Densidad de probabilidad clásica

La densidad de probabilidad clásica es la función de densidad de probabilidad que representa la probabilidad de encontrar una partícula en las proximidades de una determinada ubicación sujeta a una energía potencial en un sistema mecánico clásico . Estas densidades de probabilidad son útiles para comprender mejor el principio de correspondencia y establecer conexiones entre el sistema cuántico en estudio y el límite clásico . ^{[1] [2] [3]}

Antecedentes matemáticos

Considere el ejemplo de un oscilador armónico simple inicialmente en reposo con amplitud A. Supongamos que este sistema se colocara dentro de un contenedor hermético de modo que solo se pudiera verlo usando una cámara que solo puede tomar una instantánea de lo que sucede en el interior. Cada instantánea tiene cierta probabilidad de ver el oscilador en cualquier posición posible x a lo largo de su trayectoria. La densidad de probabilidad clásica resume qué posiciones son más probables, cuáles son menos probables, la posición promedio del sistema, etc. Para derivar esta función, considere el hecho de que las posiciones donde es más probable encontrar el oscilador son aquellas posiciones en las que el oscilador pasa la mayor parte de su tiempo. De hecho, la probabilidad de estar en un valor de x determinado es proporcional al tiempo pasado en las proximidades de ese valor de x . Si el oscilador pasa una cantidad de tiempo infinitesimal dt en la vecindad dx de un valor x dado , entonces la probabilidad P ( x ) dx de estar en esa vecindad será

${\displaystyle P(x)\,dx\propto dt.}$

Dado que la fuerza que actúa sobre el oscilador es conservativa y el movimiento se produce en un dominio finito, el movimiento será cíclico con un período que se denotará por T. Dado que la probabilidad de que el oscilador esté en cualquier posición posible entre el mínimo valor de x posible y el valor de x máximo posible debe sumar 1, la normalización

${\displaystyle \int _{x_{\rm {min}}}^{x_{\rm {max}}}P(x)\,dx=1=N\int _{t_{i}}^{t_{f}}dt}$

se utiliza, donde N es la constante de normalización. Dado que la masa oscilante cubre este rango de posiciones en la mitad de su período (un período completo va de − A a + A y luego regresa a − A ), la integral sobre t es igual a T /2 , lo que establece que N es 2/ T .

Utilizando la regla de la cadena , dt se puede expresar en términos de la altura a la que permanece la masa observando que dt = dx /( dx / dt ) , por lo que nuestra densidad de probabilidad se convierte en

${\displaystyle P(x)\,dx={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{dx/dt}}={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{v(x)}},}$

donde v ( x ) es la velocidad del oscilador en función de su posición. (Tenga en cuenta que debido a que la velocidad es un escalar, v ( x ) es la misma para ambos semiperíodos.) En este punto, todo lo que se necesita es proporcionar una función v ( x ) para obtener P ( x ) . Para sistemas sujetos a fuerzas conservativas, esto se hace relacionando la velocidad con la energía. Dado que la energía cinética K es 1 ⁄ 2 mv ² y la energía total E = K + U , donde U ( x ) es la energía potencial del sistema, la velocidad se puede escribir como

${\displaystyle v(x)={\sqrt {\frac {2K}{m}}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}[E-U(x)]}}.}$

Introduciendo esto en nuestra expresión para P ( x ) se obtiene

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{T}}{\sqrt {\frac {2m}{E-U(x)}}}.}$

Aunque nuestro ejemplo inicial fue el oscilador armónico, todas las matemáticas hasta este punto han sido completamente generales para una partícula sujeta a una fuerza conservativa. Esta fórmula se puede generalizar para cualquier sistema físico unidimensional ingresando la función de energía potencial correspondiente. Una vez hecho esto, se obtiene fácilmente P ( x ) para cualquier energía permitida E.

Ejemplos

Oscilador armónico simple

La función de densidad de probabilidad del estado n = 30 del oscilador armónico cuántico. La gráfica continua representa la densidad de probabilidad de la mecánica cuántica, mientras que la línea de puntos representa la densidad de probabilidad clásica. Las líneas verticales discontinuas indican los puntos de inflexión clásicos del sistema.

