Centroide

Posición media de todos los puntos de una figura

Centroide de un triangulo

En matemáticas y física , el centroide , también conocido como centro geométrico o centro de la figura , de una figura plana o figura sólida es la posición media aritmética de todos los puntos en la superficie de la figura. ^{[ se necesita más explicación ]} La misma definición se extiende a cualquier objeto en el espacio euclidiano dimensional . ^[1] ${\displaystyle n}$

En geometría , se suele suponer una densidad de masa uniforme , en cuyo caso el baricentro o centro de masas coincide con el baricentro. De manera informal, se puede entender como el punto en el que un recorte de la forma (con masa distribuida uniformemente) podría quedar perfectamente equilibrado en la punta de un alfiler. ^[2]

En física, si se consideran las variaciones de la gravedad , entonces un centro de gravedad puede definirse como la media ponderada de todos los puntos ponderados por su peso específico .

En geografía , el centroide de una proyección radial de una región de la superficie de la Tierra hasta el nivel del mar es el centro geográfico de la región .

Historia

El término "centroide" es de reciente creación (1814). ^[3] Se utiliza como sustituto de los términos más antiguos "centro de gravedad" y " centro de masa " cuando se quieren enfatizar los aspectos puramente geométricos de ese punto. El término es peculiar del idioma inglés; el francés, por ejemplo, utiliza " centre de gravité " en la mayoría de las ocasiones, y otros idiomas utilizan términos de significado similar. ^{[ cita requerida ]}

El centro de gravedad, como su nombre indica, es una noción que surgió en mecánica, probablemente en relación con las actividades de construcción. No se sabe con certeza cuándo surgió la idea por primera vez, ya que es probable que se le ocurriera a mucha gente de forma individual con pequeñas diferencias. No obstante, el centro de gravedad de las figuras se estudió ampliamente en la Antigüedad; Bossut atribuye a Arquímedes (287-212 a. C.) el mérito de haber sido el primero en encontrar el centroide de las figuras planas, aunque nunca lo definió. ^[4] Se ha perdido un análisis de los centroides de los sólidos realizado por Arquímedes. ^[5]

Es poco probable que Arquímedes aprendiera el teorema de que las medianas de un triángulo se encuentran en un punto (el centro de gravedad del triángulo) directamente de Euclides , ya que esta proposición no se encuentra en los Elementos . La primera declaración explícita de esta proposición se debe a Herón de Alejandría (quizás en el siglo I d. C.) y aparece en su Mecánica . Se puede añadir, de paso, que la proposición no se volvió común en los libros de texto sobre geometría plana hasta el siglo XIX. ^{[ cita requerida ]}

Propiedades

El centroide geométrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. Un objeto no convexo puede tener un centroide que esté fuera de la figura misma. El centroide de un anillo o un cuenco , por ejemplo, se encuentra en el vacío central del objeto.

Si se define el baricentro, es un punto fijo de todas las isometrías de su grupo de simetría . En particular, el baricentro geométrico de un objeto se encuentra en la intersección de todos sus hiperplanos de simetría . El baricentro de muchas figuras ( polígono regular , poliedro regular , cilindro , rectángulo , rombo , círculo , esfera , elipse , elipsoide , superelipse , superelipsoide , etc.) se puede determinar únicamente mediante este principio.

En particular, el baricentro de un paralelogramo es el punto de encuentro de sus dos diagonales . Esto no es así en el caso de otros cuadriláteros .

Por la misma razón, el centroide de un objeto con simetría traslacional no está definido (o se encuentra fuera del espacio circundante), porque una traslación no tiene un punto fijo.

Ejemplos

El centroide de un triángulo es la intersección de las tres medianas del triángulo (cada mediana conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto). ^[6]

Para otras propiedades del centroide de un triángulo, consulte a continuación.

Determinación

Método de la plomada

El centroide de una lámina plana de densidad uniforme , como la de la figura (a) a continuación, se puede determinar experimentalmente utilizando una plomada y un alfiler para encontrar el centro de masas de un cuerpo delgado de densidad uniforme que tiene la misma forma. El cuerpo se sostiene con el alfiler, insertado en un punto, fuera del supuesto centroide de tal manera que pueda girar libremente alrededor del alfiler; luego se deja caer la plomada desde el alfiler (figura b). La posición de la plomada se traza en la superficie y el procedimiento se repite con el alfiler insertado en cualquier punto diferente (o varios puntos) fuera del centroide del objeto. El único punto de intersección de estas líneas será el centroide (figura c). Siempre que el cuerpo tenga una densidad uniforme, todas las líneas trazadas de esta manera incluirán el centroide y todas las líneas se cruzarán exactamente en el mismo lugar.

