Formalismo de lentes gravitacionales

En la relatividad general , una masa puntual desvía un rayo de luz con parámetro de impacto en un ángulo aproximadamente igual a ${\displaystyle b~}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {4GM}{c^{2}b}}}$

donde G es la constante gravitacional , M la masa del objeto desviado yc la velocidad de la luz . Una aplicación ingenua de la gravedad newtoniana puede producir exactamente la mitad de este valor, donde el rayo de luz se supone como una partícula con masa y se dispersa por el pozo de potencial gravitacional. Esta aproximación es buena cuando es pequeña. ${\displaystyle 4GM/c^{2}b}$

En situaciones donde la relatividad general puede aproximarse mediante la gravedad linealizada , la deflexión debida a una masa extendida espacialmente se puede escribir simplemente como una suma vectorial sobre masas puntuales. En el límite del continuo , esto se convierte en una integral sobre la densidad , y si la deflexión es pequeña podemos aproximar el potencial gravitacional a lo largo de la trayectoria desviada por el potencial a lo largo de la trayectoria no desviada, como en la aproximación de Born en mecánica cuántica. La deflexión es entonces ${\displaystyle \rho ~}$

${\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int d^{2}\xi ^{\prime }\int dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z){\frac {\vec {b}}{|{\vec {b}}|^{2}}},~{\vec {b}}\equiv {\vec {\xi }}-{\vec {\xi ^{\prime }}}}$

donde es la coordenada de la línea de visión y es el parámetro de impacto vectorial de la trayectoria real del rayo desde la masa infinitesimal ubicada en las coordenadas . ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ${\displaystyle d^{2}\xi ^{\prime }dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)}$ ${\displaystyle ({\vec {\xi }}^{\prime },z)}$

Aproximación de lente delgada

En el límite de una "lente delgada", donde las distancias entre la fuente, la lente y el observador son mucho mayores que el tamaño de la lente (esto casi siempre es cierto para los objetos astronómicos), podemos definir la densidad de masa proyectada.

${\displaystyle \Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })=\int \rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)dz}$

¿Dónde está un vector en el plano del cielo? El ángulo de deflexión es entonces ${\displaystyle {\vec {\xi }}^{\prime }}$

${\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int {\frac {({\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime })\Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|^{2}}}d^{2}\xi ^{\prime }}$

Ángulos involucrados en un sistema de lentes gravitacionales delgadas.

Como se muestra en el diagrama de la derecha, la diferencia entre la posición angular sin lente y la posición observada es este ángulo de deflexión, reducido por una relación de distancias, descrito como la ecuación de la lente. ${\displaystyle {\vec {\beta }}}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$

${\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {\theta }}-{\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\theta }}-{\frac {D_{ds}}{D_{s}}}{\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {D_{d}\theta }})}$

donde es la distancia de la lente a la fuente, es la distancia del observador a la fuente y es la distancia del observador a la lente. Para lentes extragalácticas, estas deben ser distancias de diámetro angular . ${\displaystyle D_{ds}~}$ ${\displaystyle D_{s}~}$ ${\displaystyle D_{d}~}$

En lentes gravitacionales fuertes, esta ecuación puede tener múltiples soluciones, porque una sola fuente puede convertirse en múltiples imágenes. ${\displaystyle {\vec {\beta }}}$

Potencial de convergencia y deflexión.

El ángulo de deflexión reducido se puede escribir como ${\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})}$

${\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }{\frac {({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime })\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })}{|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|^{2}}}}$

donde definimos la convergencia

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {\Sigma ({\vec {\theta }})}{\Sigma _{cr}}}}$

y la densidad de superficie crítica (que no debe confundirse con la densidad crítica del universo)

${\displaystyle \Sigma _{cr}={\frac {c^{2}D_{s}}{4\pi GD_{ds}D_{d}}}}$

También podemos definir el potencial de deflexión.

