Carl Gustav Jacob Jacobi ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i / ; [2] alemán: [jaˈkoːbi] ; 10 de diciembre de 1804 – 18 de febrero de 1851) [a] fue un matemático alemán que hizo contribuciones fundamentales a las funciones elípticas , la dinámica y el diferencial. ecuaciones , determinantes y teoría de números .
Jacobi nació de ascendencia judía asquenazí en Potsdam el 10 de diciembre de 1804. Era el segundo de cuatro hijos del banquero Simon Jacobi. Su hermano mayor, Moritz , también sería conocido más tarde como ingeniero y físico. Inicialmente, su tío Lehman lo educó en casa, quien lo instruyó en los lenguajes clásicos y elementos de las matemáticas. En 1816, Jacobi, de doce años, ingresó al gimnasio de Potsdam , donde a los estudiantes se les enseñaban todas las materias habituales: lenguas clásicas, historia, filología, matemáticas, ciencias, etc. Como resultado de la buena educación que había recibido de su tío, así como sus propias habilidades notables, después de menos de medio año Jacobi fue trasladado al último año a pesar de su corta edad. Sin embargo, como la Universidad no aceptaba estudiantes menores de 16 años, tuvo que permanecer en la promoción superior hasta 1821. Aprovechó este tiempo para ampliar sus conocimientos, mostrando interés por todas las materias, incluidas latín, griego, filología, historia y matemáticas. Durante este período también hizo sus primeros intentos de investigación, intentando resolver la ecuación quíntica por radicales . [4] [5]
En 1821 Jacobi fue a estudiar a la Universidad de Berlín , donde inicialmente dividió su atención entre sus pasiones por la filología y las matemáticas . En filología participó en los seminarios de Böckh , llamando la atención del profesor con su talento. Jacobi no siguió muchas clases de matemáticas en ese momento, ya que consideraba que el nivel de matemáticas que se enseñaba en la Universidad de Berlín era demasiado elemental. Continuó, en cambio, con su estudio privado de las obras más avanzadas de Euler , Lagrange y Laplace . En 1823 comprendió que necesitaba tomar una decisión entre sus intereses en competencia y decidió dedicar toda su atención a las matemáticas. [6] Ese mismo año obtuvo el título para enseñar en la escuela secundaria y le ofrecieron un puesto en el gimnasio Joachimsthal de Berlín. En cambio, Jacobi decidió seguir trabajando para conseguir un puesto universitario. En 1825 obtuvo el título de Doctor en Filosofía con una disertación sobre la descomposición parcial de fracciones racionales defendida ante una comisión dirigida por Enno Dirksen . Siguió inmediatamente su habilitación y al mismo tiempo se convirtió al cristianismo. Jacobi, de 21 años, ahora cualificado para impartir clases universitarias, dio una conferencia en 1825/26 sobre teoría de curvas y superficies en la Universidad de Berlín. [6] [7]
En 1826, Jacobi se convirtió en profesor privado , al año siguiente en profesor extraordinario y, finalmente, en 1829, profesor titular de matemáticas en la Universidad de Königsberg , y ocupó la cátedra hasta 1842. Sufrió una crisis nerviosa por exceso de trabajo en 1843. Luego visitó Italia por unos meses para recuperar su salud. A su regreso se trasladó a Berlín, donde vivió como pensionado real, salvo un brevísimo intervalo, hasta su muerte. [3] Durante la Revolución de 1848, Jacobi estuvo involucrado políticamente y presentó sin éxito su candidatura parlamentaria en nombre de un club liberal . Esto llevó, después de la represión de la revolución, a que se le cortara su concesión real, pero su fama y reputación eran tales que pronto se recuperó, gracias a la intervención personal de Alexander von Humboldt .
Jacobi murió en 1851 a causa de una infección de viruela . Su tumba se conserva en un cementerio en el barrio berlinés de Kreuzberg , el Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde (calle Baruther, 61). Su tumba está cerca de la del astrónomo Johann Encke . El cráter Jacobi de la Luna lleva su nombre.
Uno de los mayores logros de Jacobi fue su teoría de las funciones elípticas y su relación con la función theta elíptica . Esto fue desarrollado en su gran tratado Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829), y en artículos posteriores en el Crelle's Journal . Las funciones theta son de gran importancia en física matemática debido a su papel en el problema inverso de flujos periódicos y cuasiperiódicos. Las ecuaciones de movimiento son integrables en términos de funciones elípticas de Jacobi en los casos bien conocidos del péndulo , la cima de Euler , la cima simétrica de Lagrange en un campo gravitacional y el problema de Kepler (movimiento planetario en un campo gravitacional central).
