Función de flujo de Stokes

Líneas de corriente alrededor de una esfera en un flujo de Stokes axisimétrico . A la velocidad terminal, la fuerza de arrastre F _d equilibra la fuerza F _g que impulsa el objeto.

En dinámica de fluidos , la función de corriente de Stokes se utiliza para describir las líneas de corriente y la velocidad del flujo en un flujo incompresible tridimensional con axisimetría . Una superficie con un valor constante de la función de corriente de Stokes encierra un tubo de corriente , tangencial en todas partes a los vectores de velocidad del flujo. Además, el flujo de volumen dentro de este tubo de corriente es constante y todas las líneas de corriente del flujo se encuentran en esta superficie. El campo de velocidad asociado con la función de corriente de Stokes es solenoidal , es decir, tiene divergencia cero . Esta función de corriente recibe su nombre en honor a George Gabriel Stokes .

Coordenadas cilíndricas

Un punto trazado con coordenadas cilíndricas.

Consideremos un sistema de coordenadas cilíndricas (  ρ  ,  φ  ,  z  ), donde el eje z es la línea alrededor de la cual el flujo incompresible es axisimétrico, φ el ángulo azimutal y ρ la distancia al eje z . Entonces, los componentes de velocidad de flujo u _ρ y u _z se pueden expresar en términos de la función de corriente de Stokes mediante: ^[1] ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{aligned}}}$

El componente de velocidad azimutal u _φ no depende de la función de corriente. Debido a la axisimetría, los tres componentes de velocidad (  u _ρ  ,  u _φ  ,  u _z  ) solo dependen de ρ y z y no del azimut φ .

El flujo de volumen, a través de la superficie limitada por un valor constante ψ de la función de corriente de Stokes, es igual a 2π ψ .

Coordenadas esféricas

Un punto trazado utilizando el sistema de coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas (  r  ,  θ  ,  φ  ), r es la distancia radial desde el origen , θ es el ángulo cenital y φ es el ángulo azimutal . En flujo axisimétrico, con θ  = 0 el eje de simetría rotacional, las cantidades que describen el flujo son nuevamente independientes del azimut φ . Los componentes de velocidad de flujo u _r y u _θ están relacionados con la función de corriente de Stokes a través de: ^[2] ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{aligned}}}$

Nuevamente, el componente de velocidad azimutal u _φ no es una función de la función de corriente de Stokes ψ . El flujo de volumen a través de un tubo de corriente, limitado por una superficie de constante ψ , es igual a 2π ψ , como antes.

Vorticidad

La vorticidad se define como:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$, dónde ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=-{\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}},}$

con el vector unitario en la dirección –. ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$ ${\displaystyle \phi \,}$

Como resultado del cálculo se obtiene que el vector de vorticidad es igual a:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}.}$

Comparación con cilíndrico

Los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas están relacionados a través de

${\displaystyle z=r\,\cos \theta \,}$  y  ${\displaystyle \rho =r\,\sin \theta .\,}$

Definición alternativa con signo opuesto

Como se explica en el artículo sobre la función de flujo general , también se utilizan definiciones que utilizan una convención de signos opuestos (para la relación entre la función de flujo de Stokes y la velocidad de flujo). ^[3]

Divergencia cero

En coordenadas cilíndricas, la divergencia del campo de velocidad u se convierte en: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}{\Bigl (}\rho \,u_{\rho }{\Bigr )}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(-{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}\right)=0,\end{aligned}}}$

como se esperaba para un flujo incompresible.

Y en coordenadas esféricas: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(u_{\theta }\,\sin \theta )+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{2}\,u_{r}{\Bigr )}\\&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)=0.\end{aligned}}}$

Líneas de corriente como curvas de función de corriente constante

A partir del cálculo se sabe que el vector gradiente es normal a la curva (véase, por ejemplo, Conjunto de niveles#Conjuntos de niveles versus gradiente ). Si se demuestra que en todas partes utilizando la fórmula para en términos de, entonces esto prueba que las curvas de nivel de son líneas de corriente. ${\displaystyle \nabla \Psi }$ ${\displaystyle \Psi =C}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla \Psi =0,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ ${\displaystyle \Psi ,}$ ${\displaystyle \Psi }$

Coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas,

${\displaystyle \nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}}$.

y

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+u_{z}{\boldsymbol {e}}_{z}=-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{z}.}$

De modo que

${\displaystyle \nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial \rho }(-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z})+{\partial \Psi \over \partial z}{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }=0.}$

Coordenadas esféricas

Y en coordenadas esféricas

${\displaystyle \nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }}$

y

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+u_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }={1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{r}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{\theta }.}$

De modo que

${\displaystyle \nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial r}\cdot {1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }\cdot {\Big (}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\Big )}=0.}$

Notas

1. Batchelor (1967), pág. 78.
2. Batchelor (1967), pág. 79.
3. Eg Brenner, Howard (1961). "El movimiento lento de una esfera a través de un fluido viscoso hacia una superficie plana". Chemical Engineering Science . 16 (3–4): 242–251. doi :10.1016/0009-2509(61)80035-3.
4. Batchelor (1967), pág. 602.
5. Batchelor (1967), pág. 601.

Referencias

• Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
• Lamb, H. (1994). Hidrodinámica (6.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.Publicada originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.
• Stokes, GG (1842). "Sobre el movimiento constante de fluidos incompresibles". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 7 : 439–453. Bibcode :1848TCaPS...7..439S.
  Reimpreso en: Stokes, GG (1880). Documentos matemáticos y físicos, volumen I. Cambridge University Press. págs. 1–16.