Este método se puede extender (en teoría) a formas cóncavas en las que el centroide puede estar fuera de la forma, y ​​virtualmente a sólidos (de nuevo, de densidad uniforme), en los que el centroide puede estar dentro del cuerpo. Las posiciones (virtuales) de las líneas de plomada deben registrarse por otros medios que no sean dibujándolas a lo largo de la forma.

Método de equilibrio

En el caso de formas bidimensionales convexas, el centroide se puede encontrar equilibrando la forma sobre una forma más pequeña, como la parte superior de un cilindro estrecho. El centroide se encuentra en algún lugar dentro del rango de contacto entre las dos formas (y exactamente en el punto en el que la forma se equilibraría sobre un pasador). En principio, se pueden utilizar cilindros progresivamente más estrechos para encontrar el centroide con una precisión arbitraria. En la práctica, las corrientes de aire hacen que esto sea inviable. Sin embargo, marcando el rango de superposición a partir de múltiples equilibrios, se puede lograr un nivel considerable de precisión.

De un conjunto finito de puntos

El centroide de un conjunto finito de puntos en es ^[1] Este punto minimiza la suma de las distancias euclidianas al cuadrado entre él mismo y cada punto del conjunto. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}$$

Por descomposición geométrica

El centroide de una figura plana se puede calcular dividiéndola en un número finito de figuras más simples, calculando el centroide y el área de cada parte y luego calculando ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}$$

Los agujeros en la figura se superponen entre las partes, o las partes que se extienden fuera de la figura, se pueden manejar usando áreas negativas. Es decir, las medidas deben tomarse con signos positivos y negativos de tal manera que la suma de los signos de para todas las partes que encierran un punto dado sea si pertenece a y en caso contrario. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{i}.}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$

Por ejemplo, la figura de abajo (a) se divide fácilmente en un cuadrado y un triángulo, ambos con área positiva; y un agujero circular, con área negativa (b).

El centroide de cada parte se puede encontrar en cualquier lista de centroides de formas simples (c). Entonces, el centroide de la figura es el promedio ponderado de los tres puntos. La posición horizontal del centroide, desde el borde izquierdo de la figura es La posición vertical del centroide se encuentra de la misma manera. $${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi 2.5^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2.5^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}$$

La misma fórmula se aplica a cualquier objeto tridimensional, excepto que cada uno debe ser el volumen de en lugar de su área. También se aplica a cualquier subconjunto de para cualquier dimensión , con las áreas reemplazadas por las medidas en dimensiones de las partes. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle X_{i},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d}$

Por fórmula integral

El centroide de un subconjunto de también se puede calcular mediante la fórmula ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\ dx}{\int g(x)\ dx}}}$$

donde las integrales se toman sobre todo el espacio y es la función característica del subconjunto de si y en caso contrario. ^[7] Nótese que el denominador es simplemente la medida del conjunto . Esta fórmula no se puede aplicar si el conjunto tiene medida cero, o si alguna de las integrales diverge. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!:\ g(x)=1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Otra fórmula para el centroide es

$${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\ dz}{\int g(x)\ dx}},}$$

donde es la coordenada ésima de y es la medida de la intersección de con el hiperplano definido por la ecuación Nuevamente, el denominador es simplemente la medida de ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle S_{k}(z)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{k}=z.}$ ${\displaystyle X.}$

Para una figura plana, en particular, las coordenadas baricéntricas son

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\ dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\ dy}{A}},}$$

donde es el área de la figura es la longitud de la intersección de con la línea vertical en abscisas y es la longitud de la intersección de con la línea horizontal en ordenadas ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {y} }(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {x} }(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y.}$

De una región delimitada

El centroide de una región delimitada por las gráficas de las funciones continuas y tal que en el intervalo está dado por ^{[7] [8]} ${\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle a\leq x\leq b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\\[5mu]{\bar {y}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\end{aligned}}}$$

donde es el área de la región (dada por ). ^{[9] [10]} ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx}$

Con un integraph

Se puede utilizar un integráfio (un pariente del planímetro ) para encontrar el centroide de un objeto de forma irregular con un borde liso (o liso por partes). El principio matemático involucrado es un caso especial del teorema de Green . ^[11]

De un objeto en forma de L

Este es un método para determinar el centroide de un objeto con forma de L.