También hizo contribuciones fundamentales en el estudio de las ecuaciones diferenciales y de la mecánica clásica , en particular la teoría de Hamilton-Jacobi .
Fue en el desarrollo algebraico donde residió principalmente el poder particular de Jacobi, e hizo importantes contribuciones de este tipo en muchas áreas de las matemáticas, como lo demuestra su larga lista de artículos en el Crelle's Journal y otros lugares desde 1826 en adelante. [3] Se dice que les dijo a sus estudiantes que al buscar un tema de investigación, uno debería 'Invertir, siempre invertir' (original alemán: "man muss immer umkehren" ), reflejando su creencia de que invertir resultados conocidos puede abrir nuevas puertas. campos de investigación, por ejemplo, invertir integrales elípticas y centrarse en la naturaleza de las funciones elípticas y theta. [8]
En su artículo de 1835, Jacobi demostró el siguiente resultado básico al clasificar funciones periódicas (incluidas las elípticas):
Si una función univariada de un solo valor es periódica múltiple , entonces dicha función no puede tener más de dos períodos y la proporción de los períodos no puede ser un número real.
Descubrió muchas de las propiedades fundamentales de las funciones theta, incluida la ecuación funcional y la fórmula del triple producto de Jacobi , así como muchos otros resultados sobre series q y series hipergeométricas .
La solución del problema de inversión de Jacobi para el mapa hiperelíptico de Abel por Weierstrass en 1854 requirió la introducción de la función theta hiperelíptica y más tarde la función theta de Riemann general para curvas algebraicas de género arbitrario . El toro complejo asociado a una curva algebraica de género, obtenido cociente por la red de períodos, se denomina variedad jacobiana . Este método de inversión, y su posterior extensión por parte de Weierstrass y Riemann a curvas algebraicas arbitrarias, puede verse como una generalización de género superior de la relación entre integrales elípticas y las funciones elípticas de Jacobi o Weierstrass.
Jacobi fue el primero en aplicar funciones elípticas a la teoría de números , demostrando por ejemplo el teorema de los dos cuadrados de Fermat y el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , y resultados similares para 6 y 8 cuadrados.
Su otro trabajo en teoría de números continuó el trabajo de Gauss : nuevas pruebas de reciprocidad cuadrática y la introducción del símbolo de Jacobi ; contribuciones a leyes superiores de reciprocidad, investigaciones de fracciones continuas y la invención de las sumas de Jacobi .
También fue uno de los primeros fundadores de la teoría de los determinantes. [9] En particular, inventó el determinante jacobiano formado a partir de las n 2 derivadas parciales de n funciones dadas de n variables independientes, que juega un papel importante en los cambios de variables en integrales múltiples y en muchas investigaciones analíticas. [3] En 1841 reintrodujo la notación derivada parcial ∂ de Legendre , que se convertiría en estándar.
Fue uno de los primeros en introducir y estudiar los polinomios simétricos que ahora se conocen como polinomios de Schur , dando para estos la llamada fórmula bialternante , que es un caso especial de la fórmula de caracteres de Weyl , y derivando las identidades de Jacobi-Trudi . También descubrió la fórmula de Desnanot-Jacobi para los determinantes , que subyace a las relaciones de Plucker para los Grassmannianos .
Los estudiantes de campos vectoriales , teoría de Lie , mecánica hamiltoniana y álgebras de operadores a menudo se encuentran con la identidad de Jacobi , el análogo de la asociatividad para la operación entre corchetes de Lie .
La teoría planetaria y otros problemas dinámicos particulares también ocuparon su atención de vez en cuando. Mientras contribuía a la mecánica celeste , introdujo la integral de Jacobi (1836) para un sistema de coordenadas sideral . Su teoría del último multiplicador se trata en Vorlesungen über Dynamik , editado por Alfred Clebsch (1866). [3]
Dejó muchos manuscritos, partes de los cuales se han publicado a intervalos en el Crelle's Journal. Sus otras obras incluyen Commentatio de transforme integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839) y Opuscula mathematica (1846-1857). Sus Gesammelte Werke (1881-1891) fueron publicadas por la Academia de Berlín . [3]