Comenzando con el ejemplo utilizado en la derivación anterior, el oscilador armónico simple tiene la función de energía potencial

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2},}$

donde k es la constante elástica del oscilador y ω = 2 π / T es la frecuencia angular natural del oscilador. La energía total del oscilador viene dada evaluando U ( x ) en los puntos de inflexión x = ± A. Sustituyendo esto en la expresión para P ( x ) se obtiene

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}.}$

Esta función tiene dos asíntotas verticales en los puntos de inflexión, lo que tiene sentido físico ya que los puntos de inflexión son donde el oscilador está en reposo y, por lo tanto, lo más probable es que se encuentren cerca de esos valores de x . Tenga en cuenta que aunque la función de densidad de probabilidad tiende hacia el infinito, la probabilidad sigue siendo finita debido al área bajo la curva, y no a la curva misma, que representa la probabilidad.

Pelota que rebota

Funciones de densidad de probabilidad de la pelota que rebota cuántica cuántica (roja) y clásica (negra) para n = 50 . El punto de inflexión aquí está etiquetado como z _n (a lo que esta sección se refiere como h ).

Para la pelota que rebota sin pérdidas , la energía potencial y la energía total son

${\displaystyle U(z)=mgz,}$

${\displaystyle E=mgh,}$

donde h es la altura máxima alcanzada por la pelota. Al conectarlos a P ( z ) se obtiene

${\displaystyle P(z)={\frac {1}{2{\sqrt {h}}}}{\frac {1}{\sqrt {h-z}}},}$

donde la relación se utilizó para simplificar los factores anteriores. El dominio de esta función es (la pelota no cae por el suelo en z = 0 ), por lo que la distribución no es simétrica como en el caso del oscilador armónico simple. Nuevamente, hay una asíntota vertical en el punto de inflexión z = h . ${\displaystyle T={\sqrt {8h/g}}}$ ${\displaystyle z\in [0,h]}$

Distribución espacio-momento

Además de observar las distribuciones de probabilidad en el espacio de posiciones , también resulta útil caracterizar un sistema en función de su impulso. Siguiendo un argumento similar al anterior, el resultado es ^[2]

${\displaystyle P(p)={\frac {2}{T}}{\frac {1}{|F(x)|}},}$

donde F ( x ) = − dU / dx es la fuerza que actúa sobre la partícula en función de la posición. En la práctica, esta función debe expresarse en términos del impulso p por cambio de variables.

Oscilador armónico simple

Tomando el ejemplo del oscilador armónico simple anterior, la energía potencial y la fuerza se pueden escribir como

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},}$

${\displaystyle |F(x)|=|-kx|={\sqrt {2kU(x)}}={\sqrt {{\frac {k}{m}}(2mE-p^{2})}}.}$

Identificando (2 mE ) ^1/2 = p ₀ como el momento máximo del sistema, esto se simplifica a

${\displaystyle P(p)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {p_{0}^{2}-p^{2}}}}.}$

Tenga en cuenta que esto tiene la misma forma funcional que la distribución de probabilidad del espacio de posición. Esto es específico del problema del oscilador armónico simple y surge debido a la simetría entre x y p en las ecuaciones de movimiento.

Pelota que rebota

El ejemplo de la pelota que rebota es más sencillo, ya que en este caso la fuerza es constante,

${\displaystyle F(x)=mg,}$

dando como resultado la función de densidad de probabilidad

${\displaystyle P(p)={\frac {1}{m{\sqrt {8gh}}}}={\frac {1}{2p_{0}}}{\text{ for }}|p|<p_{0},}$

donde p ₀ = m (2 gh ) ^1/2 es el momento máximo de la pelota. En este sistema, todos los momentos son igualmente probables.

Ver también

• Función de densidad de probabilidad
• Principio de correspondencia
• Límite clásico
• Función de onda

Referencias

1. Griffiths, David J .; Schroeter, Darrel F. (2018). Introducción a la mecánica cuántica (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 12-13, 20, 53. ISBN 978-0-13-191175-8.
2. Robinett, RW (1995). "Distribuciones de probabilidad clásica y cuántica de posición e impulso" . Revista Estadounidense de Física . 63 (9): 823–832. Código Bib : 1995AmJPh..63..823R. doi :10.1119/1.17807.
3. Liboff, Richard L. (1980). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley Publishing Company, Inc. págs. 91, 194. ISBN 0-201-12221-9.