenyon y Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. En imágenes, se presenta el texto completo. Libro de Google.
• Trigonometría esférica en Math World.
• Introducción al trigonometría esférica. Incluye una discusión sobre el círculo de Napier y las reglas de Napier.
• Trigonometría esférica: para uso de colegios y escuelas por I. Todhunter, MA, Monografía histórica de matemáticas de FRS publicada por la Biblioteca de la Universidad de Cornell.
• Triangulador – Solucionador de triángulos. Resuelva cualquier problema de triángulo plano con el mínimo de datos de entrada. Dibujo del triángulo resuelto.
• TriSph – Software gratuito para resolver los triángulos esféricos, configurable para diferentes aplicaciones prácticas y configurado para gnomónicos.
• Calculadora de triángulos esféricos : resuelve triángulos esféricos.
• TrianCal – Solucionador de triángulos por Jesús S.