Función de corriente

Función para flujos incompresibles sin divergencia en dos dimensiones

Líneas de corriente (líneas con un valor constante de la función de corriente) para el flujo potencial incompresible alrededor de un cilindro circular en un flujo de entrada uniforme.

En dinámica de fluidos se definen dos tipos de función de corriente :

• La función de corriente bidimensional (o Lagrange), introducida por Joseph Louis Lagrange en 1781, ^[1] se define para flujos bidimensionales incompresibles ( libres de divergencia ) .
• La función de corriente de Stokes , que lleva el nombre de George Gabriel Stokes , ^[2] se define para flujos tridimensionales incompresibles con ejesimetría .

Las propiedades de las funciones de flujo las hacen útiles para analizar e ilustrar gráficamente flujos.

El resto de este artículo describe la función de flujo bidimensional.

Función de flujo bidimensional

Suposiciones

La función de flujo bidimensional se basa en los siguientes supuestos:

• El dominio espacial es tridimensional.
• El campo de flujo se puede describir como flujo plano bidimensional, con vector de velocidad

${\displaystyle \quad \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u(x,y,t)\\v(x,y,t)\\0\end{bmatrix}}.}$

• La velocidad satisface la ecuación de continuidad para flujo incompresible:

${\displaystyle \quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Aunque en principio la función de flujo no requiere el uso de un sistema de coordenadas particular, por conveniencia, la descripción presentada aquí utiliza un sistema de coordenadas cartesiano diestro con coordenadas . ${\displaystyle (x,y,z)}$

Derivación

La superficie de prueba

Consideremos dos puntos y en el plano, y una curva , también en el plano, que los une. Entonces cada punto de la curva tiene coordenadas . Sea la longitud total de la curva . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle L}$

Supongamos que se crea una superficie en forma de cinta extendiendo la curva hacia arriba hasta el plano horizontal , donde está el espesor del flujo. Entonces la superficie tiene largo , ancho y área . Llame a esto la superficie de prueba . ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle z=b}$ ${\displaystyle (b>0)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\,L}$

Flujo a través de la superficie de prueba.

El flujo de volumen a través de la superficie de prueba que conecta los puntos y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P.}$

El flujo volumétrico total a través de la superficie de prueba es

${\displaystyle Q(x,y,t)=\int _{0}^{b}\int _{0}^{L}\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} z}$

donde es un parámetro de longitud de arco definido en la curva , con en el punto y en el punto . Aquí está el vector unitario perpendicular a la superficie de prueba, es decir, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s=L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {n} \,\mathrm {d} s=-R\,\mathrm {d} \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\mathrm {d} y\\-\mathrm {d} x\\0\end{bmatrix}}}$

donde está la matriz de rotación correspondiente a una rotación en sentido antihorario sobre el eje positivo : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle R=R_{z}(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

El integrando en la expresión for es independiente de , por lo que se puede evaluar la integral externa para obtener ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Q(x,y,t)=b\,\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)}$

Definición clásica

Lamb y Batchelor definen la función de flujo de la siguiente manera. ^[3] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)}$

Usando la expresión derivada anteriormente para el flujo volumétrico total, esto se puede escribir como ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \psi (x,y,t)={\frac {Q(x,y,t)}{b}}}$.

En palabras, la función de la corriente es el flujo volumétrico a través de la superficie de prueba por unidad de espesor, donde el espesor se mide perpendicular al plano de flujo. ${\displaystyle \psi }$

El punto es un punto de referencia que define dónde la función de flujo es idénticamente cero. Su posición se elige más o menos arbitrariamente y, una vez elegida, normalmente permanece fija. ${\displaystyle A}$

Un cambio infinitesimal en la posición del punto da como resultado el siguiente cambio de la función de la corriente: ${\displaystyle \mathrm {d} P=(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathrm {d} \psi =u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x}$.

Del diferencial exacto

${\displaystyle \mathrm {d} \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\mathrm {d} y,}$

por lo que los componentes de la velocidad del flujo en relación con la función de la corriente deben ser ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

Observe que la función de la corriente es lineal en la velocidad. En consecuencia, si se superponen dos campos de flujo incompresibles, entonces la función de corriente del campo de flujo resultante es la suma algebraica de las funciones de corriente de los dos campos originales.

Efecto del cambio en la posición del punto de referencia.

