Cuadrárica

Lugar geométrico de los ceros de un polinomio de grado dos

En matemáticas, una superficie cuadrática o superficie cuadrática ( hipersuperficie cuadrática en dimensiones superiores ), es una generalización de las secciones cónicas ( elipses , parábolas e hipérbolas ). Es una hipersuperficie (de dimensión D ) en un espacio ( D +1) -dimensional, y se define como el conjunto cero de un polinomio irreducible de grado dos en D +1 variables; por ejemplo, D = 1 en el caso de secciones cónicas. Cuando el polinomio definitorio no es absolutamente irreducible , el conjunto cero generalmente no se considera una cuadrática, aunque a menudo se le llama cuadrática degenerada o cuadrática reducible .

En las coordenadas x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} , la cuádrica general queda definida por la ecuación algebraica ^[1]

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{D+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{D+1}P_{i}x_{i}+R=0}$

que puede escribirse de forma compacta en notación vectorial y matricial como:

${\displaystyle xQx^{\mathrm {T} }+Px^{\mathrm {T} }+R=0\,}$

donde x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} ) es un vector fila , x ^T es la transpuesta de x (un vector columna), Q es una matriz ( D + 1) × ( D + 1) y P es un vector fila ( D + 1) -dimensional y R una constante escalar. Los valores Q , P y R se toman a menudo como sobre números reales o números complejos , pero una cuádrica puede definirse sobre cualquier cuerpo .

Una cuádrica es una variedad algebraica afín o, si es reducible, un conjunto algebraico afín . Las cuádricas también pueden definirse en espacios proyectivos ; véase § Forma normal de las cuádricas proyectivas, más adelante.

Plano euclidiano

Como la dimensión de un plano euclidiano es dos, las cuádricas en un plano euclidiano tienen dimensión uno y, por lo tanto, son curvas planas . Se denominan secciones cónicas o cónicas .

Círculo ( e  = 0), elipse ( e  = 0,5), parábola ( e  = 1) e hipérbola ( e  = 2) con foco fijo F y directriz.

Espacio euclidiano

En el espacio euclidiano tridimensional , las cuádricas tienen dimensión dos y se conocen como superficies cuádricas . Sus ecuaciones cuadráticas tienen la forma

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0,}$

donde son números reales y al menos uno de A , B y C es distinto de cero. ${\displaystyle A,B,\ldots ,J}$

Las superficies cuadráticas se clasifican y nombran por su forma, que corresponde a las órbitas bajo transformaciones afines . Es decir, si una transformación afín asigna una cuadrática a otra, pertenecen a la misma clase y comparten el mismo nombre y muchas propiedades.

El teorema del eje principal muestra que para cualquier ecuación cuádrica (posiblemente reducible), un cambio adecuado de las coordenadas cartesianas o, equivalentemente, una transformación euclidiana permite poner la ecuación de la cuádrica en una única forma simple en la que la clase de la cuádrica es inmediatamente visible. Esta forma se llama forma normal de la ecuación, ya que dos cuádrica tienen la misma forma normal si y solo si hay una transformación euclidiana que mapea una cuádrica a la otra. Las formas normales son las siguientes:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{1}{z^{2} \over c^{2}}+\varepsilon _{2}=0,}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{3}=0}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{4}=0,}$

${\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{5}{y^{2} \over b^{2}},}$

donde son 1, –1 o 0, excepto que toma solo el valor 0 o 1. ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}}$

Cada una de estas 17 formas normales ^[2] corresponde a una única órbita bajo transformaciones afines. En tres casos no hay puntos reales: ( elipsoide imaginario ), ( cilindro elíptico imaginario ) y (par de planos paralelos conjugados complejos , una cuádrica reducible). En un caso, el cono imaginario , hay un único punto ( ). Si uno tiene una línea (de hecho, dos planos conjugados complejos que se intersecan). Para uno tiene dos planos que se intersecan (cuádrica reducible). Para uno tiene un plano doble. Para uno tiene dos planos paralelos (cuádrica reducible). ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=0,\varepsilon _{2}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=1,\varepsilon _{2}=0}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=-1,}$