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })\ln |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|}$

de modo que el ángulo de deflexión escalado sea solo el gradiente del potencial y la convergencia sea la mitad del laplaciano del potencial:

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\nabla }}\psi ({\vec {\theta }})}$

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {\theta }})}$

El potencial de deflexión también se puede escribir como una proyección escalada del potencial gravitacional newtoniano de la lente ^[2] ${\displaystyle \Phi ~}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz}$

Lente jacobiano

El jacobiano entre los sistemas de coordenadas lentes y no lentes es

${\displaystyle A_{ij}={\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}}}$

¿Dónde está el delta del Kronecker ? Debido a que la matriz de segundas derivadas debe ser simétrica, el jacobiano se puede descomponer en un término diagonal que involucra la convergencia y un término libre de trazas que involucra la cizalla. ${\displaystyle \delta _{ij}~}$ ${\displaystyle \gamma ~}$

${\displaystyle A=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1&0\\0&1\end{array}}\right]-\gamma \left[{\begin{array}{c c }\cos 2\phi &\sin 2\phi \\\sin 2\phi &-\cos 2\phi \end{array}}\right]}$

donde es el ángulo entre y el eje x. El término que implica la convergencia magnifica la imagen aumentando su tamaño conservando el brillo de la superficie. El término que implica el corte estira la imagen tangencialmente alrededor de la lente, como se analiza en los observables de lentes débiles. ${\displaystyle \phi ~}$ ${\displaystyle {\vec {\alpha }}}$

El corte definido aquí no es equivalente al corte definido tradicionalmente en matemáticas, aunque ambos estiran una imagen de manera no uniforme.

Efecto de las componentes de convergencia y corte sobre una fuente circular representada por el círculo verde sólido. La notación de corte compleja se define a continuación.

Superficie Fermat

Existe una forma alternativa de derivar la ecuación de la lente, a partir del tiempo de llegada del fotón (superficie de Fermat).

${\displaystyle t=\int _{0}^{z_{s}}{ndz \over c\cos \alpha (z)}}$

¿Dónde es el tiempo para recorrer un elemento lineal infinitesimal a lo largo de la línea recta fuente-observador en el vacío, que luego se corrige por el factor? ${\displaystyle dz/c}$

${\displaystyle 1/\cos(\alpha (z))\approx 1+{\alpha (z)^{2} \over 2}}$

para llevar el elemento lineal a lo largo de la trayectoria curvada con un ángulo de inclinación pequeño y variable y el índice de refracción n para el "éter", es decir, el campo gravitacional. Esto último se puede obtener del hecho de que un fotón viaja a lo largo de una geodésica nula de un universo de Minkowski estático débilmente perturbado. ${\displaystyle dl={dz \over c\cos \alpha (z)}}$ ${\displaystyle \alpha (z),}$

${\displaystyle ds^{2}=0=c^{2}dt^{2}\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)-\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)^{-1}dl^{2}}$

donde el potencial gravitacional desigual impulsa un cambio en la velocidad de la luz ${\displaystyle \Phi \ll c^{2}}$

${\displaystyle c'={dl/dt}=\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)c.}$

Entonces el índice de refracción

${\displaystyle n\equiv {c \over c'}\approx \left(1-{2\Phi \over c^{2}}\right).}$

El índice de refracción es mayor que la unidad debido al potencial gravitacional negativo . ${\displaystyle \Phi }$

Juntándolos y manteniendo los términos principales, tenemos la superficie de llegada del tiempo.

${\displaystyle t\approx \int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}+\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{\alpha (z)^{2} \over 2}-\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{2\Phi \over c^{2}}.}$

El primer término es el tiempo de viaje en trayectoria recta, el segundo término es la trayectoria geométrica adicional y el tercero es el retraso gravitacional. Haga la aproximación del triángulo para el camino entre el observador y la lente, y para el camino entre la lente y la fuente. El término de retraso geométrico se convierte en ${\displaystyle \alpha (z)=\theta -\beta }$ ${\displaystyle \alpha (z)\approx (\theta -\beta ){D_{d} \over D_{ds}}}$

${\displaystyle {D_{d} \over c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}+{D_{ds} \over c}{\left[({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}){D_{d} \over D_{ds}}\right]^{2} \over 2}={D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}.}$

