La velocidad terminal es la velocidad máxima que puede alcanzar un objeto cuando cae a través de un fluido ( el aire es el ejemplo más común). Se alcanza cuando la suma de la fuerza de arrastre ( F d ) y la flotabilidad es igual a la fuerza de gravedad descendente ( F G ) que actúa sobre el objeto. Dado que la fuerza neta sobre el objeto es cero, el objeto tiene aceleración cero . [1] [2] Para los objetos que caen a través del aire a presión normal, la fuerza de flotabilidad generalmente se descarta y no se toma en cuenta, ya que sus efectos son insignificantes. [ cita requerida ]
A medida que aumenta la velocidad de un objeto, también aumenta la fuerza de arrastre que actúa sobre él, que también depende de la sustancia por la que pasa (por ejemplo, aire o agua). A cierta velocidad, la fuerza de arrastre o resistencia será igual a la atracción gravitatoria sobre el objeto. En este punto, el objeto deja de acelerar y continúa cayendo a una velocidad constante llamada velocidad terminal (también llamada velocidad de asentamiento ).
Un objeto que se mueve hacia abajo más rápido que la velocidad terminal (por ejemplo, porque fue lanzado hacia abajo, cayó desde una parte más delgada de la atmósfera o cambió de forma) disminuirá su velocidad hasta alcanzar la velocidad terminal. La resistencia depende del área proyectada , representada aquí por la sección transversal o silueta del objeto en un plano horizontal.
Un objeto con un área proyectada grande en relación con su masa, como un paracaídas, tiene una velocidad terminal menor que uno con un área proyectada pequeña en relación con su masa, como un dardo. En general, para la misma forma y material, la velocidad terminal de un objeto aumenta con el tamaño. Esto se debe a que la fuerza hacia abajo (peso) es proporcional al cubo de la dimensión lineal, pero la resistencia del aire es aproximadamente proporcional al área de la sección transversal, que aumenta solo con el cuadrado de la dimensión lineal.
En el caso de objetos muy pequeños, como el polvo y la niebla, la velocidad terminal se ve fácilmente superada por las corrientes de convección, que pueden impedirles llegar al suelo y, por lo tanto, pueden permanecer suspendidos en el aire durante períodos indefinidos. La contaminación del aire y la niebla son ejemplos de ello.
Por ejemplo, si se tiene en cuenta la resistencia del aire, la velocidad terminal de un paracaidista en una posición de caída libre boca abajo (es decir, boca abajo) es de unos 55 m/s (180 pies/s). [3] Esta velocidad es el valor límite asintótico de la velocidad, y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se equilibran cada vez más entre sí a medida que se aproxima a la velocidad terminal. En este ejemplo, se alcanza una velocidad del 50 % de la velocidad terminal después de solo unos 3 segundos, mientras que se necesitan 8 segundos para alcanzar el 90 %, 15 segundos para alcanzar el 99 %, y así sucesivamente.
Se pueden alcanzar velocidades más altas si el paracaidista retrae sus extremidades (ver también vuelo libre ). En este caso, la velocidad terminal aumenta a aproximadamente 90 m/s (300 pies/s), [3] que es casi la velocidad terminal del halcón peregrino que se lanza en picado sobre su presa. [4] La misma velocidad terminal se alcanza para una bala típica del calibre .30-06 que cae hacia abajo (cuando regresa al suelo después de haber sido disparada hacia arriba o arrojada desde una torre), según un estudio de artillería del ejército de los EE. UU. de 1920. [5]
Los paracaidistas de velocidad de competición vuelan con la cabeza hacia abajo y pueden alcanzar velocidades de 150 m/s (490 pies/s). [ cita requerida ] El récord actual lo tiene Felix Baumgartner , que saltó desde una altitud de 38.887 m (127.582 pies) y alcanzó los 380 m/s (1.200 pies/s), aunque logró esta velocidad a gran altitud donde la densidad del aire es mucho menor que en la superficie de la Tierra, lo que produce una fuerza de arrastre correspondientemente menor. [6]
El biólogo JBS Haldane escribió:
Para el ratón y cualquier animal más pequeño, la gravedad no presenta prácticamente ningún peligro. Se puede dejar caer un ratón en un pozo de una mina de mil metros de profundidad y, al llegar al fondo, recibe un ligero golpe y se aleja. Una rata muere, un hombre se quiebra, un caballo se salpica. La resistencia que ofrece el aire al movimiento es proporcional a la superficie del objeto en movimiento. Si dividimos la longitud, la anchura y la altura de un animal por diez, su peso se reduce a una milésima, pero su superficie sólo a una centésima. De modo que la resistencia a la caída en el caso del animal pequeño es relativamente diez veces mayor que la fuerza impulsora. [7]
Utilizando términos matemáticos, la velocidad terminal, sin considerar los efectos de flotabilidad , se expresa mediante la fórmula:
En realidad, un objeto se aproxima a su velocidad terminal de forma asintótica .