Así, entre las 17 formas normales, hay nueve cuádricas verdaderas: un cono, tres cilindros (a menudo llamados cuádricas degeneradas) y cinco cuádricas no degeneradas ( elipsoide , paraboloides e hiperboloides ), que se detallan en las siguientes tablas. Las ocho cuádricas restantes son el elipsoide imaginario (sin punto real), el cilindro imaginario (sin punto real), el cono imaginario (un único punto real) y las cuádricas reducibles, que se descomponen en dos planos; hay cinco cuádricas descompuestas de este tipo, dependiendo de si los planos son distintos o no, paralelos o no, reales o complejos conjugados.

Cuando dos o más de los parámetros de la ecuación canónica son iguales, se obtiene una cuádrica de revolución , que permanece invariante cuando se gira alrededor de un eje (o infinitos ejes, en el caso de la esfera).

Definición y propiedades básicas

Una cuádrica afín es el conjunto de ceros de un polinomio de grado dos. Cuando no se especifica lo contrario, se supone que el polinomio tiene coeficientes reales y los ceros son puntos en un espacio euclidiano . Sin embargo, la mayoría de las propiedades siguen siendo verdaderas cuando los coeficientes pertenecen a cualquier cuerpo y los puntos pertenecen a un espacio afín . Como es habitual en geometría algebraica , a menudo es útil considerar puntos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes del polinomio, generalmente los números complejos , cuando los coeficientes son reales.

Muchas propiedades se vuelven más fáciles de enunciar (y de demostrar) al extender la cuádrica al espacio proyectivo mediante completitud proyectiva , que consiste en agregar puntos en el infinito . Técnicamente, si

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

es un polinomio de grado dos que define una cuadrática afín, entonces su completitud proyectiva se define homogeneizando p en

${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})=X_{0}^{2}\,p\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}$

(este es un polinomio, porque el grado de p es dos). Los puntos de completitud proyectiva son los puntos del espacio proyectivo cuyas coordenadas proyectivas son ceros de P .

Entonces, una cuadrática proyectiva es el conjunto de ceros en un espacio proyectivo de un polinomio homogéneo de grado dos.

Como el proceso de homogeneización anterior se puede revertir estableciendo X ₀ = 1 :

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

A menudo resulta útil no distinguir una cuádrica afín de su completitud proyectiva, y hablar de ecuación afín o ecuación proyectiva de una cuádrica. Sin embargo, no se trata de una equivalencia perfecta; generalmente se da el caso de que incluirá puntos con , que no son también soluciones de porque estos puntos en el espacio proyectivo corresponden a puntos "en el infinito" en el espacio afín. ${\displaystyle P(\mathbf {X} )=0}$ ${\displaystyle X_{0}=0}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$

Ecuación

Una cuádrica en un espacio afín de dimensión n es el conjunto de ceros de un polinomio de grado 2. Es decir, es el conjunto de los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

donde el polinomio p tiene la forma

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

para una matriz con y que va de 0 a . Cuando la característica del campo de los coeficientes no es dos, generalmente se supone ; equivalentemente . Cuando la característica del campo de los coeficientes es dos, generalmente se supone cuando ; equivalentemente es triangular superior . ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$ ${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle a_{i,j}=0}$ ${\displaystyle j<i}$ ${\displaystyle A}$

La ecuación se puede acortar, ya que la ecuación matricial

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} =0\,,}$

con

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}\,.}$

La ecuación de la completitud proyectiva es casi idéntica:

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} =0,}$

con

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

Estas ecuaciones definen una cuádrica como una hipersuperficie algebraica de dimensión n – 1 y grado dos en un espacio de dimensión n .

Se dice que una cuádrica no es degenerada si la matriz es invertible . ${\displaystyle A}$

Una cuádrica no degenerada no es singular en el sentido de que su completitud proyectiva no tiene un punto singular (un cilindro no es singular en el espacio afín, pero es una cuádrica degenerada que tiene un punto singular en el infinito).