(¿Cómo? No hay ninguno a la izquierda. Las distancias de los diámetros angulares no se suman de manera sencilla, en general.) Entonces, la superficie de Fermat se convierte en ${\displaystyle D_{s}}$

${\displaystyle t=constant+{D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}\tau ,~\tau \equiv \left[{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}-\psi \right]}$

¿Dónde está el llamado retardo de tiempo adimensional y el potencial de lente 2D? ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz.}$

Las imágenes se encuentran en los extremos de esta superficie, por lo que la variación de con es cero, ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\vec {\theta }}\tau ={\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}-\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})}$

cual es la ecuación de la lente. Tome la ecuación de Poisson para el potencial 3D.

${\displaystyle \Phi ({\vec {\xi }})=-\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}}$

y encontramos el potencial de lentes 2D

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})=-{\frac {2GD_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int dz\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}=-\sum _{i}{\frac {2GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\sinh ^{-1}{|z-D_{i}| \over D_{i}|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|}\right]|_{D_{i}}^{D_{s}}+|_{D_{i}}^{0}.}$

Aquí asumimos que la lente es una colección de masas puntuales en coordenadas angulares y distancias. Uso para x muy pequeña encontramos ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}_{i}}$ ${\displaystyle z=D_{i}.}$ ${\displaystyle \sinh ^{-1}1/x=\ln(1/x+{\sqrt {1/x^{2}+1}})\approx -\ln(x/2)}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx \sum _{i}{\frac {4GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}| \over 2}{D_{i} \over D_{is}}\right)\right].}$

Se puede calcular la convergencia aplicando el laplaciano 2D del potencial de lente 2D.

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla _{\vec {\theta }}^{2}\psi ({\vec {\theta }})={\frac {4\pi GD_{ds}D_{d}}{c^{2}D_{s}}}\int dz\rho (D_{d}{\vec {\theta }},z)={\Sigma \over \Sigma _{cr}}=\sum _{i}{4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{i}D_{s}}\delta ({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i})}$

de acuerdo con la definición anterior como la relación entre la densidad proyectada y la densidad crítica. Aquí usamos y ${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\Sigma \over \Sigma _{cr}}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}1/r=-4\pi \delta (r)}$ ${\displaystyle \nabla _{\vec {\theta }}=D_{d}\nabla .}$

También podemos confirmar el ángulo de deflexión reducido previamente definido.

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}=\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})=\sum _{i}{\theta _{Ei}^{2} \over |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|},~\pi \theta _{Ei}^{2}\equiv {4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{s}D_{i}}}$

¿Dónde está el llamado radio angular de Einstein de una lente puntual ? Para una lente de un solo punto en el origen recuperamos el resultado estándar de que habrá dos imágenes en las dos soluciones de la ecuación esencialmente cuadrática. ${\displaystyle \theta _{Ei}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\theta _{E}^{2} \over |{\vec {\theta }}|}.}$

La matriz de amplificación se puede obtener mediante derivadas dobles del retardo de tiempo adimensional.

${\displaystyle A_{ij}={\partial \beta _{j} \over \partial \theta _{i}}={\partial \tau \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\delta _{ij}-{\partial \psi \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\gamma _{1}&\gamma _{2}\\\gamma _{2}&1-\kappa +\gamma _{1}\end{array}}\right]}$

donde hemos definido las derivadas

${\displaystyle \kappa ={\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}+{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{1}\equiv {\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}-{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{2}\equiv {\partial \psi \over \partial \theta _{1}\partial \theta _{2}}}$

que toma el significado de convergencia y corte. La amplificación es la inversa del jacobiano.