1. Divide la figura en dos rectángulos, como se muestra en la figura 2. Encuentra los centroides de estos dos rectángulos dibujando las diagonales. Dibuja una línea que una los centroides. El centroide de la figura debe estar sobre esta línea. ${\displaystyle AB.}$
2. Divide la figura en otros dos rectángulos, como se muestra en la figura 3. Encuentra los centroides de estos dos rectángulos dibujando las diagonales. Dibuja una línea que una los centroides. El centroide de la figura en forma de L debe estar sobre esta línea. ${\displaystyle CD.}$
3. Como el centroide de la forma debe estar a lo largo y también a lo largo de la intersección de estas dos líneas, el punto puede estar dentro o fuera del objeto en forma de L. ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle CD,}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle O}$

De un triangulo

El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas (las líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto). ^[6] El baricentro divide cada una de las medianas en la razón , es decir, se encuentra en la distancia de cada lado al vértice opuesto (ver figuras a la derecha). ^{[12] [13]} Sus coordenadas cartesianas son las medias de las coordenadas de los tres vértices. Es decir, si los tres vértices son y entonces el baricentro (denotado aquí pero más comúnmente denotado en geometría de triángulos ) es ${\displaystyle 2:1,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$ ${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$ ${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}$$

El centroide está por tanto en coordenadas baricéntricas . ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$

En coordenadas trilineales, el centroide se puede expresar de cualquiera de estas formas equivalentes en términos de las longitudes de los lados y los ángulos de los vértices : ^[14] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle L,M,N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{aligned}}}$$

El baricentro es también el centro físico de masas si el triángulo está hecho de una lámina uniforme de material; o si toda la masa está concentrada en los tres vértices y repartida uniformemente entre ellos. Por otra parte, si la masa está distribuida a lo largo del perímetro del triángulo, con densidad lineal uniforme , entonces el centro de masas se encuentra en el centro de Spieker (el incentro del triángulo medial ), que no coincide (en general) con el baricentro geométrico del triángulo completo.

El área del triángulo es multiplicado por la longitud de cualquier lado por la distancia perpendicular desde el lado hasta el centroide. ^[15] ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

El centroide de un triángulo se encuentra en su línea de Euler entre su ortocentro y su circuncentro exactamente dos veces más cerca de este último que del primero: ^{[16] [17]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O,}$

$${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$$

Además, para el incentro y el centro de nueve puntos tenemos ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}$$

Si es el centroide del triángulo entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}$$

El conjugado isogonal del centroide de un triángulo es su punto simediano .

Cualquiera de las tres medianas que pasan por el centroide divide el área del triángulo por la mitad. Esto no es así para otras líneas que pasan por el centroide; la mayor desviación de la división por áreas iguales se produce cuando una línea que pasa por el centroide es paralela a un lado del triángulo, lo que crea un triángulo más pequeño y un trapezoide ; en este caso, el área del trapezoide es la del triángulo original. ^[18] ${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$

Sea cualquier punto en el plano de un triángulo con vértices y centroide Entonces la suma de las distancias al cuadrado de desde los tres vértices excede la suma de las distancias al cuadrado del centroide desde los vértices por tres veces la distancia al cuadrado entre y : ^[19] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$$

La suma de los cuadrados de los lados del triángulo es igual a tres veces la suma de las distancias al cuadrado del centroide desde los vértices: ^[19]

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$$

El centroide de un triángulo es el punto que maximiza el producto de las distancias dirigidas de un punto desde los lados del triángulo. ^[20]

Sea un triángulo, sea su centroide y sean los puntos medios de los segmentos respectivamente. Para cualquier punto en el plano de ^[21] ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D,E,F}$ ${\displaystyle BC,CA,AB,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

De un polígono

El centroide de un polígono cerrado no autointersecante definido por vértices es el punto ^[22] donde ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;}$ ${\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),}$ ${\displaystyle (C_{x},C_{y}),}$

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

y

$${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

y donde es el área firmada del polígono, ^[22] como se describe en la fórmula del cordón : ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$$

En estas fórmulas, se supone que los vértices están numerados en orden de aparición a lo largo del perímetro del polígono; además, se supone que el vértice es el mismo que el significado en el último caso debe recorrerse hasta (si los puntos están numerados en el sentido de las agujas del reloj, el área calculada como se indicó anteriormente será negativa; sin embargo, las coordenadas del centroide serán correctas incluso en este caso). ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle i=0.}$ ${\displaystyle A,}$

De un cono o pirámide

El centroide de un cono o pirámide se encuentra en el segmento de línea que conecta el vértice con el centroide de la base. En el caso de un cono o pirámide macizos, el centroide es la distancia desde la base hasta el vértice. En el caso de un cono o pirámide que es simplemente una cáscara (hueca) sin base, el centroide es la distancia desde el plano de la base hasta el vértice. ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