Los puntos singulares de una cuádrica degenerada son los puntos cuyas coordenadas proyectivas pertenecen al espacio nulo de la matriz A .

Una cuádrica es reducible si y sólo si el rango de A es uno (caso de un hiperplano doble) o dos (caso de dos hiperplanos).

Forma normal de cuadráticas proyectivas

En el espacio proyectivo real , por la ley de inercia de Sylvester , una forma cuadrática no singular P ( X ) puede ponerse en la forma normal

${\displaystyle P(X)=\pm X_{0}^{2}\pm X_{1}^{2}\pm \cdots \pm X_{D+1}^{2}}$

mediante una transformación proyectiva adecuada (las formas normales para cuádricas singulares pueden tener ceros así como ±1 como coeficientes). Para superficies bidimensionales (dimensión D  = 2) en el espacio tridimensional, hay exactamente tres casos no degenerados:

${\displaystyle P(X)={\begin{cases}X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}-X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\end{cases}}}$

El primer caso es el conjunto vacío.

El segundo caso genera el elipsoide, el paraboloide elíptico o el hiperboloide de dos láminas, según que el plano elegido en el infinito corte a la cuádrica en el conjunto vacío, en un punto o en una cónica no degenerada respectivamente. Todos ellos tienen curvatura gaussiana positiva .

El tercer caso genera el paraboloide hiperbólico o el hiperboloide de una lámina, según que el plano del infinito la corte en dos rectas o en una cónica no degenerada respectivamente. Se trata de superficies doblemente regladas de curvatura gaussiana negativa.

La forma degenerada

${\displaystyle X_{0}^{2}-X_{1}^{2}-X_{2}^{2}=0.\,}$

genera el cilindro elíptico, el cilindro parabólico, el cilindro hiperbólico o el cono, según que el plano del infinito lo corte en un punto, una recta, dos rectas o una cónica no degenerada respectivamente. Se trata de superficies de curvatura gaussiana nula, de regla simple.

Vemos que las transformaciones proyectivas no mezclan curvaturas gaussianas de distinto signo. Esto es cierto para superficies generales. ^[3]

En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas se vuelven indistinguibles entre sí.

Parametrización racional

Dado un punto no singular A de una cuádrica, una línea que pasa por A es tangente a la cuádrica o la interseca en exactamente otro punto (como es habitual, una línea contenida en la cuádrica se considera tangente, ya que está contenida en el hiperplano tangente ). Esto significa que las líneas que pasan por A y no son tangentes a la cuádrica están en correspondencia biunívoca con los puntos de la cuádrica que no pertenecen al hiperplano tangente en A . Expresar los puntos de la cuádrica en términos de la dirección de la línea correspondiente proporciona ecuaciones paramétricas de las siguientes formas.

En el caso de las secciones cónicas (curvas cuádricas), esta parametrización establece una biyección entre una sección cónica proyectiva y una recta proyectiva ; esta biyección es un isomorfismo de las curvas algebraicas . En dimensiones superiores, la parametrización define una función biracional , que es una biyección entre subconjuntos abiertos densos de la cuádrica y un espacio proyectivo de la misma dimensión (la topología que se considera es la habitual en el caso de una cuádrica real o compleja, o la topología de Zariski en todos los casos). Los puntos de la cuádrica que no están en la imagen de esta biyección son los puntos de intersección de la cuádrica y su hiperplano tangente en A.

En el caso afín, la parametrización es una parametrización racional de la forma

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{f_{0}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n,}$

donde son las coordenadas de un punto de la cuádrica, son parámetros, y son polinomios de grado como máximo dos. ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}}$

En el caso proyectivo, la parametrización tiene la forma

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

donde son las coordenadas proyectivas de un punto de la cuádrica, son parámetros y son polinomios homogéneos de grado dos. ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$ ${\displaystyle F_{0},\ldots ,F_{n}}$

Se pasa de una parametrización a otra poniendo y ${\displaystyle x_{i}=X_{i}/X_{0},}$ ${\displaystyle t_{i}=T_{i}/T_{n}\,:}$

${\displaystyle F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})=T_{n}^{2}\,f_{i}\!{\left({\frac {T_{1}}{T_{n}}},\ldots ,{\frac {T_{n-1}}{T_{n}}}\right)}.}$

Para calcular la parametrización y demostrar que los grados son los afirmados, se puede proceder de la siguiente manera en el caso afín. Se puede proceder de manera similar en el caso proyectivo.