${\displaystyle A=1/det(A_{ij})={1 \over (1-\kappa )^{2}-\gamma _{1}^{2}-\gamma _{2}^{2}}}$

donde un positivo significa un máximo o un mínimo, y un negativo significa un punto de silla en la superficie de llegada. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Para una lente de un solo punto, se puede demostrar (aunque sea un cálculo largo) que

${\displaystyle \kappa =0,~\gamma ={\sqrt {\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}}}={\theta _{E}^{2} \over |\theta |^{2}},~\theta _{E}^{2}={4GMD_{ds} \over c^{2}D_{d}D_{s}}.}$

Entonces la amplificación de una lente puntual está dada por

${\displaystyle A=\left(1-{\theta _{E}^{4} \over \theta ^{4}}\right)^{-1}.}$

Nota A diverge para imágenes en el radio de Einstein ${\displaystyle \theta _{E}.}$

En los casos en que hay lentes de múltiples puntos más un fondo suave de partículas (oscuras) de densidad superficial, la superficie de llegada en el tiempo es ${\displaystyle \Sigma _{\rm {cr}}\kappa _{\rm {smooth}},}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx {1 \over 2}\kappa _{\rm {smooth}}|\theta |^{2}+\sum _{i}\theta _{E}^{2}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|^{2} \over 4}{D_{d} \over D_{ds}}\right)\right].}$

Para calcular la amplificación, por ejemplo, en el origen (0,0), debido a masas puntuales idénticas distribuidas en tenemos que sumar el corte total e incluir una convergencia del fondo suave, ${\displaystyle (\theta _{xi},\theta _{yi})}$

${\displaystyle A=\left[(1-\kappa _{\rm {smooth}})^{2}-\left(\sum _{i}{(\theta _{xi}^{2}-\theta _{yi}^{2})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{(2\theta _{xi}\theta _{yi})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}\right]^{-1}}$

Esto generalmente crea una red de curvas críticas, líneas que conectan puntos de imagen de amplificación infinita.

Lentes débiles generales

En lentes débiles por estructura a gran escala , la aproximación de lentes delgadas puede fallar y las estructuras extendidas de baja densidad pueden no ser bien aproximadas por múltiples planos de lentes delgadas. En este caso, la deflexión se puede derivar suponiendo que el potencial gravitacional varía lentamente en todas partes (por esta razón, esta aproximación no es válida para lentes fuertes). Este enfoque supone que el universo está bien descrito mediante una métrica FRW perturbada por Newton , pero no hace otras suposiciones sobre la distribución de la masa lente.

Como en el caso de las lentes delgadas, el efecto se puede escribir como un mapeo desde la posición angular sin lente hasta la posición con lente . El jacobiano de la transformada se puede escribir como una integral sobre el potencial gravitacional a lo largo de la línea de visión ^[3] ${\displaystyle {\vec {\beta }}}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$ ${\displaystyle \Phi ~}$

${\displaystyle {\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}+\int _{0}^{r_{\infty }}drg(r){\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {x}}(r))}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}}$

donde es la distancia comoving , son las distancias transversales y ${\displaystyle r~}$ ${\displaystyle x^{i}~}$

${\displaystyle g(r)=2r\int _{r}^{r_{\infty }}dr'\left(1-{\frac {r^{\prime }}{r}}\right)W(r^{\prime })}$

es el núcleo de lente , que define la eficiencia de la lente para una distribución de fuentes . ${\displaystyle W(r)~}$

El jacobiano se puede descomponer en términos de convergencia y corte tal como ocurre con el caso de las lentes delgadas, y en el límite de una lente que es a la vez delgada y débil, sus interpretaciones físicas son las mismas. ${\displaystyle A_{ij}~}$

Observables de lentes débiles

En lentes gravitacionales débiles , el jacobiano se mapea observando el efecto de la cizalladura sobre las elipticidades de las galaxias de fondo. Este efecto es puramente estadístico; La forma de cualquier galaxia estará dominada por su forma aleatoria y sin lentes, pero la aplicación de lentes producirá una distorsión espacialmente coherente de estas formas.

