Teoría de la homotopía A¹

Aplicación de la homotopía a variedades algebraicas

En geometría algebraica y topología algebraica , ramas de las matemáticas , la teoría de homotopía A ¹ o teoría de homotopía motívica es una forma de aplicar las técnicas de la topología algebraica, específicamente la homotopía , a las variedades algebraicas y, de manera más general, a los esquemas . La teoría se debe a Fabien Morel y Vladimir Voevodsky . La idea subyacente es que debería ser posible desarrollar un enfoque puramente algebraico para la teoría de homotopía reemplazando el intervalo unitario [0, 1] , que no es una variedad algebraica, con la línea afín A ¹ , que sí lo es. La teoría ha visto aplicaciones espectaculares como la construcción de Voevodsky de la categoría derivada de motivos mixtos y la prueba de las conjeturas de Milnor y Bloch-Kato .

Construcción

La teoría de homotopía ^{A 1} se basa en una categoría llamadacategoría de homotopía A ¹ . En pocas palabras, lacategoría de homotopía A ¹ , o más bien el funtor canónico , es el funtor universal de la categoríaesquemassuaves hacia una categoría de infinito que satisface la descendencia de Nisnevich , de modo que la línea afín A ¹ se vuelve contráctil. A continuaciónse muestra un esquema base preseleccionado (por ejemplo, el espectro de los números complejos). ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$ ${\displaystyle Sm_{S}\to {\mathcal {H}}(S)}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Spec(\mathbb {C} )}$

Esta definición en términos de una propiedad universal no es posible sin las categorías de infinito. Éstas no estaban disponibles en los años 90 y la definición original pasa por la teoría de categorías modelo de Quillen . Otra forma de ver la situación es que la definición original de Morel-Voevodsky produce un modelo concreto para (la categoría de homotopía de) la categoría de infinito . ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$

Esta construcción más concreta se esboza a continuación.

Paso 0

Elija un esquema base . Clásicamente, se pide que sea noetheriano, pero muchos autores modernos como Marc Hoyois trabajan con esquemas base cuasi-compactos y cuasi-separados. En cualquier caso, muchos resultados importantes solo se conocen sobre un cuerpo base perfecto, como los números complejos, por lo que consideraremos solo este caso. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Paso 1

Paso 1a: haces de Nisnevich . Clásicamente, la construcción comienza con la categoría de haces de Nisnevich sobre la categoría de esquemas lisos sobre . Heurísticamente, esto debería considerarse como (y en un sentido técnico preciso es ) la ampliación universal de obtenida al unir todos los colímites y forzar que se satisfaga la descendencia de Nisnevich. ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$

Paso 1b: haces simpliciales . Para realizar con mayor facilidad los procedimientos teóricos de homotopía estándar, como los colimites de homotopía y los límites de homotopía, se sustituyen por la siguiente categoría de haces simpliciales. ${\displaystyle Shv_{Nis}(Sm_{S})}$

Sea Δ la categoría simplex , es decir, la categoría cuyos objetos son los conjuntos

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

y cuyos morfismos son funciones que preservan el orden. Denotamos la categoría de funtores . Es decir, es la categoría de objetos simpliciales en . Un objeto de este tipo también se denomina haz simplicial en . ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}\to Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$

Paso 1c: funtores de fibra . Para cualquier esquema suave , cualquier punto y cualquier haz , escribamos para el tallo de la restricción de al pequeño sitio de Nisnevich de . Explícitamente, donde el colimite es sobrefactorizaciones de la inclusión canónica a través de un morfismo étale . La colección es una familia conservativa de funtores de fibra para . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x^{*}F}$ ${\displaystyle F|_{X_{Nis}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}F=colim_{x\to V\to X}F(V)}$ ${\displaystyle x\to V\to X}$ ${\displaystyle x\to X}$ ${\displaystyle V\to X}$ ${\displaystyle \{x^{*}\}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

Paso 1d: la estructura del modelo cerrado . Definiremos una estructura de modelo cerrado en términos de funtores de fibra. Sea un morfismo de haces simpliciales. Decimos que: ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

• f es una equivalencia débil si, para cualquier funtor de fibra x de T , el morfismo de conjuntos simpliciales es una equivalencia débil. ${\displaystyle x^{*}f:x^{*}{\mathcal {X}}\to x^{*}{\mathcal {Y}}}$
• f es una cofibración si es un monomorfismo.
• f es una fibración si tiene la propiedad de elevación correcta con respecto a cualquier cofibración que sea una equivalencia débil.

