Límite clásico

El límite clásico o límite de correspondencia es la capacidad de una teoría física para aproximarse o "recuperar" la mecánica clásica cuando se considera sobre valores especiales de sus parámetros. ^[1] El límite clásico se utiliza con teorías físicas que predicen comportamientos no clásicos.

Teoría cuántica

Niels Bohr introdujo en la teoría cuántica un postulado heurístico llamado principio de correspondencia : en efecto, establece que debería aplicarse algún tipo de argumento de continuidad al límite clásico de los sistemas cuánticos a medida que el valor de la constante de Planck normalizada por la acción de estos sistemas se convierte en muy pequeña. A menudo, esto se aborda mediante técnicas "cuasi clásicas" (cf. aproximación WKB ). ^[2]

Más rigurosamente, ^[3] la operación matemática involucrada en los límites clásicos es una contracción de grupo , que se aproxima a sistemas físicos donde la acción relevante es mucho mayor que la constante de Planck reducida $ħ$ , por lo que el "parámetro de deformación" $ħ$ / $S$ puede considerarse efectivamente como cero (cf. cuantización de Weyl ). Por lo tanto, normalmente, los conmutadores cuánticos (equivalentemente, corchetes de Moyal ) se reducen a corchetes de Poisson , ^[4] en una contracción de grupo .

En la mecánica cuántica , debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , un electrón nunca puede estar en reposo; siempre debe tener una energía cinética distinta de cero , un resultado que no se encuentra en la mecánica clásica. Por ejemplo, si consideramos algo muy grande en relación con un electrón, como una pelota de béisbol, el principio de incertidumbre predice que en realidad no puede tener energía cinética cero, pero la incertidumbre en la energía cinética es tan pequeña que la pelota de béisbol puede parecer efectivamente en reposo. , y por tanto parece obedecer a la mecánica clásica. En general, si en mecánica cuántica se consideran grandes energías y objetos grandes (en relación con el tamaño y los niveles de energía de un electrón), el resultado parecerá obedecer a la mecánica clásica. Los números de ocupación típicos involucrados son enormes: un oscilador armónico macroscópico con $ω$ = 2 Hz, $m$ = 10 g y amplitud máxima $x$ ₀ = 10 cm, tiene $S$ $\approx$ $E$ $/$ $ω$ $\approx$ $mωx$ $20 /2 \approx 10 -4 kg\cdotm 2 /s$ = $ħn$ , de modo que $n$ ≃ 10 ³⁰ . Ver más estados coherentes . Sin embargo, está menos claro cómo se aplica el límite clásico a los sistemas caóticos, un campo conocido como caos cuántico .

La mecánica cuántica y la mecánica clásica suelen tratarse con formalismos completamente diferentes: la teoría cuántica utiliza el espacio de Hilbert y la mecánica clásica utiliza una representación en el espacio de fases . Se pueden llevar ambos a un marco matemático común de varias maneras. En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, que es de naturaleza estadística, se establecen conexiones lógicas entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica, lo que permite comparaciones naturales entre ellas, incluidas las violaciones del teorema de Liouville (hamiltoniano) tras la cuantización. ^[5]^[6]

En un artículo crucial (1933), Dirac ^[7] explicó cómo la mecánica clásica es un fenómeno emergente de la mecánica cuántica: la interferencia destructiva entre trayectorias con acciones macroscópicas no extremas $S$ » $ħ$ borra las contribuciones de amplitud en la integral de trayectoria que introdujo, dejando las extremas _clase de acción $S$ , por lo tanto, la ruta de acción clásica como contribución dominante, una observación elaborada con más detalle por Feynman en su tesis doctoral de 1942. ^[8] (Para más información ver decoherencia cuántica ).

Evolución temporal de los valores esperados.

Una forma sencilla de comparar la mecánica clásica con la cuántica es considerar la evolución temporal de la posición y el impulso esperados , que luego pueden compararse con la evolución temporal de la posición y el impulso ordinarios en la mecánica clásica. Los valores esperados cuánticos satisfacen el teorema de Ehrenfest . Para una partícula cuántica unidimensional que se mueve en un potencial , dice el teorema de Ehrenfest ^[9] $V$

m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V '(X)\right\rangle .