Sea q el polinomio cuadrático que define la cuádrica, y sea el vector de coordenadas del punto dado de la cuádrica (por lo tanto, Sea el vector de coordenadas del punto de la cuádrica a parametrizar, y sea un vector que define la dirección utilizada para la parametrización (las direcciones cuya última coordenada es cero no se tienen en cuenta aquí; esto significa que algunos puntos de la cuádrica afín no están parametrizados; se dice a menudo que están parametrizados por puntos en el infinito en el espacio de parámetros). Los puntos de la intersección de la cuádrica y la línea de dirección que pasa por ella son los puntos tales que ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots a_{n})}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0).}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},\ldots ,t_{n-1},1)}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

para algún valor del escalar Esta es una ecuación de grado dos en excepto para los valores de tales que la línea es tangente a la cuádrica (en este caso, el grado es uno si la línea no está incluida en la cuádrica, o la ecuación se convierte en otra cosa). Los coeficientes de y son respectivamente de grado como máximo uno y dos en Como el coeficiente constante es la ecuación se vuelve lineal al dividir por y su única solución es el cociente de un polinomio de grado como máximo uno por un polinomio de grado como máximo dos. Sustituyendo esta solución en la expresión de uno se obtiene la parametrización deseada como fracciones de polinomios de grado como máximo dos. ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle 0=0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} .}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$

Ejemplo: círculo y esferas

Consideremos la cuádrica de la ecuación

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}-1=0.}$

Porque éste es el círculo unitario ; porque éste es la esfera unitaria ; en dimensiones superiores, éste es la hiperesfera unitaria . ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle n=3}$

El punto pertenece a la cuádrica (la elección de este punto entre otros puntos similares es sólo una cuestión de conveniencia). Por lo tanto, la ecuación del apartado anterior se convierte en ${\displaystyle \mathbf {a} =(0,\ldots ,0,-1)}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

${\displaystyle (\lambda t_{1}^{2})+\cdots +(\lambda t_{n-1})^{2}+(1-\lambda )^{2}-1=0.}$

Al expandir los cuadrados, simplificar los términos constantes, dividir por y resolver en uno se obtiene ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.}$

Sustituyendo esto y simplificando la expresión de la última coordenada, se obtiene la ecuación paramétrica ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2t_{1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\\vdots \\x_{n-1}={\frac {2t_{n-1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\x_{n}={\frac {1-t_{1}^{2}-\cdots -t_{n-1}^{2}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.\end{cases}}}$

Homogeneizando se obtiene la parametrización proyectiva

${\displaystyle {\begin{cases}X_{0}=T_{1}^{2}+\cdots +T_{n}^{2}\\X_{1}=2T_{1}T_{n}\\\vdots \\X_{n-1}=2T_{n-1}T_{n}\\X_{n}=T_{n}^{2}-T_{1}^{2}-\cdots -T_{n-1}^{2}.\end{cases}}}$

Una verificación sencilla muestra que esto induce una biyección entre los puntos de la cuádrica tales que y los puntos tales que en el espacio proyectivo de los parámetros. Por otra parte, todos los valores de tales que y dan el punto ${\displaystyle X_{n}\neq -X_{0}}$ ${\displaystyle T_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle (T_{1},\ldots ,T_{n})}$ ${\displaystyle T_{n}=0}$ ${\displaystyle T_{1}^{2}+\cdots +T_{n-1}^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle A.}$

En el caso de las secciones cónicas ( ), hay exactamente un punto con y se tiene una biyección entre el círculo y la línea proyectiva. ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle T_{n}=0.}$

