Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch es un resultado de gran alcance sobre cohomología coherente . Es una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , sobre variedades complejas , que a su vez es una generalización del teorema clásico de Riemann-Roch para fibrados lineales en superficies de Riemann compactas .

Los teoremas de tipo Riemann-Roch relacionan las características de Euler de la cohomología de un fibrado vectorial con sus grados topológicos , o más generalmente sus clases características en (co)homología o análogos algebraicos de las mismas. El teorema clásico de Riemann-Roch hace esto para fibrados de curvas y líneas, mientras que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch lo generaliza a fibrados vectoriales sobre variedades. El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch establece ambos teoremas en una situación relativa de un morfismo entre dos variedades (o esquemas más generales ) y cambia el teorema de un enunciado sobre un fibrado único a uno que se aplica a complejos en cadena de haces .

El teorema ha sido muy influyente, sobre todo en el desarrollo del teorema del índice de Atiyah-Singer . Por el contrario, los análogos analíticos complejos del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch pueden demostrarse utilizando el teorema del índice para familias. Alexander Grothendieck dio una primera prueba en un manuscrito de 1957, publicado posteriormente. ^[1] Armand Borel y Jean-Pierre Serre escribieron y publicaron la prueba de Grothendieck en 1958. ^[2] Más tarde, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la prueba. ^[3]

Formulación

Sea X un esquema cuasi-proyectivo suave sobre un cuerpo . Bajo estos supuestos, el grupo de Grothendieck de complejos acotados de haces coherentes es canónicamente isomorfo al grupo de Grothendieck de complejos acotados de fibrados vectoriales de rango finito. Utilizando este isomorfismo, considere el carácter de Chern (una combinación racional de clases de Chern ) como una transformación funcional : ${\displaystyle K_{0}(X)}$

${\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),}$

donde es el grupo de Chow de ciclos sobre X de dimensión d módulo equivalencia racional , tensorizado con los números racionales . En caso de que X esté definido sobre los números complejos , el último grupo se asigna al grupo de cohomología topológica : ${\displaystyle A_{d}(X,\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).}$

Consideremos ahora un morfismo adecuado entre esquemas cuasi-proyectivos suaves y un complejo acotado de haces en ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {{\mathcal {F}}^{\bullet }}}$ ${\displaystyle X.}$

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch relaciona la función pushforward

${\displaystyle f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)}$

(suma alternada de imágenes directas superiores ) y el empuje hacia adelante

${\displaystyle f_{*}\colon A(X)\to A(Y),}$

por la fórmula

c h ( f ! F ∙ ) t d ( Y ) = f ∗ ( c h ( F ∙ ) t d ( X ) ) . {\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}

Aquí está el género de Todd de (el fibrado tangente de) X . Por lo tanto, el teorema proporciona una medida precisa de la falta de conmutatividad de tomar el empuje hacia delante en los sentidos anteriores y el carácter de Chern y muestra que los factores de corrección necesarios dependen solo de X e Y. De hecho, dado que el género de Todd es funcional y multiplicativo en secuencias exactas , podemos reescribir la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch como ${\displaystyle \mathrm {td} (X)}$

${\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),}$

donde es el haz tangente relativo de f , definido como el elemento en . Por ejemplo, cuando f es un morfismo suave , es simplemente un fibrado vectorial, conocido como fibrado tangente a lo largo de las fibras de f . ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle TX-f^{*}(TY)}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle T_{f}}$

Utilizando la teoría de homotopía ^{A 1} , Navarro y Navarro (2017) extendieron el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a la situación donde f es una función propia entre dos esquemas suaves.

Generalizar y especializar

Se pueden hacer generalizaciones del teorema al caso no suave considerando una generalización apropiada de la combinación y al caso no apropiado considerando la cohomología con soporte compacto . ${\displaystyle \mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)}$

El teorema aritmético de Riemann-Roch extiende el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a los esquemas aritméticos .

El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es (esencialmente) el caso especial donde Y es un punto y el campo es el campo de números complejos.

