En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , el radical de Jacobson de un anillo R es el ideal que consiste en aquellos elementos en R que aniquilan todos los módulos R derechos simples . Sucede que al sustituir "izquierda" en lugar de "derecha" en la definición se obtiene el mismo ideal, y por lo tanto la noción es simétrica izquierda-derecha. El radical de Jacobson de un anillo se denota frecuentemente por J( R ) o rad( R ); la primera notación será la preferida en este artículo, porque evita la confusión con otros radicales de un anillo . El radical de Jacobson recibe su nombre de Nathan Jacobson , quien fue el primero en estudiarlo para anillos arbitrarios en Jacobson 1945.
El radical de Jacobson de un anillo tiene numerosas caracterizaciones internas, incluidas algunas definiciones que extienden con éxito la noción a anillos no unitarios . El radical de un módulo extiende la definición del radical de Jacobson para incluir módulos. El radical de Jacobson juega un papel destacado en muchos resultados teóricos de anillos y módulos, como el lema de Nakayama .
Definiciones
Existen múltiples definiciones y caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson, pero es útil considerar las definiciones en función de si el anillo es conmutativo o no.
Caso conmutativo
En el caso conmutativo, el radical de Jacobson de un anillo conmutativo R se define como [1] la intersección de todos los ideales máximos . Si denotamos Specm R como el conjunto de todos los ideales máximos en R entonces
Esta definición se puede utilizar para cálculos explícitos en varios casos simples, como por ejemplo para anillos locales ( R , ) , que tienen un ideal máximo único, anillos artinianos y productos de los mismos. Consulte la sección de ejemplos para cálculos explícitos.
Caso no conmutativo/general
Para un anillo general con unidad R , el radical de Jacobson J( R ) se define como el ideal de todos los elementos r ∈ R tales que rM = 0 siempre que M sea un R -módulo simple . Es decir,
Esto es equivalente a la definición en el caso conmutativo para un anillo conmutativo R porque los módulos simples sobre un anillo conmutativo son de la forma R / para algún ideal maximal de R , y los aniquiladores de R / en R son precisamente los elementos de , es decir Ann R ( R / ) = .
Motivación
La comprensión del radical de Jacobson se presenta en varios casos diferentes: a saber, sus aplicaciones y las interpretaciones geométricas resultantes , y sus interpretaciones algebraicas.
Aplicaciones geométricas
Aunque Jacobson introdujo originalmente su radical como una técnica para construir una teoría de radicales para anillos arbitrarios, una de las razones motivadoras por las que el radical de Jacobson se considera en el caso conmutativo se debe a su aparición en el lema de Nakayama . Este lema es una herramienta técnica para estudiar módulos finitamente generados sobre anillos conmutativos que tiene una fácil interpretación geométrica: si tenemos un fibrado vectorial E → X sobre un espacio topológico X , y escogemos un punto p ∈ X , entonces cualquier base de E | p puede extenderse a una base de secciones de E | U → U para algún vecindario p ∈ U ⊆ X .
Otra aplicación es en el caso de anillos conmutativos finitamente generados de la forma para algún anillo base k (como un cuerpo , o el anillo de números enteros ). En este caso el radical nil y el radical de Jacobson coinciden. Esto significa que podríamos interpretar el radical de Jacobson como una medida de cuán lejos está el ideal I que define el anillo R de definir el anillo de funciones en una variedad algebraica debido al teorema de Nullstellensatz de Hilbert . Esto se debe a que las variedades algebraicas no pueden tener un anillo de funciones con infinitesimales: esta es una estructura que solo se considera en la teoría de esquemas .
Caracterizaciones equivalentes
El radical de Jacobson de un anillo tiene varias caracterizaciones internas y externas. Las siguientes equivalencias aparecen en muchos textos de álgebra no conmutativa, como Anderson & Fuller 1992, §15, Isaacs 1994, §13B, y Lam 2001, Cap. 2.