Porque hay muchos puntos con y por lo tanto muchos valores de parámetros para el punto Por otra parte, los otros puntos de la cuádrica para los cuales (y por lo tanto ) no pueden obtenerse para ningún valor de los parámetros. Estos puntos son los puntos de la intersección de la cuádrica y su plano tangente en En este caso específico, estos puntos tienen coordenadas complejas no reales, pero basta con cambiar un signo en la ecuación de la cuádrica para producir puntos reales que no se obtienen con la parametrización resultante. ${\displaystyle n>2,}$ ${\displaystyle T_{n}=0,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X_{n}=-X_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}=-1}$ ${\displaystyle A.}$

Puntos racionales

Una cuádrica se define sobre un cuerpo si los coeficientes de su ecuación pertenecen a Cuando es el cuerpo de los números racionales , se puede suponer que los coeficientes son números enteros despejando denominadores . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un punto de una cuádrica definida sobre un cuerpo se dice racional sobre si sus coordenadas pertenecen a Un punto racional sobre el cuerpo de los números reales, se llama punto real. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un punto racional sobre se llama simplemente punto racional . Despejando denominadores, se puede suponer y se supone en general que las coordenadas proyectivas de un punto racional (en una cuádrica definida sobre ) son números enteros. Además, despejando denominadores de los coeficientes, se supone en general que todos los coeficientes de la ecuación de la cuádrica y los polinomios que aparecen en la parametrización son números enteros. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Encontrar los puntos racionales de una cuádrica proyectiva equivale por tanto a resolver una ecuación diofántica .

Dado un punto racional A sobre una cuádrica sobre un cuerpo F , la parametrización descrita en la sección precedente proporciona puntos racionales cuando los parámetros están en F y, a la inversa, cada punto racional de la cuádrica puede obtenerse a partir de parámetros en F , si el punto no está en el hiperplano tangente en A .

De ello se deduce que, si una cuádrica tiene un punto racional, tiene muchos otros puntos racionales (infinitos si F es infinito), y estos puntos pueden generarse algorítmicamente tan pronto como se conoce uno de ellos.

Como se dijo anteriormente, en el caso de cuádricas proyectivas definidas sobre la parametrización toma la forma ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

donde son polinomios homogéneos de grado dos con coeficientes enteros. Debido a la homogeneidad, solo se pueden considerar parámetros que sean enteros coprimos por conjuntos . Si es la ecuación de la cuádrica, una solución de esta ecuación se dice primitiva si sus componentes son enteros coprimos por conjuntos. Las soluciones primitivas están en correspondencia biunívoca con los puntos racionales de la cuádrica ( hasta un cambio de signo de todos los componentes de la solución). Las soluciones enteras no primitivas se obtienen multiplicando soluciones primitivas por enteros arbitrarios; por lo que no merecen un estudio específico. Sin embargo, los parámetros coprimos por conjuntos pueden producir soluciones no primitivas, y es posible que haya que dividir por un máximo común divisor para llegar a la solución primitiva asociada. ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle Q(X_{0},\ldots ,X_{n})=0}$

Ternas pitagóricas

Esto se ilustra bien con las ternas pitagóricas . Una terna pitagórica es una terna de números enteros positivos tales que Una terna pitagórica es primitiva si son coprimos en el conjunto o, equivalentemente, si cualquiera de los tres pares y es coprimo. ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle (b,c)}$ ${\displaystyle (a,c)}$

Al elegir el método anterior se proporciona la parametrización ${\displaystyle A=(-1,0,1),}$

${\displaystyle {\begin{cases}a=m^{2}-n^{2}\\b=2mn\\c=m^{2}+n^{2}\end{cases}}}$

para la cuádrica de la ecuación (Se están cambiando los nombres de las variables y parámetros de los anteriores a los que son comunes cuando se consideran ternas pitagóricas). ${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$

Si m y n son números enteros coprimos tales que el triple resultante es un triple pitagórico. Si uno de m y n es par y el otro es impar, este triple resultante es primitivo; en caso contrario, m y n son ambos impares y se obtiene un triple primitivo dividiendo por 2. ${\displaystyle m>n>0,}$

En resumen, las ternas pitagóricas primitivas con par se obtienen como ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2},}$

con m y n enteros coprimos tales que uno es par y (esta es la fórmula de Euclides ). Las ternas pitagóricas primitivas con impares se obtienen como ${\displaystyle m>n>0}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad b=mn,\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}},}$

con m y n enteros impares coprimos tales que ${\displaystyle m>n>0.}$

Como el intercambio de a y b transforma una terna pitagórica en otra terna pitagórica, sólo uno de los dos casos es suficiente para producir todas las ternas pitagóricas primitivas.