Ivan Panin y Alexander Smirnov demostraron una versión del teorema de Riemann-Roch para teorías de cohomología orientada. ^[4] Se ocupa de operaciones multiplicativas entre teorías de cohomología orientada algebraica (como el cobordismo algebraico ). El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch es un caso particular de este resultado, y el carácter de Chern surge naturalmente en este contexto. ^[5]

Ejemplos

Paquetes vectoriales en una curva

Un fibrado vectorial de rango y grado (definido como el grado de su determinante; o equivalentemente el grado de su primera clase de Chern) en una curva proyectiva suave sobre un cuerpo tiene una fórmula similar a la de Riemann-Roch para fibrados lineales. Si tomamos y un punto, entonces la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch puede leerse como ${\displaystyle E\to C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X=C}$ ${\displaystyle Y=\{*\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}}$

por eso,

${\displaystyle \chi (C,E)=d+n(1-g).}$^[6]

Esta fórmula también es válida para haces coherentes de rango y grado . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

Mapas suaves y adecuados

Una de las ventajas de la fórmula de Grothendieck–Riemann–Roch es que puede interpretarse como una versión relativa de la fórmula de Hirzebruch–Riemann–Roch. Por ejemplo, un morfismo suave tiene fibras que son todas equidimensionales (e isomorfas como espacios topológicos cuando la base cambia a ). Este hecho es útil en la teoría de módulos cuando se considera un espacio de módulos que parametriza espacios propios suaves. Por ejemplo, David Mumford utilizó esta fórmula para deducir relaciones del anillo de Chow en el espacio de módulos de curvas algebraicas . ^[7] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Módulos de curvas

Para la pila de módulos de curvas de género (y sin puntos marcados) hay una curva universal donde es la pila de módulos de curvas de género y un punto marcado. Luego, define las clases tautológicas ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}}$

donde y es el haz dualizante relativo. Nótese que la fibra de sobre un punto es el haz dualizante . Pudo encontrar relaciones entre y describiendo en términos de una suma de ^[7] (corolario 6.2) en el anillo de chow del lugar geométrico liso usando Grothendieck–Riemann–Roch. Debido a que es una pila Deligne–Mumford lisa , consideró una cobertura por un esquema que presenta para algún grupo finito . Usa Grothendieck–Riemann–Roch en para obtener ${\displaystyle 1\leq l\leq g}$ ${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}$ ${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}$ ${\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle A^{*}({\mathcal {M}}_{g})}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}$

Porque

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},}$

Esto da la fórmula

${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}$

El cálculo de puede entonces reducirse aún más. En dimensiones pares , ${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )}$ ${\displaystyle 2k}$

${\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.}$

Además, en la dimensión 1,

${\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}$

donde es una clase en el límite. En el caso y en el lugar geométrico liso existen las relaciones ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle g=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}$

lo cual se puede deducir analizando el carácter de Chern de . ${\displaystyle \mathbb {E} }$

Incrustación cerrada

Las incrustaciones cerradas también tienen una descripción que utiliza la fórmula de Grothendieck–Riemann–Roch, lo que muestra otro caso no trivial donde se cumple la fórmula. ^[8] Para una variedad suave de dimensión y una subvariedad de codimensión , existe la fórmula ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}$

Usando la secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0}$,

Ahí está la fórmula

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}$

para la gavilla ideal desde . ${\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})}$

Aplicaciones

Cuasi-proyectividad de espacios de módulos

Grothendieck–Riemann–Roch se puede utilizar para demostrar que un espacio de módulos grueso , como el espacio de módulos de curvas algebraicas puntiagudas , admite una incrustación en un espacio proyectivo, por lo tanto es una variedad cuasi-proyectiva . Esto se puede lograr observando haces asociados canónicamente en y estudiando el grado de los fibrados de líneas asociados. Por ejemplo, ^[9] tiene la familia de curvas ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{g,n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{g,n}}$