Considere un cambio en la posición del punto de referencia, digamos de a . Denotemos la función de flujo relativa al punto de referencia desplazado : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle A'}$

${\displaystyle \psi '(x,y,t)=\int _{A'}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right).}$

Entonces la función de flujo se desplaza por

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi (t)&=\psi '(x,y,t)-\psi (x,y,t)\\&=\int _{A'}^{A}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right),\end{aligned}}}$

lo que implica lo siguiente:

• Un cambio en la posición del punto de referencia efectivamente agrega una constante (para flujo estacionario) o una función únicamente de tiempo (para flujo no estacionario) a la función de la corriente en cada punto . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P}$
• El cambio en la función de la corriente, es igual al flujo volumétrico total, por unidad de espesor, a través de la superficie que se extiende de un punto a otro . En consecuencia, si y sólo si y se encuentran en la misma línea de corriente. ${\displaystyle \Delta \psi }$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta \psi =0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$

En términos de rotación vectorial

La velocidad se puede expresar en términos de la función de la corriente como ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbf {u} =-R\,\nabla \psi }$

donde es la matriz de rotación correspondiente a una rotación en sentido antihorario sobre el eje positivo . Resolver la ecuación anterior produce la forma equivalente ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \nabla \psi }$

${\displaystyle \nabla \psi =R\,\mathbf {u} .}$

De estas formas es inmediatamente evidente que los vectores y son ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla \psi }$

• perpendicular: ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0}$
• de la misma longitud: . ${\displaystyle |\mathbf {u} |=|\nabla \psi |}$

Además, la compacidad de la forma de rotación facilita las manipulaciones (por ejemplo, ver Condición de existencia).

En términos de potencial vectorial y superficies de corriente.

Usando la función de corriente, se puede expresar la velocidad en términos del potencial vectorial ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$

donde , y es el vector unitario que apunta en dirección positiva. Esto también se puede escribir como el producto vectorial vectorial. ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\psi \,\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times \mathbf {z} }$

donde hemos utilizado la identidad del cálculo vectorial

${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {z} \right)=\psi \nabla \times \mathbf {z} +\nabla \psi \times \mathbf {z} .}$

Observando que , y definiendo , se puede expresar el campo de velocidades como ${\displaystyle \mathbf {z} =\nabla z}$ ${\displaystyle \phi =z}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times \nabla \phi .}$

Esta forma muestra que las superficies de nivel de y las superficies de nivel de (es decir, planos horizontales) forman un sistema de superficies de corriente ortogonales . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle z}$

Definición alternativa (signo opuesto)

Una definición alternativa, a veces utilizada en meteorología y oceanografía , es

${\displaystyle \psi '=-\psi .}$

Relación con la vorticidad

En un flujo plano bidimensional, el vector de vorticidad , definido como , se reduce a , donde ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \omega \,\mathbf {z} }$

${\displaystyle \omega =-\nabla ^{2}\psi }$

o

${\displaystyle \omega =+\nabla ^{2}\psi '}$

Estas son formas de la ecuación de Poisson .

Relación con las líneas de corriente

Considere un flujo plano bidimensional con dos puntos infinitamente cercanos y que se encuentran en el mismo plano horizontal. Desde el cálculo, la diferencia infinitesimal correspondiente entre los valores de la función de flujo en los dos puntos es ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ ${\displaystyle P'=(x+dx,y+dy,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \psi (x,y,t)&=\psi (x+\mathrm {d} x,y+\mathrm {d} y,t)-\psi (x,y,t)\\&={\partial \psi \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \psi \over \partial y}\mathrm {d} y\\&=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$

Supongamos que toma el mismo valor, digamos , en los dos puntos y . Entonces esto da ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$

${\displaystyle 0=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ,}$

lo que implica que el vector es normal a la superficie . Porque en todas partes (por ejemplo, ver En términos de rotación vectorial), cada línea de corriente corresponde a la intersección de una superficie de corriente particular y un plano horizontal particular. En consecuencia, en tres dimensiones, la identificación inequívoca de cualquier línea de corriente en particular requiere que se especifiquen los valores correspondientes tanto de la función de la corriente como de la elevación ( coordenada). ${\displaystyle \nabla \psi }$ ${\displaystyle \psi =C}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0}$ ${\displaystyle z}$

El desarrollo aquí supone que el dominio espacial es tridimensional. El concepto de función de flujo también se puede desarrollar en el contexto de un dominio espacial bidimensional. En ese caso, los conjuntos de niveles de la función de la corriente son curvas en lugar de superficies, y las líneas de corriente son curvas de nivel de la función de la corriente. En consecuencia, en dos dimensiones, la identificación inequívoca de cualquier línea de corriente en particular requiere que se especifique únicamente el valor correspondiente de la función de corriente.