Las siguientes son caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson en anillos con unidad (las caracterizaciones para anillos sin unidad se dan inmediatamente después):
J( R ) es igual a la intersección de todos los ideales derechos máximos del anillo. La equivalencia proviene del hecho de que para todos los ideales derechos máximos M , R / M es un R -módulo derecho simple, y que de hecho todos los R -módulos derechos simples son isomorfos a uno de este tipo a través de la función de R a S dada por r ↦ xr para cualquier generador x de S . También es cierto que J( R ) es igual a la intersección de todos los ideales izquierdos máximos dentro del anillo. [2] Estas caracterizaciones son internas al anillo, ya que solo se necesita encontrar los ideales derechos máximos del anillo. Por ejemplo, si un anillo es local , y tiene un ideal derecho máximo único , entonces este ideal derecho máximo único es exactamente J( R ). Los ideales máximos son en cierto sentido más fáciles de buscar que los aniquiladores de módulos. Sin embargo, esta caracterización es deficiente, porque no resulta útil cuando se trabaja computacionalmente con J( R ). La simetría izquierda-derecha de estas dos definiciones es notable y tiene varias consecuencias interesantes. [2] [3] Esta simetría contrasta con la falta de simetría en los zócalos de R , ya que puede suceder que soc( R R ) no sea igual a soc( R R ). Si R es un anillo no conmutativo , J( R ) no es necesariamente igual a la intersección de todos los ideales maximales de dos lados de R . Por ejemplo, si V es una suma directa contable de copias de un cuerpo k y R = End( V ) (el anillo de endomorfismos de V como un k -módulo), entonces J( R ) = 0 porque se sabe que R es regular de von Neumann , pero hay exactamente un ideal maximal de dos lados en R que consiste en endomorfismos con imagen de dimensión finita . [4]
J( R ) es igual a la suma de todos los ideales derechos superfluos (o simétricamente, la suma de todos los ideales izquierdos superfluos) de R . Comparando esto con la definición anterior, la suma de los ideales derechos superfluos es igual a la intersección de los ideales derechos máximos. Este fenómeno se refleja dualmente para el zócalo derecho de R ; soc( R R ) es tanto la suma de los ideales derechos mínimos como la intersección de los ideales derechos esenciales . De hecho, estas dos relaciones se cumplen para los radicales y zócalos de los módulos en general.
Como se define en la introducción, J( R ) es igual a la intersección de todos los aniquiladores de módulos R derechos simples , sin embargo también es cierto que es la intersección de aniquiladores de módulos izquierdos simples. Un ideal que es el aniquilador de un módulo simple se conoce como un ideal primitivo , y por lo tanto una reformulación de esto establece que el radical de Jacobson es la intersección de todos los ideales primitivos. Esta caracterización es útil cuando se estudian módulos sobre anillos. Por ejemplo, si U es un módulo R derecho , y V es un submódulo maximal de U , U · J( R ) está contenido en V , donde U · J( R ) denota todos los productos de elementos de J( R ) (los "escalares") con elementos en U , a la derecha. Esto se deduce del hecho de que el módulo cociente U / V es simple y, por lo tanto, aniquilado por J( R ).
J( R ) es el único ideal derecho de R maximal con la propiedad de que cada elemento es cuasirregular derecho [5] [6] (o equivalentemente cuasirregular izquierdo [2] ). Esta caracterización del radical de Jacobson es útil tanto computacionalmente como para ayudar a la intuición. Además, esta caracterización es útil para estudiar módulos sobre un anillo. El lema de Nakayama es quizás el ejemplo más conocido de esto. Aunque cada elemento de J( R ) es necesariamente cuasirregular , no cada elemento cuasirregular es necesariamente un miembro de J( R ). [6]
Si bien no todos los elementos cuasirregulares están en J( R ), se puede demostrar que y está en J( R ) si y solo si xy se deja cuasirregular para todo x en R . [7]
J( R ) es el conjunto de elementos x en R tal que cada elemento de 1 + RxR es una unidad: J( R ) = { x ∈ R | 1 + RxR ⊂ R × } . De hecho, y ∈ R está en el radical de Jacobson si y solo si 1 + xy es invertible para cualquier x ∈ R , si y solo si 1 + yx es invertible para cualquier x ∈ R . Esto significa que xy e yx se comportan de manera similar a un elemento nilpotente z con z n +1 = 0 y (1 + z ) −1 = 1 − z + z 2 − ... ± z n .
