Gráficas de S ( x ) y C ( x ) . El máximo de C ( x ) es aproximadamente0,977 451 424 . Si los integrandos de S y C se definieran usandoπ/2t 2 en lugar de t 2 , entonces la imagen se escalaría vertical y horizontalmente (ver más abajo).
Algunas tablas ampliamente utilizadas [1] [2] utilizanπ/2t 2 en lugar de t 2 para el argumento de las integrales que definen S ( x ) y C ( x ) . Esto cambia sus límites en el infinito de1/2· √π/2a1/2[3] y la longitud del arco para la primera vuelta en espiral de √ 2 π a 2 (en t = 2 ). Estas funciones alternativas suelen conocerse como integrales de Fresnel normalizadas .
espiral de euler
Espiral de Euler ( x , y ) = ( C ( t ), S ( t ) . La espiral converge al centro de los agujeros en la imagen cuando t tiende al infinito positivo o negativo.Animación que muestra la evolución de una espiral de Cornu con el círculo tangencial con el mismo radio de curvatura que en su punta, también conocido como círculo osculador .
La espiral de Euler, también conocida como espiral de Cornu o clotoide, es la curva generada por una gráfica paramétrica de S ( t ) frente a C ( t ) . La espiral de Euler fue estudiada por primera vez a mediados del siglo XVIII por Leonhard Euler en el contexto de la teoría del haz de Euler-Bernoulli . Un siglo después, Marie Alfred Cornu construyó la misma espiral como nomograma para cálculos de difracción.
De las definiciones de integrales de Fresnel, los infinitesimales dx y dy son así:
Por tanto, la longitud de la espiral medida desde el origen se puede expresar como
Es decir, el parámetro t es la longitud de la curva medida desde el origen (0, 0) , y la espiral de Euler tiene una longitud infinita . El vector (cos( t 2 ), sin( t 2 )) también expresa el vector unitario tangente a lo largo de la espiral, dando θ = t 2 . Dado que t es la longitud de la curva, la curvatura κ se puede expresar como
Por tanto, la tasa de cambio de curvatura con respecto a la longitud de la curva es
Una espiral de Euler tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la espiral, medida desde el origen. Esta propiedad la hace útil como curva de transición en ingeniería de carreteras y ferrocarriles: si un vehículo sigue la espiral a una velocidad unitaria, el parámetro t en las derivadas anteriores también representa el tiempo. En consecuencia, un vehículo que sigue la espiral a velocidad constante tendrá una tasa constante de aceleración angular .
Las secciones de las espirales de Euler se incorporan comúnmente en la forma de bucles de montaña rusa para hacer lo que se conoce como bucles clotoides .
Las asintóticas de las integrales de Fresnel cuando x → ∞ vienen dadas por las fórmulas:
Integral de Fresnel compleja S ( z )
Usando las expansiones de series de potencias anteriores, las integrales de Fresnel se pueden extender al dominio de los números complejos , donde se convierten en funciones completas de la variable compleja z .
Las integrales de Fresnel se pueden expresar usando la función de error de la siguiente manera: [4]
Integral de Fresnel compleja C ( z )
o
Límites cuando x se acerca al infinito
Las integrales que definen C ( x ) y S ( x ) no pueden evaluarse en forma cerrada en términos de funciones elementales , excepto en casos especiales. Se conocen los límites de estas funciones cuando x tiende a infinito:
Para m = 0 , la parte imaginaria de esta ecuación en particular es
a > 1Γ ( a −1 )
La transformación de Kummer de la función hipergeométrica confluente es
Aproximación numérica
Para cálculos con precisión arbitraria, la serie de potencias es adecuada para argumentos pequeños. Para argumentos amplios, las expansiones asintóticas convergen más rápido. [7] También se pueden utilizar métodos de fracción continua. [8]
Las integrales de Fresnel se utilizaron originalmente para calcular la intensidad del campo electromagnético en un entorno donde la luz se curva alrededor de objetos opacos. [12] Más recientemente, se han utilizado en el diseño de carreteras y ferrocarriles, específicamente en sus zonas de transición de curvatura, ver curva de transición de vía . [13] Otras aplicaciones son las montañas rusas [12] o el cálculo de las transiciones en una pista de velódromo para permitir una entrada rápida a las curvas y una salida gradual. [ cita necesaria ]
Galería
Gráfica de la función integral de Fresnel S(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
Gráfica de la función integral de Fresnel C(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
Gráfica de la función auxiliar de Fresnel G(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
Gráfica de la función auxiliar de Fresnel F(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
^ funciones.wolfram.com, Integral de Fresnel S: Representaciones mediante funciones equivalentes y Integral de Fresnel C: Representaciones mediante funciones equivalentes. Nota: Wolfram utiliza la convención de Abramowitz y Stegun, que difiere de la de este artículo por factores de √ π ⁄ 2 .
Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 7". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. SEÑOR 0167642. LCCN 65-12253.
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enlaces externos
Cephes, código C++/C gratuito/de código abierto para calcular integrales de Fresnel, entre otras funciones especiales. Utilizado en SciPy y ALGLIB .
Paquete Faddeeva, código C++/C gratuito/de código abierto para calcular funciones de error complejas (de las cuales se pueden obtener las integrales de Fresnel), con contenedores para Matlab, Python y otros lenguajes.