Cuadráticas proyectivas sobre cuerpos

La definición de una cuádrica proyectiva en un espacio proyectivo real (ver arriba) se puede adaptar formalmente definiendo una cuádrica proyectiva en un espacio proyectivo n -dimensional sobre un cuerpo . Para omitir el manejo de coordenadas, una cuádrica proyectiva se define generalmente comenzando con una forma cuadrática en un espacio vectorial. ^[4]

Forma cuadrática

Sea un cuerpo y un espacio vectorial sobre . Una aplicación de a tal que ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

(Q1) para cualquier y . ${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$ ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$

(Q2) es una forma bilineal . ${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec {x}})-q({\vec {y}})\;}$

Se llama forma cuadrática . La forma bilineal es simétrica . ${\displaystyle f}$

En el caso de la forma bilineal es , es decir y se determinan mutuamente de manera única. En el caso de (es decir: ) la forma bilineal tiene la propiedad , es decir es simpléctica . ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q}$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle 1+1=0}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$ ${\displaystyle f}$

Para y ( es una base de ) tiene la forma familiar ${\displaystyle V=K^{n}\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$ ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \ q}$

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ for }}\ i\neq k\ {\text{ and }}\ a_{ii}:=q({\vec {e}}_{i})\ }$y

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k}+x_{k}y_{i})}$.

Por ejemplo:

${\displaystyle n=3,\quad q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\quad f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$

norte-espacio proyectivo dimensional sobre un campo

Sea un campo, , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle V_{n+1}}$ un espacio vectorial de dimensión ( n +1) sobre el campo ${\displaystyle K,}$

${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle }$el subespacio unidimensional generado por ${\displaystyle {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}}$ ,

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \mid {\vec {x}}\in V_{n+1}\},\ }$el conjunto de puntos ,

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{{\text{2-dimensional subspaces of }}V_{n+1}\},\ }$el conjunto de líneas .

${\displaystyle P_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}})\ }$es el espacio proyectivo n -dimensional sobre . ${\displaystyle K}$

El conjunto de puntos contenidos en un subespacio -dimensional de es un subespacio -dimensional de . Un subespacio bidimensional es un plano . ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$

En el caso de un subespacio -dimensional se denomina hiperplano . ${\displaystyle \;n>3\;}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Cuadrática proyectiva

Una forma cuadrática en un espacio vectorial define una cuádrica en el espacio proyectivo asociado como el conjunto de puntos tales que . Es decir, ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid q({\vec {x}})=0\}.}$

Ejemplos en .: ${\displaystyle P_{2}(K)}$
(E1): Para se obtiene una cónica . (E2): Para se obtiene el par de rectas con las ecuaciones y , respectivamente. Se intersecan en el punto ; ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ ${\displaystyle x_{1}=0}$ ${\displaystyle x_{2}=0}$ ${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle }$

Para las consideraciones que siguen se supone que . ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\neq \emptyset }$

Espacio polar

Para el punto del conjunto ${\displaystyle P=\langle {\vec {p}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle P^{\perp }:=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}}$

se llama espacio polar de (con respecto a ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$

Si para todos , se obtiene . ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle P^{\perp }={\mathcal {P}}}$

Si para al menos uno , la ecuación es una ecuación lineal no trivial que define un hiperplano. Por lo tanto ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$

${\displaystyle P^{\perp }}$es un hiperplano o . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Intersección con una línea