Para anillos sin unidad es posible tener R = J( R ) ; sin embargo, la ecuación J( R / J( R )) = {0} sigue siendo válida. Las siguientes son caracterizaciones equivalentes de J( R ) para anillos sin unidad: [8]
La noción de cuasirregularidad por la izquierda se puede generalizar de la siguiente manera. Llamemos a un elemento a de R cuasirregular generalizado por la izquierda si existe c en R tal que c + a − ca = 0 . Entonces J( R ) consiste en cada elemento a para el cual ra es cuasirregular generalizado por la izquierda para todo r de R . Se puede comprobar que esta definición coincide con la definición cuasirregular previa para anillos con unidad.
Para un anillo sin unidad, la definición de un módulo simple izquierdo M se modifica añadiendo la condición de que R ⋅ M ≠ 0 . Con este entendimiento, J( R ) puede definirse como la intersección de todos los aniquiladores de módulos R izquierdos simples , o simplemente R si no hay módulos R izquierdos simples . Existen anillos sin unidad sin módulos simples, en cuyo caso R = J( R ) , y el anillo se llama anillo radical . Al utilizar la caracterización cuasirregular generalizada del radical, queda claro que si se encuentra un anillo con J( R ) distinto de cero, entonces J( R ) es un anillo radical cuando se lo considera como un anillo sin unidad.
Ejemplos
Ejemplos conmutativos
Para el anillo de números enteros Z su radical de Jacobson es el ideal cero , por lo que J( Z ) = (0) , porque está dado por la intersección de cada ideal generado por un número primo ( p ). Como ( p 1 ) ∩ ( p 2 ) = ( p 1 ⋅ p 2 ) , y estamos tomando una intersección infinita sin elementos comunes además de 0 entre todos los ideales maximales, tenemos el cálculo.
Para un anillo local ( R , ) el radical de Jacobson es simplemente J( R ) = . Este es un caso importante debido a su uso en la aplicación del lema de Nakayama. En particular, implica que si tenemos un fibrado vectorial algebraico E → X sobre un esquema o variedad algebraica X , y fijamos una base de E | p para algún punto p ∈ X , entonces esta base se eleva a un conjunto de generadores para todas las secciones E para algún entorno U de p .
Si k es un cuerpo y R = k [[ X 1 , ..., X n ]] es un anillo de series de potencias formales , entonces J( R ) consiste en aquellas series de potencias cuyo término constante es cero, es decir, las series de potencias en el ideal ( X 1 , ..., X n ) .
En el caso de un anillo artiniano , como C [ t 1 , t 2 ]/( t 1 4 , t 1 2 t 2 2 , t 2 9 ) , el radical de Jacobson es ( t 1 , t 2 ) .
El ejemplo anterior podría extenderse al anillo R = C [ t 2 , t 3 , ...]/( t 2 2 , t 3 3 , ...) , dando J( R ) = ( t 2 , t 3 , ...) .
El radical de Jacobson del anillo Z /12 Z es 6 Z /12 Z , que es la intersección de los ideales máximos 2 Z /12 Z y 3 Z /12 Z .
Considérese el anillo C [ t ] ⊗ C C [ x 1 , x 2 ] x 1 2 + x 2 2 −1 , donde el segundo es la localización de C [ x 1 , x 2 ] por el ideal primo = ( x 1 2 + x 2 2 − 1) . Entonces, el radical de Jacobson es trivial porque los ideales maximales son generados por un elemento de la forma ( t − z ) ⊗ ( x 1 2 + x 2 2 − 1) para z ∈ C .
Ejemplos no conmutativos
Los anillos para los que J( R ) es {0} se denominan anillos semiprimitivos o, a veces, "anillos semisimples de Jacobson". El radical de Jacobson de cualquier cuerpo, cualquier anillo regular de von Neumann y cualquier anillo primitivo izquierdo o derecho es {0}. El radical de Jacobson de los números enteros es {0}.
