Grupo co-hopfiano

En la disciplina matemática de la teoría de grupos , un grupo cohopfiano es un grupo que no es isomorfo a ninguno de sus subgrupos propios . La noción es dual a la de grupo hopfiano , llamado así en honor a Heinz Hopf . ^[1]

Definición formal

Un grupo G se llama co-Hopfiano si siempre que es un homomorfismo de grupo inyectivo entonces es sobreyectivo , es decir . ^[2] ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (G)=G}$

Ejemplos y no ejemplos

• Todo grupo finito G es co-Hopfiano.
• El grupo cíclico infinito no es co-Hopfiano ya que es un homomorfismo inyectivo pero no sobreyectivo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,f(n)=2n}$
• El grupo aditivo de los números reales no es co-Hopfiano, ya que es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre y, por lo tanto, como grupo . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$
• El grupo aditivo de los números racionales y el grupo del cociente son co-hopfianos. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$
• El grupo multiplicativo de números racionales distintos de cero no es co-Hopfiano, ya que la función es un homomorfismo inyectivo pero no sobreyectivo. ^[2] De la misma manera, el grupo de números racionales positivos no es co-Hopfiano. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }\to \mathbb {Q} ^{\ast },q\mapsto \operatorname {sign} (q)\,q^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\ast }}$
• El grupo multiplicativo de números complejos distintos de cero no es co-Hopfiano. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$
• Para cada grupo abeliano libre no es co-Hopfiano. ^[2] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$
• Para cada grupo libre no es co-Hopfiano. ^[2] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle F_{n}}$
• Existe un grupo no elemental (es decir, no virtualmente cíclico) virtualmente libre y finitamente generado que es cohopfiano. Por lo tanto, un subgrupo de índice finito en un grupo cohopfiano finitamente generado no necesita ser cohopfiano, y ser cohopfiano no es un invariante cuasi-isométrico para grupos finitamente generados. ^[3]
• Los grupos Baumslag–Solitar , donde , no son co-Hopfianos. ^[4] ${\displaystyle BS(1,m)}$ ${\displaystyle m\geq 1}$
• Si G es el grupo fundamental de una variedad asférica cerrada con característica de Euler distinta de cero (o con volumen simplicial distinto de cero o número L ² -Betti distinto de cero ), entonces G es co-Hopfiano. ^[5]
• Si G es el grupo fundamental de una 3-variedad irreducible, orientada, conexa y cerrada M, entonces G es co-hopfiano si y sólo si ninguna cubierta finita de M es un fibrado toral sobre el círculo o el producto de un círculo y una superficie cerrada. ^[6]
• Si G es una red irreducible en un grupo de Lie semisimple real y G no es un grupo virtualmente libre , entonces G es co-Hopfiano. ^[7] Por ejemplo, este hecho se aplica al grupo para . ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\geq 3}$
• Si G es un grupo hiperbólico de palabras libre de torsión de un extremo, entonces G es co-Hopfiano, por un resultado de Sela . ^[8]
• Si G es el grupo fundamental de una variedad riemanniana n- completa de volumen finito suave (donde n > 2) de curvatura negativa pinzada, entonces G es co-hopfiano. ^[9]
• El grupo de clases de mapeo de una superficie hiperbólica cerrada es co-Hopfiano. ^[10]
• El grupo Out( F _n ) (donde n >2) es co-Hopfiano. ^[11]
• Delzant y Polyagailo dieron una caracterización de co-Hopficiity para grupos kleinianos geométricamente finitos de isometrías sin 2-torsión. ^[12] ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$
• Un grupo de Artin en ángulo recto (donde es un grafo finito no vacío) no es co-Hopfiano; enviar cada generador estándar de a una potencia define y el endomorfismo de es inyectivo pero no sobreyectivo. ^[13] ${\displaystyle A(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A(\Gamma )}$ ${\displaystyle >1}$ ${\displaystyle A(\Gamma )}$
• Un grupo nilpotente libre de torsión generado finitamente G puede ser co-hopfiano o no co-hopfiano, dependiendo de las propiedades de su álgebra de Lie racional asociada . ^{[5] [3]}
• Si G es un grupo relativamente hiperbólico y es un endomorfismo inyectivo pero no sobreyectivo de G , entonces es parabólico para algún k > 1 o G se divide en un subgrupo virtualmente cíclico o parabólico. ^[14] ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ ${\displaystyle \varphi ^{k}(G)}$
• El grupo G de Grigorchuk de crecimiento intermedio no es co-Hopfiano. ^[15]
• El grupo F de Thompson no es co-Hopfiano. ^[16]
• Existe un grupo finitamente generado G que no es co-Hopfiano pero tiene la propiedad de Kazhdan (T) . ^[17]
• Si G es el grupo universal finitamente presentado de Higman , entonces G no es co-Hopfiano, y G no puede ser incluido en un grupo co-Hopfiano presentado recursivamente y finitamente generado. ^[18]

