Anillo de vórtice

Vórtice en forma de toro en un fluido

Imagen fotográfica de chispa de un anillo de vórtice en vuelo.

Un anillo de vórtices , también llamado vórtice toroidal , es un vórtice con forma de toro en un fluido ; es decir, una región donde el fluido gira principalmente alrededor de una línea de eje imaginaria que forma un bucle cerrado. Se dice que el flujo dominante en un anillo de vórtices es toroidal , más precisamente poloidal . ^{[ aclaración necesaria ]}

Los anillos de vórtice son abundantes en flujos turbulentos de líquidos y gases, pero rara vez se notan a menos que el movimiento del fluido sea revelado por partículas suspendidas, como en los anillos de humo que a menudo son producidos intencional o accidentalmente por fumadores. Los anillos de vórtice ardientes también son un truco producido comúnmente por los tragafuegos . Los anillos de vórtice visibles también pueden formarse por el disparo de cierta artillería , en nubes de hongos , en microrráfagas ^{[1] [2]} y, raramente, en erupciones volcánicas. ^[3]

Un anillo de vórtice suele moverse en una dirección perpendicular al plano del anillo y de tal manera que el borde interior del anillo se mueve más rápido hacia adelante que el borde exterior. Dentro de un cuerpo de fluido estacionario, un anillo de vórtice puede viajar una distancia relativamente larga, llevando consigo el fluido giratorio.

Estructura

Flujo alrededor de un anillo de vórtice idealizado

En un anillo de vórtices típico, las partículas de fluido se mueven en trayectorias aproximadamente circulares alrededor de un círculo imaginario (el núcleo ) que es perpendicular a esas trayectorias. Como en cualquier vórtice, la velocidad del fluido es aproximadamente constante excepto cerca del núcleo, de modo que la velocidad angular aumenta hacia el núcleo y la mayor parte de la vorticidad (y, por lo tanto, la mayor parte de la disipación de energía) se concentra cerca de él. ^{[ cita requerida ]}

A diferencia de una ola marina , cuyo movimiento es solo aparente, un anillo de vórtice en movimiento en realidad transporta el fluido giratorio. Del mismo modo que una rueda giratoria reduce la fricción entre un automóvil y el suelo, el flujo poloidal del vórtice reduce la fricción entre el núcleo y el fluido estacionario circundante, lo que le permite viajar una gran distancia con relativamente poca pérdida de masa y energía cinética, y pocos cambios en tamaño o forma. Por lo tanto, un anillo de vórtice puede transportar masa mucho más lejos y con menos dispersión que un chorro de fluido. Eso explica, por ejemplo, por qué un anillo de humo sigue viajando mucho después de que el humo adicional expulsado con él se haya detenido y dispersado. ^[4] Estas propiedades de los anillos de vórtice se explotan en el cañón de anillo de vórtice para el control de disturbios y en juguetes de anillo de vórtice como los cañones de vórtice de aire . ^[5]

Formación

Proceso de formación

La formación de anillos de vórtice ha fascinado a la comunidad científica durante más de un siglo, comenzando con William Barton Rogers ^[6], quien realizó observaciones muy interesantes sobre el proceso de formación de anillos de vórtice de aire en el aire, anillos de aire en líquidos y anillos de líquido en líquidos. En particular, William Barton Rogers utilizó el sencillo método experimental de dejar caer una gota de líquido sobre una superficie líquida libre; una gota de líquido coloreada que cae, como leche o agua teñida, formará inevitablemente un anillo de vórtice en la interfaz debido a la tensión superficial .

Un método propuesto por GI Taylor ^[7] para generar un anillo de vórtices consiste en poner en marcha de forma impulsiva un disco desde el reposo. El flujo se separa para formar una lámina de vórtices cilíndrica y, al disolver artificialmente el disco, se obtiene un anillo de vórtices aislado. Este es el caso cuando alguien revuelve su taza de café con una cuchara y observa la propagación de un semivórtice en la taza.

