El problema de Plateau

Para encontrar la superficie mínima con un límite dado

Una burbuja de jabón en forma de catenoide.

En matemáticas , el problema de Plateau consiste en demostrar la existencia de una superficie mínima con un límite dado, problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, recibe su nombre de Joseph Plateau, quien experimentó con películas de jabón . El problema se considera parte del cálculo de variaciones . Los problemas de existencia y regularidad forman parte de la teoría de la medida geométrica .

Historia

Se resolvieron varias formas especializadas del problema, pero recién en 1930 Jesse Douglas y Tibor Radó encontraron soluciones generales en el contexto de aplicaciones (inmersiones) de forma independiente . Sus métodos eran bastante diferentes; el trabajo de Radó se basaba en el trabajo previo de René Garnier y se aplicaba solo a curvas cerradas simples rectificables , mientras que Douglas utilizó ideas completamente nuevas y su resultado se aplicaba a una curva cerrada simple arbitraria. Ambos se basaron en el establecimiento de problemas de minimización; Douglas minimizó la ahora denominada integral de Douglas, mientras que Radó minimizó la "energía". Douglas recibió la Medalla Fields en 1936 por sus esfuerzos.

En dimensiones superiores

La extensión del problema a dimensiones superiores (es decir, para superficies -dimensionales en un espacio -dimensional) resulta ser mucho más difícil de estudiar. Además, mientras que las soluciones al problema original son siempre regulares, resulta que las soluciones al problema extendido pueden tener singularidades si . En el caso de la hipersuperficie donde , las singularidades ocurren solo para . Un ejemplo de dicha solución singular del problema de Plateau es el cono de Simons, un cono sobre en que fue descrito por primera vez por Jim Simons y se demostró que era un minimizador de área por Bombieri , De Giorgi y Giusti . ^[1] Para resolver el problema extendido en ciertos casos especiales, se han desarrollado la teoría de perímetros ( De Giorgi ) para codimensión 1 y la teoría de corrientes rectificables ( Federer y Fleming) para codimensión superior. La teoría garantiza la existencia de soluciones de codimensión 1 que son suaves fuera de un conjunto cerrado de dimensión de Hausdorff . En el caso de codimensiones superiores, Almgren demostró la existencia de soluciones con un conjunto singular de dimensiones como máximo en su teorema de regularidad . SX Chang, un estudiante de Almgren, se basó en el trabajo de Almgren para demostrar que las singularidades de las corrientes integrales que minimizan el área bidimensional (en codimensiones arbitrarias) forman un conjunto discreto finito. ^{[2] [3]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\leq n-2}$ ${\displaystyle k=n-1}$ ${\displaystyle n\geq 8}$ ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle n-8}$ ${\displaystyle k-2}$

El enfoque axiomático de Jenny Harrison y Harrison Pugh ^{[4] trata una amplia variedad de casos especiales. En particular, resuelven el problema de meseta anisotrópica en dimensión y codimensión arbitrarias para cualquier colección de conjuntos rectificables que satisfagan una combinación de condiciones generales de expansión homológicas, cohomológicas u homotópicas.} Camillo De Lellis , Francesco Ghiraldin y Francesco Maggi obtuvieron una prueba diferente de los resultados de Harrison-Pugh . ^[5]

Aplicaciones físicas

Las películas de jabón físicas se modelan con mayor precisión mediante los conjuntos mínimos de Frederick Almgren , pero la falta de un teorema de compacidad dificulta la prueba de la existencia de un minimizador de área. En este contexto, una pregunta abierta persistente ha sido la existencia de una película de jabón de área mínima. Ernst Robert Reifenberg resolvió un "problema de Plateau universal" de este tipo para límites que son homeomorfos a esferas individuales incrustadas. ${\displaystyle (M,0,\Delta )}$

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Conjetura de la doble burbuja
• Principio de Dirichlet
• Leyes de Plateau
• Método de cuadrícula estirada
• El problema de Bernstein

Referencias

1. Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, Enrico (1969), "Los conos mínimos y el problema de Bernstein", Inventiones Mathematicae , 7 (3): 243–268, Bibcode :1969InMat...7..243B, doi :10.1007/BF01404309, S2CID  59816096
2. Chang, Sheldon Xu-Dong (1988), "Las corrientes integrales que minimizan el área bidimensional son superficies mínimas clásicas", Journal of the American Mathematical Society , 1 (4): 699–778, doi :10.2307/1990991, JSTOR  1990991
3. De Lellis, Camillo (2016), "Corrientes bidimensionales que minimizan casi el área" (PDF) , Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , 9 (1): 3–67, doi :10.1007/s40574-016-0057-1, Señor  3470822
4. Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2017), "Métodos generales de minimización elíptica", Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , 56 (1), arXiv : 1603.04492 , doi :10.1007/s00526-017-1217-6, S2CID  119704344
5. De Lellis, Camillo; Ghiraldin, Francisco; Maggi, Francesco (2017), "Una aproximación directa al problema de Plateau" (PDF) , Revista de la Sociedad Matemática Europea , 19 (8): 2219–2240, doi :10.4171/JEMS/716, S2CID  29820759

• Douglas, Jesse (1931). "Solución del problema de Plateau". Trans. Amer. Math. Soc . 33 (1): 263–321. doi : 10.2307/1989472 . JSTOR  1989472.
• Reifenberg, Ernst Robert (1960). "Solución del problema {Plateau} para superficies m-dimensionales de tipo topológico variable". Acta Mathematica . 104 (2): 1–92. doi : 10.1007/bf02547186 .
• Fomenko, AT (1989). El problema de la meseta: estudio histórico . Williston, VT: Gordon & Breach. ISBN 978-2-88124-700-2.
• Morgan, Frank (2009). Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes . Academic Press. ISBN 978-0-12-374444-9.
• O'Neil, TC (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Radó, Tibor (1930). "Sobre el problema de Plateau". Ann. of Math . 2. 31 (3): 457–469. Bibcode :1930AnMat..31..457R. doi :10.2307/1968237. JSTOR  1968237.
• Struwe, Michael (1989). El problema de Plateau y el cálculo de variaciones . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08510-4.
• Almgren, Frederick (1966). El problema de Plateau, una invitación a la geometría de pliegues variables . Nueva York-Ámsterdam: Benjamin. ISBN 978-0-821-82747-5.

• Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016). Problemas abiertos en matemáticas (problema de Plateau) . Springer. arXiv : 1506.05408 . doi :10.1007/978-3-319-32162-2. ISBN . 978-3-319-32160-8.

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