Aunque la primera de estas ecuaciones es consistente con la mecánica clásica, la segunda no lo es: si el par satisficiera la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación habría sido $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

Pero en la mayoría de los casos,

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

Si por ejemplo, el potencial es cúbico, entonces es cuadrático, en cuyo caso estamos hablando de la distinción entre y , que difieren en . $V$ $V'$ $\langle X^{2}\rangle$ $\langle X\rangle ^{2}$ $(\Delta X)^{2}$

Una excepción ocurre cuando las ecuaciones de movimiento clásicas son lineales, es decir, cuando son cuadráticas y lineales. En ese caso especial, y estoy de acuerdo. En particular, para una partícula libre o un oscilador armónico cuántico, la posición esperada y el momento esperado siguen exactamente las soluciones de las ecuaciones de Newton. $V$ $V'$ $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$

Para los sistemas generales, lo mejor que podemos esperar es que la posición y el impulso esperados sigan aproximadamente las trayectorias clásicas. Si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto , entonces y será casi igual, ya que ambos serán aproximadamente iguales a . En ese caso, la posición esperada y el impulso esperado permanecerán muy cerca de las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca altamente localizada en su posición. ^[10] $x_{0}$ $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$ $V'(x_{0})$

Ahora bien, si el estado inicial tiene una posición muy localizada, su impulso estará muy extendido y, por lo tanto, esperamos que la función de onda se expanda rápidamente y se pierda la conexión con las trayectorias clásicas. Sin embargo, cuando la constante de Planck es pequeña, es posible tener un estado bien localizado tanto en posición como en impulso. La pequeña incertidumbre en el momento garantiza que la partícula permanezca bien localizada en su posición durante mucho tiempo, de modo que la posición y el momento esperados sigan de cerca las trayectorias clásicas durante mucho tiempo.

Relatividad y otras deformaciones.

Otras deformaciones familiares en física implican:

La deformación del newtoniano clásico en mecánica relativista ( relatividad especial ), con parámetro de deformación $v / c$ ; el límite clásico implica velocidades pequeñas, por lo que $v / c \to 0$ , y los sistemas parecen obedecer a la mecánica newtoniana.
De manera similar, para la deformación de la gravedad newtoniana en la relatividad general , con el parámetro de deformación radio de Schwarzschild/dimensión característica, encontramos que los objetos una vez más parecen obedecer a la mecánica clásica (espacio plano), cuando la masa de un objeto multiplica el cuadrado de Planck . La longitud es mucho menor que su tamaño y las dimensiones del problema abordado. Véase límite newtoniano .
La óptica ondulatoria también podría considerarse como una deformación de la óptica de rayos para el parámetro de deformación $λ / a$ .
Asimismo, la termodinámica se deforma a la mecánica estadística con parámetro de deformación $1/ N$ .

Ver también

Referencias

^ Bohm, D. (1989). Teoría cuántica. Publicaciones de Dover . ISBN 9780486659695.
^ Landau, LD ; Lifshitz, EM (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . vol. 3 (3ª ed.). Prensa de Pérgamo . ISBN 978-0-08-020940-1.
^ Hepp, K. (1974). "El límite clásico de las funciones de correlación de la mecánica cuántica". Comunicaciones en Física Matemática . 35 (4): 265–277. Código bibliográfico : 1974CMaPh..35..265H. doi :10.1007/BF01646348. S2CID 123034390.
^ Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069. S2CID 119230734.
^ Helecho, A.; Madera, J. (2006). "Mecánica semicuántica versus semiclásica para sistemas no lineales simples". Revisión física A. 73 (1): 012104. arXiv : quant-ph/0511227 . Código bibliográfico : 2006PhRvA..73a2104B. doi :10.1103/PhysRevA.73.012104. S2CID 14444752.
^ Por el contrario, en el enfoque
menos conocido presentado en 1932 por Koopman y von Neumann , la dinámica de la mecánica clásica se ha formulado en términos de un formalismo operacional en el espacio de Hilbert , un formalismo utilizado convencionalmente para la mecánica cuántica.
- Koopman, BO ; von Neumann, J. (1932). "Sistemas dinámicos de espectros continuos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 18 (3): 255–263. Código bibliográfico : 1932PNAS...18..255K. doi : 10.1073/pnas.18.3.255 . PMC 1076203 . PMID 16587673.
- Mauro, D. (2003). "Temas de la teoría de Koopman-von Neumann". arXiv : quant-ph/0301172 .
- Bracken, AJ (2003). "La mecánica cuántica como aproximación a la mecánica clásica en el espacio de Hilbert". Revista de Física A. 36 (23): L329–L335. arXiv : quant-ph/0210164 . doi :10.1088/0305-4470/36/23/101. S2CID 15505801.
^ Dirac, PAM (1933). «El Lagrangiano en mecánica cuántica» (PDF) . Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 3 : 64–72.
^ Feynman, RP (1942). El principio de mínima acción en mecánica cuántica (tesis doctoral). Universidad de Princeton .
Reproducido en Feynman, RP (2005). Marrón, LM (ed.). La tesis de Feynman: un nuevo enfoque de la teoría cuántica . Científico Mundial . ISBN 978-981-256-380-4.
^ Salón 2013 Sección 3.7.5
^ Salón 2013 p. 78

Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158