Para la intersección de una recta arbitraria con una cuádrica , pueden darse los siguientes casos: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

a) y se llama línea exterior ${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset \;}$ ${\displaystyle g}$

b) y se llama línea en la cuádrica ${\displaystyle g\subset {\mathcal {Q}}\;}$ ${\displaystyle g}$

c) y se llama recta tangente ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1\;}$ ${\displaystyle g}$

d) y se llama recta secante . ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2\;}$ ${\displaystyle g}$

Demostración: Sea una recta que interseca en el punto y es un segundo punto en . De ello se obtiene I) En el caso de que la ecuación se cumpla y sea para cualquier . Por lo tanto, o bien para cualquier o bien para cualquier , lo que demuestra b) y b'). II) En el caso de que se obtenga y la ecuación tenga exactamente una solución . Por lo tanto: , lo que demuestra c). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \;U=\langle {\vec {u}}\rangle \;}$ ${\displaystyle \;V=\langle {\vec {v}}\rangle \;}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \;q({\vec {u}})=0\;}$
${\displaystyle q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q(x{\vec {u}})+q({\vec {v}})+f(x{\vec {u}},{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})\;.}$
${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$ ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$
${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$ ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$

Además la prueba muestra:

Una línea que pasa por un punto es una línea tangente si y sólo si . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle g\subset P^{\perp }}$

F-radical,q-radical

En los casos clásicos o existe sólo un radical, porque y y están estrechamente relacionados. En el caso de la cuádrica no está determinada por (ver arriba) y por lo tanto hay que tratar con dos radicales: ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle f}$

a) es un subespacio proyectivo. se llama f -radical de cuádrica . ${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{P\in {\mathcal {P}}\mid P^{\perp }={\mathcal {P}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

b) se llama radical singular o -radical de . ${\displaystyle {\mathcal {S}}:={\mathcal {R}}\cap {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

c) En caso de que se tenga . ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}}$

Una cuádrica se llama no degenerada si . ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\emptyset }$

Ejemplos en ${\displaystyle P_{2}(K)}$ (ver arriba):
(E1): Para (cónica) la forma bilineal es En el caso de los espacios polares nunca son . Por lo tanto . En el caso de la forma bilineal se reduce a y . Por lo tanto En este caso el f -radical es el punto común de todas las tangentes, el llamado nudo . En ambos casos y la cuádrica (cónica) es no degenerada . (E2): Para (par de líneas) la forma bilineal es y el punto de intersección. En este ejemplo la cuádrica es degenerada . ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}=\emptyset }$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle \notin {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\neq {\mathcal {S}}=\emptyset \;.}$
${\displaystyle S=\emptyset }$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle ={\mathcal {S}}\;,}$

Simetrías

Una cuádrica es un objeto bastante homogéneo:

Para cualquier punto existe una colineación central involutiva con centro y . ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}\;}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}}$

Prueba: Debido a que el espacio polar es un hiperplano. ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle P^{\perp }}$

El mapeo lineal

${\displaystyle \varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{q({\vec {p}})}}{\vec {p}}}$

induce una colineación central involutiva con eje y centro que deja invariante. En el caso de , la aplicación produce la forma familiar con y para cualquier . ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P^{\perp }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \;\varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-2{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{f({\vec {p}},{\vec {p}})}}{\vec {p}}\;}$ ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {p}})=-{\vec {p}}}$ ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {x}})={\vec {x}}\;}$ ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in P^{\perp }}$

Observación:

a) Una recta exterior, una recta tangente o una recta secante se representa mediante la involución sobre una recta exterior, tangente y secante, respectivamente. ${\displaystyle \sigma _{P}}$

b) está fijado puntualmente por . ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$

q-subespacios e índice de una cuádrica

Un subespacio de se llama -subespacio si ${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\;}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\subset {\mathcal {Q}}\;}$

Por ejemplo: puntos en una esfera o líneas en un hiperboloide (ver abajo).

Dos subespacios máximos cualesquiera tienen la misma dimensión . ^[5] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$

Sea la dimensión de los subespacios máximos de entonces ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

El número entero se llama índice de . ${\displaystyle \;i:=m+1\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Teorema: (BUEKENHOUT) ^[6]

Para el índice de una cuádrica no degenerada se cumple lo siguiente: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$

${\displaystyle i\leq {\frac {n+1}{2}}}$.