Los efectos de flotabilidad, debidos a la fuerza ascendente ejercida sobre el objeto por el fluido circundante, se pueden tener en cuenta utilizando el principio de Arquímedes : la masa debe reducirse por la masa del fluido desplazado , con el volumen del objeto. Por lo tanto, en lugar de utilizar la masa reducida en esta fórmula y en las siguientes.
La velocidad terminal de un objeto cambia debido a las propiedades del fluido, la masa del objeto y su área de superficie transversal proyectada .
La densidad del aire aumenta con la disminución de la altitud, aproximadamente un 1 % cada 80 metros (260 pies) (consulte la fórmula barométrica ). En el caso de los objetos que caen a través de la atmósfera, por cada 160 metros (520 pies) de caída, la velocidad terminal disminuye un 1 %. Después de alcanzar la velocidad terminal local, mientras continúa la caída, la velocidad disminuye para cambiar con la velocidad terminal local.
Utilizando términos matemáticos, definiendo hacia abajo como positivo, la fuerza neta que actúa sobre un objeto que cae cerca de la superficie de la Tierra es (según la ecuación de arrastre ):
siendo v ( t ) la velocidad del objeto en función del tiempo t .
En el equilibrio , la fuerza neta es cero ( F neta = 0) [9] y la velocidad se convierte en el límite de velocidad terminal t →∞ v ( t ) = V t :
Resolviendo para V t obtenemos:
La ecuación de arrastre es, suponiendo que ρ , g y C d son constantes:
Aunque ésta es una ecuación de Riccati que puede resolverse por reducción a una ecuación diferencial lineal de segundo orden, es más fácil separar las variables .
Una forma más práctica de esta ecuación se puede obtener haciendo la sustitución α 2 = ρAC d/2 miligramos .
Dividiendo ambos lados por m obtenemos
La ecuación se puede reorganizar en
Tomando la integral de ambos lados obtenemos
Después de la integración, esto se convierte en
o en una forma más simple con artanh la función tangente hiperbólica inversa .
Alternativamente, con tanh la función tangente hiperbólica . Suponiendo que g es positivo (como se definió) y sustituyendo α nuevamente, la velocidad v se convierte en
Usando la fórmula para la velocidad terminal la ecuación puede reescribirse como
A medida que el tiempo tiende a infinito ( t → ∞), la tangente hiperbólica tiende a 1, lo que da como resultado la velocidad terminal
En el caso de un movimiento muy lento del fluido, las fuerzas de inercia del fluido son despreciables (suponiendo que el fluido no tiene masa) en comparación con otras fuerzas. Dichos flujos se denominan flujos reptantes o flujos de Stokes y la condición que se debe cumplir para que los flujos sean reptantes es el número de Reynolds , . La ecuación de movimiento para el flujo reptante ( ecuación simplificada de Navier-Stokes ) viene dada por:
dónde:
La solución analítica para el flujo rastrero alrededor de una esfera fue dada por primera vez por Stokes en 1851. [10] A partir de la solución de Stokes, la fuerza de arrastre que actúa sobre la esfera de diámetro se puede obtener como
donde el número de Reynolds, . La expresión para la fuerza de arrastre dada por la ecuación ( 6 ) se llama ley de Stokes .
Cuando se sustituye el valor de en la ecuación ( 5 ), obtenemos la expresión para la velocidad terminal de un objeto esférico que se mueve en condiciones de flujo progresivo: [11]
¿Dónde está la densidad del objeto?
Los resultados del flujo progresivo se pueden aplicar para estudiar la sedimentación cerca del fondo del océano y la caída de gotas de humedad en la atmósfera. El principio también se aplica en el viscosímetro de esfera descendente , un dispositivo experimental utilizado para medir la viscosidad de fluidos altamente viscosos, por ejemplo, petróleo, parafina, alquitrán, etc.
Si se tienen en cuenta los efectos de flotabilidad, un objeto que cae a través de un fluido por su propio peso puede alcanzar una velocidad terminal (velocidad de sedimentación) si la fuerza neta que actúa sobre el objeto se vuelve cero. Cuando se alcanza la velocidad terminal, el peso del objeto se equilibra exactamente con la fuerza de flotabilidad ascendente y la fuerza de arrastre.
dónde
Si el objeto que cae tiene forma esférica, la expresión para las tres fuerzas se da a continuación:
dónde
Sustituyendo las ecuaciones ( 2 – 4 ) en la ecuación ( 1 ) y despejando la velocidad terminal, obtenemos la siguiente expresión
En la ecuación ( 1 ), se supone que el objeto es más denso que el fluido. En caso contrario, el signo de la fuerza de arrastre debe ser negativo, ya que el objeto se moverá hacia arriba, en contra de la gravedad. Algunos ejemplos son las burbujas que se forman en el fondo de una copa de champán y los globos de helio. La velocidad terminal en tales casos tendrá un valor negativo, que corresponde a la velocidad de ascenso.