${\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}$

con secciones

${\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}$

correspondientes a los puntos marcados. Como cada fibra tiene el fibrado canónico , existen los fibrados de líneas asociados y resulta que ${\displaystyle \omega _{C}}$ $${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))}$$ $${\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}$$

${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)}$

es un fibrado lineal amplio ^{[9] pág. 209} , por lo tanto, el espacio de módulos gruesos es cuasi-proyectivo. ${\displaystyle M_{g,n}}$

Historia

La versión de Alexander Grothendieck del teorema de Riemann-Roch fue comunicada originalmente en una carta a Jean-Pierre Serre alrededor de 1956-1957. Se hizo pública en la primera Conferencia de Bonn , en 1957. Serre y Armand Borel organizaron posteriormente un seminario en la Universidad de Princeton para comprenderla. El artículo final publicado fue, en efecto, la exposición de Borel-Serre.

La importancia del enfoque de Grothendieck se basa en varios puntos. En primer lugar, Grothendieck cambió el enunciado en sí: en ese momento, se entendía que el teorema era un teorema sobre una variedad , mientras que Grothendieck lo veía como un teorema sobre un morfismo entre variedades. Al encontrar la generalización correcta, la prueba se volvió más simple mientras que la conclusión se volvió más general. En resumen, Grothendieck aplicó un enfoque categórico fuerte a una pieza difícil de análisis . Además, Grothendieck introdujo los K-grupos , como se discutió anteriormente, lo que allanó el camino para la K-teoría algebraica .

Véase también

• Fórmula de Riemann-Roch de Kawasaki

Notas

1. A. Grothendieck. Clases de faisceaux et théorème de Riemann-Roch (1957). Publicado en SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.
2. Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958). "El teorema de Riemann-Roch". Boletín de la Société Mathématique de France . 86 : 97-136. doi : 10.24033/bsmf.1500 . SEÑOR  0116022.
3. SGA 6, Springer-Verlag (1971).
4. Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2002). "Avances en las teorías de cohomología orientada de variedades algebraicas".
5. Morel, Fabien ; Levine, Marc, Cobordismo algebraico (PDF) , Springer, véase 4.2.10 y 4.2.11
6. Morrison; Harris. Módulos de curvas . pág. 154.
7. Mumford, David (1983). "Hacia una geometría enumerativa del espacio de módulos de curvas". Aritmética y geometría . págs. 271–328. doi :10.1007/978-1-4757-9286-7_12. ISBN 978-0-8176-3133-8.
8. Fulton. Teoría de la intersección . pág. 297.
9. Knudsen, Finn F. (1983-12-01). "La proyectividad del espacio de módulos de curvas estables, III: Los fibrados lineales en M g , n {\displaystyle M_{g,n}} , y una prueba de la proyectividad de M ¯ g , n {\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}} en característica 0". Mathematica Scandinavica . 52 : 200–212. doi : 10.7146/math.scand.a-12002 . ISSN  1903-1807.

Referencias

• Berthelot, Pierre (1971). Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clases de matemáticas 225 ) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 225. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi :10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.
• Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958), "Le théorème de Riemann–Roch", Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés), 86 : 97–136, doi : 10.24033/bsmf.1500 , ISSN  0037-9484, SEÑOR  0116022
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-62046-X, MR  1644323, Zbl  0885.14002
• Navarro, Alberto; Navarro, José (2017), Sobre la fórmula de Riemann-Roch sin hipótesis proyectiva , arXiv : 1705.10769 , Bibcode :2017arXiv170510769N
• Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2000). "Avances en las teorías de cohomología orientada de variedades algebraicas".
• "El teorema de Grothendieck, Riemann-Roch". 3264 y todo eso . 2016. págs. 481–510. doi :10.1017/CBO9781139062046.016. ISBN 9781107017085.

Enlaces externos

• El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
• El hilo "¿Aplicaciones de Grothendieck-Riemann-Roch?" en MathOverflow .
• El hilo "¿Cómo se entiende GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" en MathOverflow .
• El hilo "Clase Chern del haz ideal" en Stack Exchange .