Medidas de elipticidad

En la mayoría de los campos de la astronomía, la elipticidad se define como , donde es la relación del eje de la elipse . En lentes gravitacionales débiles , se usan comúnmente dos definiciones diferentes, y ambas son cantidades complejas que especifican tanto la relación del eje como el ángulo de posición : ${\displaystyle 1-q~}$ ${\displaystyle q={\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle \phi ~}$

${\displaystyle \chi ={\frac {1-q^{2}}{1+q^{2}}}e^{2i\phi }={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}e^{2i\phi }}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1-q}{1+q}}e^{2i\phi }={\frac {a-b}{a+b}}e^{2i\phi }}$

Al igual que la elipticidad tradicional, las magnitudes de ambas cantidades varían de 0 (circular) a 1 (un segmento de línea). El ángulo de posición está codificado en la fase compleja, pero debido al factor 2 en los argumentos trigonométricos, la elipticidad es invariante bajo una rotación de 180 grados. Esto es de esperar; una elipse no cambia con una rotación de 180°. Tomadas como partes imaginaria y real, la parte real de la elipticidad compleja describe el alargamiento a lo largo de los ejes de coordenadas, mientras que la parte imaginaria describe el alargamiento a 45° de los ejes.

La elipticidad a menudo se escribe como un vector de dos componentes en lugar de un número complejo, aunque no es un verdadero vector con respecto a las transformadas:

${\displaystyle \chi =\{\left|\chi \right|\cos 2\phi ,\left|\chi \right|\sin 2\phi \}}$

${\displaystyle \epsilon =\{\left|\epsilon \right|\cos 2\phi ,\left|\epsilon \right|\sin 2\phi \}}$

Las fuentes reales de fondo astronómico no son elipses perfectas. Sus elipticidades se pueden medir encontrando un modelo elíptico que mejor se ajuste a los datos o midiendo los segundos momentos de la imagen con respecto a algún centroide. ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$

${\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

Las elipticidades complejas son entonces

${\displaystyle \chi ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}+2{\sqrt {q_{xx}q_{yy}-q_{xy}^{2}}}}}}$

Esto se puede utilizar para relacionar los segundos momentos con los parámetros de elipse tradicionales:

${\displaystyle q_{xx}=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \,}$

${\displaystyle q_{yy}=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta \,}$

${\displaystyle q_{xy}=(a^{2}-b^{2})\sin \theta \cos \theta \,}$

y al revés:

${\displaystyle a^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}+{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle b^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}-{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2q_{xy}}{q_{xx}-q_{yy}}}}$

Los segundos momentos no ponderados anteriores son problemáticos en presencia de ruido, objetos vecinos o perfiles de galaxias extendidos, por lo que es típico utilizar momentos apodizados en su lugar:

${\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

Aquí hay una función de peso que normalmente llega a cero o se acerca rápidamente a cero en un radio finito. ${\displaystyle w(x,y)~}$

Los momentos de la imagen generalmente no pueden usarse para medir la elipticidad de las galaxias sin corregir los efectos de observación , particularmente la función de dispersión de puntos . ^[4]

Corte y corte reducido

Recuerde que el jacobiano de lentes se puede descomponer en corte y convergencia . Actuando sobre una fuente de fondo circular con radio , la lente genera una elipse con ejes mayor y menor. ${\displaystyle \gamma ~}$ ${\displaystyle \kappa ~}$ ${\displaystyle R~}$

${\displaystyle a={\frac {R}{1-\kappa -\gamma }}}$

${\displaystyle b={\frac {R}{1-\kappa +\gamma }}}$

siempre y cuando la cizalladura y la convergencia no cambien apreciablemente con el tamaño de la fuente (en ese caso, la imagen lenteda no es una elipse). Sin embargo, las galaxias no son intrínsecamente circulares, por lo que es necesario cuantificar el efecto de la lente sobre una elipticidad distinta de cero.

Podemos definir el corte complejo en analogía con las elipticidades complejas definidas anteriormente.