En un laboratorio, los anillos de vórtice se forman descargando impulsivamente fluido a través de una boquilla u orificio de borde afilado. El movimiento impulsivo del sistema pistón/cilindro es activado por un actuador eléctrico o por un recipiente presurizado conectado a una válvula de control. Para una geometría de boquilla, y en primera aproximación, la velocidad de escape es uniforme e igual a la velocidad del pistón. Esto se conoce como un chorro de arranque paralelo. Es posible tener una boquilla cónica en la que las líneas de corriente en el escape se dirigen hacia la línea central. Esto se conoce como un chorro de arranque convergente. La geometría del orificio que consiste en una placa de orificio que cubre el escape del tubo recto, puede considerarse como una boquilla infinitamente convergente, pero la formación del vórtice difiere considerablemente de la boquilla convergente, principalmente debido a la ausencia de capa límite en el espesor de la placa de orificio durante todo el proceso de formación. Por lo tanto, el fluido de movimiento rápido ( A ) se descarga en un fluido quieto ( B ). La fuerza cortante impuesta en la interfaz entre los dos fluidos ralentiza la capa exterior del fluido ( A ) en relación con el fluido de la línea central. Para satisfacer la condición de Kutta , el flujo se ve obligado a desprenderse, curvarse y enrollarse en forma de una lámina de vórtice. ^[8] Más tarde, la lámina de vórtice se desprende del chorro de alimentación y se propaga libremente corriente abajo debido a su cinemática autoinducida. Este es el proceso que se observa comúnmente cuando un fumador forma anillos de humo con la boca y cómo funcionan los juguetes de anillos de vórtice .

Es probable que los efectos secundarios modifiquen el proceso de formación de anillos de vórtice. ^[8] En primer lugar, en los primeros instantes, el perfil de velocidad en el escape exhibe extremos cerca del borde que causan un gran flujo de vorticidad hacia el anillo de vórtice. En segundo lugar, a medida que el anillo crece en tamaño en el borde del escape, se genera vorticidad negativa en la pared exterior del generador que reduce considerablemente la circulación acumulada por el anillo primario. En tercer lugar, a medida que la capa límite dentro de la tubería o boquilla se espesa, el perfil de velocidad se aproxima al de un flujo de Poiseuille y la velocidad central en el escape se mide como mayor que la velocidad del pistón prescrita. Por último, pero no menos importante, en el caso de que el anillo de vórtice generado por el pistón sea empujado a través del escape, puede interactuar o incluso fusionarse con el vórtice primario, modificando así su característica, como la circulación, y potencialmente forzando la transición del anillo de vórtice a turbulencia.

Las estructuras de vórtices anulares son fácilmente observables en la naturaleza. Por ejemplo, una nube de hongo formada por una explosión nuclear o erupción volcánica tiene una estructura similar a un vórtice anular. Los vórtices anulares también se observan en muchos flujos biológicos diferentes; la sangre se descarga en el ventrículo izquierdo del corazón humano en forma de vórtice anular ^[9] y se ha demostrado que las medusas o los calamares se impulsan en el agua descargando periódicamente vórtices anulares en el entorno ^[10] . Por último, para aplicaciones más industriales, el chorro sintético que consiste en vórtices anulares formados periódicamente ha demostrado ser una tecnología atractiva para el control del flujo, la transferencia de calor y masa y la generación de empuje ^[11].

Número de formación de vórtices

Antes de Gharib et al. (1998), ^[12] pocos estudios se habían centrado en la formación de anillos de vórtice generados con relaciones carrera-diámetro largas , donde es la longitud de la columna de fluido descargado a través del escape y es el diámetro del escape. Para relaciones de carrera cortas, solo se genera un anillo de vórtice aislado y no se deja fluido atrás en el proceso de formación. Sin embargo, para relaciones de carrera largas, el anillo de vórtice es seguido por algún fluido energético, conocido como chorro de cola. Además de mostrar evidencia experimental del fenómeno, se proporcionó una explicación del fenómeno en términos de maximización de energía invocando un principio variacional reportado por primera vez por Kelvin ^[13] y luego probado por Benjamin (1976), ^[14] o Friedman & Turkington (1981). ^[15] Finalmente, Gharib et al. (1998) ^[12] observaron que la transición entre estos dos estados se produce en un tiempo adimensional , o equivalentemente en una relación de carrera , de aproximadamente 4. La robustez de este número con respecto a las condiciones iniciales y de contorno sugirió que la cantidad era una constante universal y, por lo tanto, se denominó número de formación . ${\displaystyle L/D}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle t^{*}=Ut/D}$ ${\displaystyle L/D}$