De un tetraedro ynorte-símplex dimensional

Un tetraedro es un objeto en el espacio tridimensional que tiene cuatro triángulos como caras . Un segmento de línea que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana , y un segmento de línea que une los puntos medios de dos aristas opuestas se llama bimediana . Por lo tanto, hay cuatro medianas y tres bimedianas. Estos siete segmentos de línea se encuentran en el centroide del tetraedro. ^[23] Las medianas se dividen por el centroide en la razón El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto Monge y el circuncentro (centro de la esfera circunscrita). Estos tres puntos definen la línea de Euler del tetraedro que es análoga a la línea de Euler de un triángulo. ${\displaystyle 3:1.}$

Estos resultados se generalizan a cualquier símplex de dimensión 1 de la siguiente manera. Si el conjunto de vértices de un símplex es entonces considerando los vértices como vectores , el centroide es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}$

$${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$$

El centroide geométrico coincide con el centro de masa si la masa está distribuida uniformemente sobre todo el símplex o concentrada en los vértices como masas iguales. ${\displaystyle n+1}$

De un hemisferio

El centroide de un hemisferio sólido (es decir, la mitad de una bola sólida) divide el segmento de línea que conecta el centro de la esfera con el polo del hemisferio en la razón (es decir, se encuentra en la distancia del centro al polo). El centroide de un hemisferio hueco (es decir, la mitad de una esfera hueca) divide el segmento de línea que conecta el centro de la esfera con el polo del hemisferio por la mitad. ${\displaystyle 3:5}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

Véase también

• Centro Chebyshev
• Media circular
• Fréchet significa
• algoritmo k -medias
• Lista de centroides
• medoide
• Teorema del centroide de Pappus

Notas

1. Protter y Morrey (1970, pág. 520)
2. Protter y Morrey (1970, pág.521)
3. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres en Google Books
4. Court, Nathan Altshiller (1960). "Notas sobre el centroide". The Mathematics Teacher . 53 (1): 33–35. doi :10.5951/MT.53.1.0033. JSTOR  27956057.
5. Knorr, W. (1978). "El tratado perdido de Arquímedes sobre los centros de gravedad de los sólidos". The Mathematical Intelligencer . 1 (2): 102–109. doi :10.1007/BF03023072. ISSN  0343-6993. S2CID  122021219.
6. Altshiller-Court (1925, pág. 66)
7. Protter y Morrey (1970, pág. 526)
8. Protter y Morrey (1970, pág.527)
9. Protter y Morrey (1970, pág.528)
10. Larson (1998, págs. 458-460)
11. Sangwin
12. Altshiller-Court (1925, pág. 65)
13. Kay (1969, pág. 184)
14. Enciclopedia de triángulos de Clark Kimberling "Enciclopedia de centros de triángulos". Archivado desde el original el 19 de abril de 2012. Consultado el 2 de junio de 2012 .
15. Johnson (2007, pág. 173)
16. Altshiller-Court (1925, pág. 101)
17. Kay (1969, págs.18, 189, 225-226)
18. Bottomley, Henry. "Medianas y bisectrices de área de un triángulo" . Consultado el 27 de septiembre de 2013 .
19. Altshiller-Court (1925, págs. 70-71)
20. Kimberling, Clark (201). "Desigualdades de distancia trilineales para el punto simediano, el baricentro y otros centros de triángulos". Forum Geometricorum . 10 : 135–139.
21. Gerald A. Edgar, Daniel H. Ullman y Douglas B. West (2018) Problemas y soluciones, The American Mathematical Monthly, 125:1, 81-89, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
22. Bourke (1997)
23. Leung, Kam-tim; y Suen, Suk-nam; "Vectores, matrices y geometría", Hong Kong University Press, 1994, págs. 53-54

Referencias

• Altshiller-Court, Nathan (1925), Geometría universitaria: Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2.ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Bourke, Paul (julio de 1997). "Cálculo del área y el centroide de un polígono".
• Johnson, Roger A. (2007), Geometría euclidiana avanzada , Dover
• Kay, David C. (1969), Geometría universitaria , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN  69012075
• Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (1998), Cálculo de una sola variable (6.ª ed.), Houghton Mifflin Company
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2.ª ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Sangwin, CJ, Localización del centro de masa por medios mecánicos (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 13 de noviembre de 2013

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Centroide geométrico". MathWorld .
• Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling. El centroide está indexado como X(2).
• Propiedad característica del centroide en el punto de corte del nudo
• Animaciones interactivas que muestran el centroide de un triángulo y la construcción del centroide con compás y regla.
• Encontrar experimentalmente las medianas y el centroide de un triángulo en Dynamic Geometry Sketches, un boceto de geometría dinámica interactivo que utiliza el simulador de gravedad de Cenicienta.