La categoría de homotopía de esta estructura modelo se denota . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}(T)}$

Paso 2

Esta estructura modelo tiene descendencia de Nisnevich, pero no contrae la línea afín. Un haz simplicial se llama -local si para cualquier haz simplicial la función ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}}\times \mathbb {A} ^{1},{\mathcal {X}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {X}})}$

inducido por es una biyección. Aquí lo consideramos como un haz a través de la incrustación de Yoneda y el funtor de objeto simplicial constante . ${\displaystyle i_{0}:\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}\to \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

Un morfismo es una equivalencia -débil si para cualquier -local , la función inducida ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {Z}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {X}},{\mathcal {Z}})}$

es una biyección. La estructura del modelo -local es la localización del modelo anterior con respecto a las equivalencias -débiles. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Definición formal

Finalmente podemos definir la categoría ^{de homotopía} A1 .

Definición. Sea S un esquema noetheriano de dimensión finita (por ejemplo, el espectro de los números complejos), y sea Sm _{/ S} la categoría de esquemas suaves sobre S . Equipemos Sm _{/ S} con la topología de Nisnevich para obtener el sitio ( Sm _{/ S} ) _Nis . La categoría de homotopía (o categoría de infinito) asociada a la estructura del modelo -local en se denomina categoría de homotopía A ¹ - . Se denota . De manera similar, para los haces simpliciales puntiagudos hay una categoría de homotopía puntiaguda asociada . ${\displaystyle S=Spec(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s,*}}$

Nótese que por construcción, para cualquier X en Sm _{/ S} , existe un isomorfismo

X × _S A¹
_S≅ X ,

en la categoría de homotopía.

Propiedades de la teoría

Productos de cuña y aplastamiento de (pre)gavillas simples

Debido a que comenzamos con una categoría de modelo simplicial para construir la categoría de -homotopía, hay varias estructuras heredadas de la teoría abstracta de categorías de modelos simpliciales. En particular, para haces simpliciales puntiagudos en podemos formar el producto de cuña como el colimite ${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}*&\to &{\mathcal {X}}\\\downarrow &&\\{\mathcal {Y}}\end{matrix}}\right\}}$

y el producto estrella se define como

${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge {\mathcal {Y}}={\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}/{\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}}$

recuperando algunas de las construcciones clásicas de la teoría de la homotopía. Hay además un cono de un (pre)haz simplicial y un cono de un morfismo, pero para definirlos es necesario definir las esferas simpliciales.

Esferas simples

Del hecho de que comenzamos con una categoría de modelo simplicial, esto significa que hay un functor cosimplicial.

${\displaystyle \Delta ^{\bullet }:\Delta \to \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

Definiendo los símplices en . Recordemos que el n-símplex algebraico está dado por el esquema - ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}]}{(t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}-1)}}\right)}$

Incorporando estos esquemas como prehaces constantes y agrupando, obtenemos objetos en , que denotamos por . Estos son los objetos en la imagen de , es decir . Luego, utilizando la teoría abstracta de homotopía simplicial, obtenemos las esferas simpliciales ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])}$ ${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])=\Delta ^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\Delta ^{n}/\partial \Delta ^{n}}$

Podemos entonces formar el cono de un (pre)haz simplicial como

${\displaystyle C({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge \Delta ^{1}}$

y forman el cono de un morfismo como colimite del diagrama ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle C(f)={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\xrightarrow {f} &{\mathcal {Y}}\\\downarrow &&\\C({\mathcal {X}})\end{matrix}}\right\}}$

Además, la cofibra de es simplemente la suspensión . En la categoría de homotopía puntiaguda existe además el functor de suspensión. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\to C(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge S^{1}=\Sigma {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \Sigma :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$dado por ${\displaystyle \Sigma ({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge S^{1}}$

y su adjunto derecho

${\displaystyle \Omega :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$

llamado functor del espacio de bucle .

Observaciones

La configuración, especialmente la topología de Nisnevich , se elige para hacer que la K-teoría algebraica sea representable por un espectro y, en algunos aspectos, para hacer posible una prueba de la conjetura de Bloch-Kato.

Después de la construcción de Morel-Voevodsky, ha habido varios enfoques diferentes para la teoría de homotopía A ¹ utilizando otras estructuras de categorías de modelos o utilizando haces distintos de los de Nisnevich (por ejemplo, haces de Zariski o simplemente todos los prehaces). Cada una de estas construcciones produce la misma categoría de homotopía.

Existen dos tipos de esferas en la teoría: las que provienen del grupo multiplicativo que desempeña el papel de la 1 -esfera en topología, y las que provienen de la esfera simplicial (considerada como haz simplicial constante). Esto conduce a una teoría de esferas motívicas S ^{p , q} con dos índices. Calcular los grupos de homotopía de las esferas motívicas también daría como resultado los grupos de homotopía estables clásicos de las esferas, por lo que en este sentido una teoría de homotopía ¹ es al menos tan complicada como la teoría de homotopía clásica.