El fenómeno de 'pinzamiento', o desprendimiento, del chorro de inicio de alimentación se observa en una amplia gama de flujos observados en la naturaleza. ^{[16] [17]} Por ejemplo, se demostró que los sistemas biológicos como el corazón humano o los animales nadadores y voladores generan anillos de vórtice con una relación de carrera a diámetro cercana al número de formación de aproximadamente 4, lo que da fundamento a la existencia de un proceso de formación de anillo de vórtice óptimo en términos de propulsión, generación de empuje y transporte de masa. ^[18] En particular, se demostró que el calamar lolliguncula brevis se propulsaba a sí mismo emitiendo periódicamente anillos de vórtice con una relación de carrera cercana a 4. ^{[19] [17]} Además, en otro estudio de Gharib et al (2006), ^[9] el número de formación se utilizó como un indicador para monitorear la salud del corazón humano e identificar pacientes con miocardiopatía dilatada .

Otros ejemplos

Estado de anillo de vórtice en helicópteros

Las flechas curvas indican la circulación del flujo de aire alrededor del disco del rotor. El helicóptero que se muestra es el RAH-66 Comanche .

Alrededor del rotor principal de un helicóptero se pueden formar vórtices de aire , lo que provoca una peligrosa condición conocida como estado de anillo de vórtices (VRS) o "asentamiento con potencia". En esta condición, el aire que se mueve hacia abajo a través del rotor gira hacia afuera, luego hacia arriba, hacia adentro y luego hacia abajo nuevamente a través del rotor. Esta recirculación del flujo puede anular gran parte de la fuerza de sustentación y causar una pérdida catastrófica de altitud. Aplicar más potencia (aumentar el paso colectivo) sirve para acelerar aún más la corriente descendente a través de la cual desciende el rotor principal, lo que agrava la condición.

En el corazón humano

Un anillo de vórtice se forma en el ventrículo izquierdo del corazón humano durante la relajación cardíaca ( diástole ), cuando un chorro de sangre entra a través de la válvula mitral . Este fenómeno se observó inicialmente in vitro ^{[20] [21]} y posteriormente se fortaleció mediante análisis basados ​​en el mapeo Doppler color ^{[22] [23]} y la resonancia magnética . ^{[24] [25]} Algunos estudios recientes ^{[26] [27]} también han confirmado la presencia de un anillo de vórtice durante la fase de llenado rápido de la diástole e implicaron que el proceso de formación del anillo de vórtice puede influir en la dinámica del anillo mitral .

Anillos de burbujas

Al liberar aire bajo el agua se forman anillos de burbujas , que son anillos de vórtice de agua con burbujas (o incluso una única burbuja con forma de rosquilla) atrapadas a lo largo de su línea de eje. Estos anillos suelen ser producidos por buceadores y delfines . ^[28]

Volcanes

Anillo de vórtices del monte Etna

En determinadas condiciones, algunos respiraderos volcánicos pueden producir grandes anillos de vórtices visibles. ^{[3] [29]} Aunque se trata de un fenómeno poco frecuente, se han observado varios volcanes que emiten enormes anillos de vórtices a medida que el vapor y el gas en erupción se condensan, formando nubes toroidales visibles:

• Monte Etna , ^{[30] [31] [32]} Italia ( Sicilia )
• Stromboli , ^[33] Italia ( Islas Eolias )
• Eyjafjallajökull , ^[34] Islandia
• Hekla , ^[35] Islandia
• Tungurahua , ^[36] Ecuador
• Pacaya , ^[37] Guatemala
• Monte Redoubt , ^[38] Estados Unidos ( Alaska )
• Monte Aso , ^[39] Japón ( Kyushu )
• Whakaari (Isla Blanca) , ^[40] Nueva Zelanda
• Gunung Slamet , ^[41] Indonesia ( Java Central )
• Momotombo , ^[42] Nicaragua ( León )

Anillos de vórtice separados

Pappus del diente de león que produce un anillo de vórtice separado para estabilizar el vuelo.