Si K es un campo y R es el anillo de todas las matrices triangulares superiores n por n con entradas en K , entonces J( R ) consiste en todas las matrices triangulares superiores con ceros en la diagonal principal.
Comience con un quiver acíclico finito Γ y un cuerpo K y considere el álgebra de quiver K Γ (como se describe en el artículo Quiver ). El radical de Jacobson de este anillo se genera por todos los caminos en Γ de longitud ≥ 1.
El radical de Jacobson de un C*-álgebra es {0}. Esto se desprende del teorema de Gelfand–Naimark y del hecho de que para un C*-álgebra, una *-representación topológicamente irreducible en un espacio de Hilbert es algebraicamente irreducible, de modo que su núcleo es un ideal primitivo en el sentido puramente algebraico (véase Espectro de un C*-álgebra ).
J( R ) contiene todo ideal nulo de R . Si R es artiniano por izquierda o por derecha , entonces J( R ) es un ideal nilpotente .En realidad, esto se puede hacer más fuerte: si {0} = T 0 ⊆ T 1 ⊆ ⋅⋅⋅ ⊆ T k = R es una serie de composición para el R -módulo R derecho (tal serie seguramente existe si R es artiniano derecho, y hay una serie de composición izquierda similar si R es artiniano izquierdo), entonces (J( R )) k = 0 . [a] Obsérvese, sin embargo, que en general el radical de Jacobson no necesita consistir únicamente en los elementos nilpotentes del anillo.
Si R es conmutativo y finitamente generado como un álgebra sobre un cuerpo o Z , entonces J( R ) es igual al nilradical de R .
El radical de Jacobson de un anillo (unital) es su ideal derecho (equivalentemente izquierdo) superfluo más grande.
^ Demostración: Puesto que los factores T u / T u −1 son simples módulos R rectos , la multiplicación por la derecha por cualquier elemento de J( R ) anula estos factores. En otras palabras, ( T u / T u −1 ) ⋅ J( R ) = 0 , de donde T u · J( R ) ⊆ T u −1 . En consecuencia, la inducción sobre i muestra que todos los enteros no negativos i y u (para los que tiene sentido lo siguiente) satisfacen T u ⋅ (J( R )) i ⊆ T u − i . Aplicando esto a u = i = k se obtiene el resultado.
Citas
^ "Sección 10.18 (0AMD): El radical de Jacobson de un anillo: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 24 de diciembre de 2020 .
^ abc Isaacs 1994, pág. 182
^ Isaacs 1994, pág. 173, Problema 12.5
^ Lam 2001, pág. 46, Ejemplo 3.15
^ Isaacs 1994, pág. 180, Corolario 13.4
^ de Isaacs 1994, pág. 181
^ Lam 2001, pág. 50.
^ Lam 2001, pág. 63
^ Smoktunowicz 2006, pag. 260, §5
Referencias
Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 13 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, Sr. 1245487
Herstein, IN (1994) [1968], Anillos no conmutativos , Carus Mathematical Monographs, vol. 15, Washington, DC: Asociación Matemática de América , pp. xii+202, ISBN 0-88385-015-X, Sr. 1449137Reimpresión del original de 1968; con epílogo de Lance W. Small
Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 131 (2.ª ed.), Springer-Verlag, págs. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, Sr. 1838439
Pierce, Richard S. (1982), Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 88, Springer-Verlag, págs. xii+436, ISBN 0-387-90693-2, Sr. 0674652Estudios de Historia de la Ciencia Moderna, 9
Smoktunowicz, Agata (2006), "Algunos resultados en la teoría de anillos no conmutativos", Congreso Internacional de Matemáticos, vol. II (PDF) , European Mathematical Society , pp. 259–269, ISBN 978-3-03719-022-7, MR 2275597, archivado desde el original (PDF) el 2017-08-09 , consultado el 2014-12-31
![{\textstyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,/\,I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29be54a1328047c3246c90391137c2965438eec)