Analogías motívicas

Espacios de Eilenberg-Maclane

Para un grupo abeliano, la cohomología -motívica de un esquema suave está dada por los grupos de hipercohomología de haces. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,A):=\mathbb {H} ^{p}(X_{nis},A(q))}$

para . Representando esta cohomología está un haz abeliano simplicial denotado correspondiente a que se considera como un objeto en la categoría de homotopía motívica puntiaguda . Entonces, para un esquema suave tenemos la equivalencia ${\displaystyle A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}$ ${\displaystyle K(p,q,A)}$ ${\displaystyle A(q)[+p]}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(k)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{H_{\bullet }(k)}(X_{+},K(p,q,A))=H^{p,q}(X,A)}$

mostrando que estos haces representan espacios motívicos de Eilenberg-Maclane ^{[1] pág. 3} .

La categoría de homotopía estable

Otra construcción de la teoría de homotopía A ¹ es la categoría SH( S ), que se obtiene a partir de la categoría inestable anterior forzando al producto de choque con G _m a volverse invertible. Este proceso se puede llevar a cabo utilizando construcciones categóricas de modelos que utilizan los llamados espectros G _{m o} , alternativamente, utilizando categorías infinitas.

Para S = Spec ( R ), el espectro del campo de números reales, existe un funtor

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )\to SH}$

a la categoría de homotopía estable de la topología algebraica. El funtor se caracteriza por enviar un esquema suave X / R a la variedad real asociada a X . Este funtor tiene la propiedad de que envía la función

${\displaystyle \rho :S^{0}\to \mathbf {G} _{m},i.e.,\{-1,1\}\to Spec\mathbf {R} [x,x^{-1}]}$

a una equivalencia, ya que la homotopía es equivalente a un conjunto de dos puntos. Bachmann (2018) ha demostrado que el funtor resultante ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )[\rho ^{-1}]\to SH}$

es una equivalencia.

Referencias

1. Voevodsky, Vladimir (15 de julio de 2001). "Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica". arXiv : math/0107109 .

Artículos de encuestas y conferencias

• Morel (2002) Introducción a la teoría de la homotopía A1
• Antieau, Benjamin; Elmanto, Elden (2016), "Una introducción a la teoría de la homotopía motívica inestable", arXiv : 1605.00929 [math.AG]

Homotopía motívica

Cimientos

• Isaksen, Daniel C.; Paul Arne Østvær (2018), "Grupos de homotopía estable motívica", arXiv : 1811.05729 [math.AT]
• Morel, Fabien; Voevodsky, Vladimir (1999), "Teoría de esquemas de homotopía A1" (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 90 (90): 45–143, doi :10.1007/BF02698831, MR  1813224, S2CID  14420180 , consultado el 9 de mayo 2008
• Voevodsky, Vladimir (1998), "Teoría de la homotopía A1" (PDF) , Documenta Mathematica , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I (Berlín, 1998): 579–604, ISSN  1431-0635, MR  1648048
• Voevodsky, Vladimir (2008), "Categorías de homotopía motívica inestable en topologías de Nisnevich y CDH", arXiv : 0805.4576 [math.AG]

Álgebra de Steenrod de Motivic

• Voevodsky, Vladimir (2001), "Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica", arXiv : math/0107109
• Voevodsky, Vladimir (2008), "Espacios de Eilenberg-Maclane de Motivic", arXiv : 0805.4432 [math.AG]

Secuencia espectral de Motivic Adams

• La secuencia espectral motívica de Adams
• Teoría de la homotopía cromática motívica

Espectros

• Jardine. (1999) Espectros simétricos motívicos

Bloch-Kato

• La conjetura de Gersten para la teoría K de Milnor
• Giros de Tate y cohomología de P1

Aplicaciones

• Hoyois, Marc; Kelly, Shane; Paul Arne Østvær (2013), "El álgebra de Steenrod motívica en característica positiva", arXiv : 1305.5690 [math.AG]
• Isaksen, Daniel C.; Paul Arne Østvær (2018), "Grupos de homotopía estable motívica", arXiv : 1811.05729 [math.AT]
• Morel, Fabien (2004). "Sobre el π ₀ motívico del espectro esférico". Teoría de homotopía axiomática, enriquecida y motívica . pp. 219–260. doi :10.1007/978-94-007-0948-5_7. ISBN 978-1-4020-1834-3.
• Röndigs, Oliver; Spitzweck, Markus; Paul Arne Østvær (2016), "Los primeros grupos de homotopía estables de esferas motívicas", arXiv : 1604.00365 [math.AT]
• Voevodsky, Vladimir (2003), "Sobre la porción cero del espectro esférico", arXiv : math/0301013
• Ormsby, Kyle; Röndigs, Oliver; Paul Arne Østvær (2017), "Desaparición en haces de homotopía motívica estable", arXiv : 1704.04744 [math.AT]

Referencias

• Bachmann, Tom (2018), "Teoría de la homotopía estable ética y motívica", Compositio Mathematica , 154 (5): 883–917, arXiv : 1608.08855 , doi :10.1112/S0010437X17007710, S2CID  119305101