Generalizaciones y nociones relacionadas

• Un grupo G se llama finitamente cohopfiano ^[19] si siempre que es un endomorfismo inyectivo cuya imagen tiene índice finito en G entonces . Por ejemplo, para el grupo libre no es cohopfiano pero es finitamente cohopfiano. ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ ${\displaystyle \varphi (G)=G}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle F_{n}}$
• Un grupo finitamente generado G se denomina invariante en escala si existe una secuencia anidada de subgrupos de índice finito de G , cada uno isomorfo a G , y cuya intersección es un grupo finito. ^[4]
• Un grupo G se llama discohopfiano ^[3] si existe un endomorfismo inyectivo tal que . ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }\varphi ^{n}(G)=\{1\}}$
• En geometría básica , un espacio métrico X se denomina co-Hopf cuasi-isométrico si cada incrustación cuasi-isométrica es sobreyectiva gruesa (es decir, es una cuasi-isometría). De manera similar, X se denomina co-Hopf grueso si cada incrustación gruesa es sobreyectiva gruesa. ^[20] ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle f:X\to X}$
• En geometría métrica , un espacio métrico K se denomina co-Hopf cuasisimétrico si cada incrustación cuasisimétrica es sobre. ^[21] ${\displaystyle K\to K}$

Véase también

• Objeto hopfiano

Referencias

1. Wilhelm Magnus , Abraham Karrass, Donald Solitar, Combinatorial group theory. Presentations of groups in Terms of Generators and Relations , Reimpresión de la segunda edición de 1976, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2004. ISBN  0-486-43830-9
2. P. de la Harpe, Temas de la teoría de grupos geométricos. Conferencias de Matemáticas de Chicago. Prensa de la Universidad de Chicago, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6 ; pag. 58 
3. Yves Cornulier, Graduaciones de álgebras de Lie, crecimiento sistólico y propiedades cohopfianas de grupos nilpotentes . Bulletin de la Société Mathématique de France 144 (2016), núm. 4, págs. 693–744
4. Volodymyr Nekrashevych y Gábor Pete, Grupos invariantes de escala . Grupos, geometría y dinámica 5 (2011), n.º 1, págs. 139-167
5. Igor Belegradek, Sobre grupos nilpotentes co-hopfianos . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres 35 (2003), n.º 6, págs. 805-811
6. Shi Cheng Wang y Ying Qing Wu, Invariantes de cobertura y co-Hopficiency de grupos de 3 variedades. Actas de la London Mathematical Society 68 (1994), n.º 1, págs. 203-224
7. Gopal Prasad Subgrupos discretos isomorfos a redes en grupos de Lie semisimples . American Journal of Mathematics 98 (1976), n.º 1, 241–261
8. Zlil Sela , Estructura y rigidez en grupos hiperbólicos (de Gromov) y grupos discretos en grupos de Lie de rango 1. II. Análisis geométrico y funcional 7 (1997), n.º 3, págs. 561–593
9. I. Belegradek, Sobre la rigidez de Mostow para curvatura negativa variable . Topología 41 (2002), n.º 2, págs. 341–361
10. Nikolai Ivanov y John McCarthy, Sobre homomorfismos inyectivos entre grupos modulares de Teichmüller. I. Inventiones Mathematicae 135 (1999), núm. 2, págs. 425–486
11. Benson Farb y Michael Handel, Commensuraciones de Out ( F _n ) , Publications Mathématiques de l'IHÉS 105 (2007), págs. 1–48
12. Thomas Delzant y Leonid Potyagailo, Endomorfismos de grupos kleinianos . Análisis geométrico y funcional 13 (2003), n.º 2, págs. 396-436
13. Montserrat Casals-Ruiz, Incrustación y clasificación cuasi-isométrica de grupos parcialmente conmutativos . Topología algebraica y geométrica 16 (2016), n.º 1, 597–620
14. Cornelia Druţu y Mark Sapir , Grupos que actúan en espacios arborescentes y desdoblamientos de grupos relativamente hiperbólicos . Advances in Mathematics 217 (2008), n.º 3, págs. 1313-1367
15. Igor Lysënok, Un conjunto de relaciones definitorias para el grupo Grigorchuk. (en ruso) Matematicheskie Zametki 38 (1985), núm. 4, 503–516
16. Bronlyn Wassink, Subgrupos del grupo F de R. Thompson que son isomorfos a F. Grupos, complejidad, criptología 3 (2011), n.º 2, 239-256
17. Yann Ollivier y Daniel Wise , Grupos de Kazhdan con grupo de automorfismo externo infinito . Transactions of the American Mathematical Society 359 (2007), n.º 5, págs. 1959-1976
18. Charles F. Miller y Paul Schupp , Incrustaciones en grupos hopfianos . Journal of Algebra 17 (1971), págs. 171-176
19. Martin Bridson , Daniel Groves, Jonathan Hillman, Gaven Martin , Grupos cofinitamente hopfianos, aplicaciones abiertas y complementos de nudos. Groups, Geometry, and Dynamics 4 (2010), n.º 4, págs. 693–707
20. Ilya Kapovich y Anton Lukyanenko, Co-Hopficiity cuasisométrica de redes no uniformes en grupos de Lie semisimples de rango uno. Geometría y dinámica conforme 16 (2012), págs. 269-282
21. Sergei Merenkov, Una alfombra de Sierpiński con la propiedad co-Hopfian . Invenciones Mathematicae 180 (2010), núm. 2, págs. 361–388

Lectura adicional

• K. Varadarajan, Objetos hopfianos y co-hopfianos, Publicacions Matemàtiques 36 (1992), núm. 1, págs. 293–317