${\displaystyle \gamma =\left|\gamma \right|e^{2i\phi }}$

así como el corte reducido

${\displaystyle g\equiv {\frac {\gamma }{1-\kappa }}}$

El jacobiano de lentes ahora se puede escribir como

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\mathrm {Re} [\gamma ]&-\mathrm {Im} [\gamma ]\\-\mathrm {Im} [\gamma ]&1-\kappa +\mathrm {Re} [\gamma ]\end{array}}\right]=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1-\mathrm {Re} [g]&-\mathrm {Im} [g]\\-\mathrm {Im} [g]&1+\mathrm {Re} [g]\end{array}}\right]}$

Para una cizalladura reducida y elipticidades complejas sin lente y , las elipticidades con lente son ${\displaystyle g~}$ ${\displaystyle \chi _{s}~}$ ${\displaystyle \epsilon _{s}~}$

${\displaystyle \chi ={\frac {\chi _{s}+2g+g^{2}\chi _{s}^{*}}{1+|g|^{2}+2\mathrm {Re} (g\chi _{s}^{*})}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\epsilon _{s}+g}{1+g^{*}\epsilon _{s}}}}$

En el límite de lente débil, y , entonces ${\displaystyle \gamma \ll 1}$ ${\displaystyle \kappa \ll 1}$

${\displaystyle \chi \approx \chi _{s}+2g\approx \chi _{s}+2\gamma }$

${\displaystyle \epsilon \approx \epsilon _{s}+g\approx \epsilon _{s}+\gamma }$

Si podemos suponer que las fuentes están orientadas aleatoriamente, sus elipticidades complejas promedian cero, entonces

${\displaystyle \langle \chi \rangle =2\langle \gamma \rangle }$y . ${\displaystyle \langle \epsilon \rangle =\langle \gamma \rangle }$

Ésta es la ecuación principal de la lente débil: la elipticidad promedio de las galaxias de fondo es una medida directa de la cizalladura inducida por la masa de primer plano.

Aumento

Si bien las lentes gravitacionales preservan el brillo de la superficie, como lo dicta el teorema de Liouville , las lentes sí cambian el ángulo sólido aparente de una fuente. La cantidad de ampliación viene dada por la relación entre el área de la imagen y el área de origen. Para una lente circularmente simétrica , el factor de aumento μ viene dado por

${\displaystyle \mu ={\frac {\theta }{\beta }}{\frac {d\theta }{d\beta }}}$

En términos de convergencia y corte.

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\det A}}={\frac {1}{[(1-\kappa )^{2}-\gamma ^{2}]}}}$

Por esta razón, el jacobiano también se conoce como la "matriz de aumento inversa". ${\displaystyle A~}$

La cizalla reducida es invariante con el escalamiento del jacobiano por un escalar , lo que equivale a las transformaciones ${\displaystyle A~}$ ${\displaystyle \lambda ~}$

${\displaystyle 1-\kappa ^{\prime }=\lambda (1-\kappa )}$

y

${\displaystyle \gamma ^{\prime }=\lambda \gamma }$.

Por lo tanto, sólo se puede determinar hasta una transformación , lo que se conoce como "degeneración de la hoja de masa". En principio, esta degeneración se puede romper si se dispone de una medición independiente del aumento porque el aumento no es invariante bajo la transformación de degeneración antes mencionada. Específicamente, escala con as . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa \rightarrow \lambda \kappa +(1-\lambda )}$ ${\displaystyle \mu ~}$ ${\displaystyle \lambda ~}$ ${\displaystyle \mu \propto \lambda ^{-2}}$

Referencias

1. Bartelmann, M.; Schneider, P. (enero de 2001). "Lentes gravitacionales débiles". Informes de Física . 340 (4–5): 291–472. arXiv : astro-ph/9912508 . Código Bib : 2001PhR...340..291B. doi :10.1016/S0370-1573(00)00082-X. S2CID  119356209.
2. Narayan, R.; Bartelmann, M. (junio de 1996). "Conferencias sobre lentes gravitacionales". arXiv : astro-ph/9606001 .
3. Dodelson, Scott (2003). Cosmología moderna . Ámsterdam: Prensa académica . ISBN 0-12-219141-2.
4. Bernstein, G.; Jarvis, M. (febrero de 2002). "Formas y cizallas, estrellas y manchas: medidas óptimas para lentes débiles". Revista Astronómica . 123 (2): 583–618. arXiv : astro-ph/0107431 . Código bibliográfico : 2002AJ....123..583B. doi :10.1086/338085. S2CID  730576.