Condición de existencia

Es sencillo demostrar que para un flujo plano bidimensional satisface la ecuación de divergencia rizo ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {u} )\,\mathbf {z} =-\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$

donde es la matriz de rotación correspondiente a una rotación en sentido antihorario sobre el eje positivo . Esta ecuación se cumple independientemente de si el flujo es incompresible o no. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$

Si el flujo es incompresible (es decir, ), entonces la ecuación de divergencia de rizo da ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$.

Entonces, según el teorema de Stokes, la integral de línea de cada bucle cerrado desaparece ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(R\,\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =0.}$

Por tanto, la integral de línea de es independiente de la trayectoria. Finalmente, por el inverso del teorema del gradiente , existe una función escalar tal que ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi (x,y,t)}$

${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$.

Aquí se representa la función de flujo. ${\displaystyle \psi }$

Por el contrario, si la función de flujo existe, entonces . Sustituyendo este resultado en la ecuación de divergencia de rizo se obtiene (es decir, el flujo es incompresible). ${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

En resumen, la función de corriente para un flujo plano bidimensional existe si y sólo si el flujo es incompresible.

Flujo potencial

Para un flujo potencial bidimensional , las líneas de corriente son perpendiculares a las líneas equipotenciales . Tomada junto con el potencial de velocidad , la función de corriente se puede utilizar para derivar un potencial complejo . En otras palabras, la función de corriente representa la parte solenoidal de una descomposición de Helmholtz bidimensional , mientras que el potencial de velocidad representa la parte irrotacional .

Resumen de propiedades

Las propiedades básicas de las funciones de flujo bidimensionales se pueden resumir de la siguiente manera:

1. Las componentes x e y de la velocidad del flujo en un punto dado están dadas por las derivadas parciales de la función de la corriente en ese punto.
2. El valor de la función de corriente es constante a lo largo de cada línea de corriente (las líneas de corriente representan las trayectorias de las partículas en un flujo constante). Es decir, en dos dimensiones cada línea de corriente es una curva de nivel de la función de corriente.
3. La diferencia entre los valores de la función de flujo en dos puntos cualesquiera da el flujo volumétrico a través de la superficie vertical que conecta los dos puntos.

Función de corriente bidimensional para flujos con densidad invariante en el tiempo

Si la densidad del fluido es invariante en el tiempo en todos los puntos dentro del flujo, es decir,

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$,

entonces la ecuación de continuidad (por ejemplo, ver Ecuación de continuidad#Dinámica de fluidos ) para el flujo plano bidimensional se convierte en

${\displaystyle \nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} )=0.}$

En este caso, la función de flujo se define de manera que ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \rho \,u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad \rho \,v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

y representa el flujo de masa (en lugar del flujo volumétrico) por unidad de espesor a través de la superficie de prueba.

Ver también

• Flujo elemental

Referencias

Citas

1. Lagrange, J.-L. (1868), "Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides (en: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1781)", Oevres de Lagrange, vol. Tomo IV, págs. 695–748
2. Stokes, GG (1842), "Sobre el movimiento estacionario de fluidos incompresibles", Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 7 : 439–453, Bibcode : 1848TCaPS...7..439S
   Reimpreso en: Stokes, GG (1880), Mathematical and Physical Papers, Volumen I, Cambridge University Press, págs. 1–16
3. Lamb (1932, págs. 62–63) y Batchelor (1967, págs. 75–79)

Fuentes

• Batchelor, GK (1967), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Lamb, H. (1932), Hidrodinámica (6ª ed.), Cambridge University Press, republicado por Dover Publications, ISBN 0-486-60256-7
• Massey, BS; Ward-Smith, J. (1998), Mecánica de fluidos (7ª ed.), Reino Unido: Nelson Thornes
• White, FM (2003), Mecánica de fluidos (5ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill
• Gamelin, TW (2001), Análisis complejo , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-95093-1
• "Streamfunction", Glosario de Meteorología de AMS , Sociedad Meteorológica Estadounidense , consultado el 30 de enero de 2014

enlaces externos

• Joukowsky transforma la aplicación web interactiva