Sea una cuádrica no degenerada en , y su índice. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{n}(K),n\geq 2}$ ${\displaystyle i}$

En el caso de cuádrica se llama esfera (o cónica ovalada si ). ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle n=2}$

En caso de cuádrica se llama hiperboloide (de una sola hoja). ${\displaystyle i=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Ejemplos:

a) La cuádrica en forma con es no degenerada con índice 1. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{2}(K)}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$

b) Si un polinomio es irreducible sobre la forma cuadrática se obtiene una cuádrica no degenerada de índice 1 (esfera). Por ejemplo: es irreducible sobre (¡pero no sobre  !). ${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+a_{0}\xi +b_{0}\;}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}^{2}+a_{0}x_{1}x_{2}+b_{0}x_{2}^{2}-x_{3}x_{4}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{3}(K)}$ ${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+1\;}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

c) En la forma cuadrática genera un hiperboloide . ${\displaystyle P_{3}(K)}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\;}$

Generalización de cuadráticas: conjuntos cuadráticos

No es razonable extender formalmente la definición de cuádricas a espacios sobre cuerpos oblicuos genuinos (anillos de división). Porque se obtendrían secantes que llevarían más de 2 puntos de la cuádrica, lo que es totalmente diferente de las cuádricas habituales . ^{[7] [8] [9]} La razón es la siguiente afirmación.

Un anillo de división es conmutativo si y sólo si cualquier ecuación tiene como máximo dos soluciones. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{2}+ax+b=0,\ a,b\in K}$

Existen generalizaciones de las cuádricas: conjuntos cuadráticos . ^[10] Un conjunto cuadrático es un conjunto de puntos de un espacio proyectivo con las mismas propiedades geométricas que una cuádrica: cada línea interseca un conjunto cuadrático en como máximo dos puntos o está contenida en el conjunto.

Véase también

• Cuadrícula de Klein
• Rotación de ejes
• Supercuadrículas
• Traducción de ejes

Referencias

1. Silvio Levy Quadrics en "Geometry Formulas and Facts", extraído de la 30.ª edición de CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , CRC Press , del Centro de Geometría de la Universidad de Minnesota
2. Stewart Venit y Wayne Bishop, Álgebra lineal elemental (cuarta edición) , International Thompson Publishing, 1996.
3. S. Lazebnik y J. Ponce, "La forma proyectiva local de superficies lisas y sus contornos" (PDF) .Proposición 1
4. Beutelspacher/Rosenbaum p.158
5. Beutelpacher/Rosenbaum, p.139
6. F. Buekenhout: Ensembles Quadratiques des Espace Projective , Matemáticas. Teitschr. 110 (1969), pág. 306-318.
7. R. Artzy : La cónica en los aviones Moufang ${\displaystyle y=x^{2}}$ , Aequat.Mathem. 6 (1971), pág. 31-35
8. E. Berz: Kegelschnitte en Desarguesschen Ebenen , Matemáticas. Zeitschr. 78 (1962), pág. 55-8
9. Enlace externo E. Hartmann: Geometrías de círculos planos , pág. 123
10. Beutelspacher/Rosenbaum: pág. 135

Bibliografía

• M. Audin: Geometría , Springer, Berlín, 2002, ISBN 978-3-540-43498-6 , p. 200. 
• M. Berger: Libros de problemas en matemáticas , ISSN 0941-3502, Springer Nueva York, págs. 79–84.
• A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projektive Geometrie , Vieweg + Teubner, Braunschweig ua 1992, ISBN 3-528-07241-5 , p. 159. 
• P. Dembowski: Geometrías finitas , Springer, 1968, ISBN 978-3-540-61786-0 , pág. 43. 
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Cuádrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Cuádrica". MathWorld .

Enlaces externos

• Modelos 3D interactivos en Java de todas las superficies cuadráticas
• Nota de clase Geometrías de círculos planos, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski, pág. 117