Se han realizado investigaciones y experimentos sobre la existencia de anillos de vórtice separados (SVR) como los que se forman en la estela del vilano de un diente de león . Este tipo especial de anillo de vórtice estabiliza eficazmente la semilla a medida que viaja por el aire y aumenta la sustentación generada por la semilla. ^{[43] [44]} En comparación con un anillo de vórtice estándar, que se impulsa corriente abajo, el SVR axialmente simétrico permanece unido al vilano durante la duración de su vuelo y utiliza la resistencia para mejorar el viaje. ^{[44] [45]} Estas estructuras de semillas de diente de león se han utilizado para crear pequeños sensores inalámbricos sin batería que pueden flotar en el viento y dispersarse por un área grande. ^[46]

Teoría

Estudios históricos

La formación de anillos de vórtices ha fascinado a la comunidad científica durante más de un siglo, comenzando con William Barton Rogers ^[47], quien realizó observaciones muy interesantes sobre el proceso de formación de anillos de vórtices de aire en el aire, anillos de aire en líquidos y anillos de líquido en líquidos. En particular, William Barton Rogers utilizó el sencillo método experimental de dejar caer una gota de líquido sobre una superficie líquida libre; una gota de líquido coloreada que cae, como leche o agua teñida, formará inevitablemente un anillo de vórtice en la interfaz debido a la tensión superficial. ^{[ cita requerida ]}

Los anillos de vórtice fueron analizados matemáticamente por primera vez por el físico alemán Hermann von Helmholtz , en su artículo de 1858 Sobre las integrales de las ecuaciones hidrodinámicas que expresan el movimiento de vórtices . ^{[48] [49] [50]}

Líneas de vórtice circulares

Para un único anillo de vórtices de espesor cero, la vorticidad se representa mediante una función delta de Dirac como donde denota las coordenadas del filamento de vórtice de fuerza en un semiplano constante. La función de corriente de Stokes es: ^[51] con donde y son respectivamente la distancia menor y mayor desde el punto hasta la línea de vórtice, y donde es la integral elíptica completa de primer tipo y es la integral elíptica completa de segundo tipo . ${\displaystyle \omega \left(r,x\right)=\kappa \delta \left(r-r'\right)\delta \left(x-x'\right)}$ ${\displaystyle \left(r',x'\right)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \psi (r,x)=-{\frac {\kappa }{2\pi }}\left(r_{1}+r_{2}\right)\left[K(\lambda )-E(\lambda )\right]}$$ ${\displaystyle r_{1}^{2}=\left(x-x'\right)^{2}+\left(r-r'\right)^{2}\qquad r_{2}^{2}=\left(x-x'\right)^{2}+\left(r+r'\right)^{2}\qquad \lambda ={\frac {r_{2}-r_{1}}{r_{2}+r_{1}}}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle P(r,x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

Una línea de vórtice circular es el caso límite de un anillo de vórtice delgado. Debido a que no hay espesor de núcleo, la velocidad del anillo es infinita, así como la energía cinética . El impulso hidrodinámico se puede expresar en términos de la fuerza, o "circulación" , del anillo de vórtice como . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle I=\rho \pi \kappa R^{2}}$

Anillos de vórtice de núcleo delgado

La discontinuidad introducida por la función delta de Dirac impide el cálculo de la velocidad y la energía cinética de una línea de vórtice circular. Sin embargo, es posible estimar estas cantidades para un anillo de vórtice que tenga un espesor finito pequeño. Para un anillo de vórtice delgado, el núcleo puede aproximarse mediante un disco de radio que se supone que es infinitesimal en comparación con el radio del anillo , es decir , . Como consecuencia, dentro y en las proximidades del anillo del núcleo, se puede escribir: , y , y, en el límite de , las integrales elípticas pueden aproximarse mediante y . ^[51] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a/R\ll 1}$ ${\displaystyle r_{1}/r_{2}\ll 1}$ ${\displaystyle r_{2}\approx 2R}$ ${\displaystyle 1-\lambda ^{2}\approx 4r_{1}/R}$ ${\displaystyle \lambda \approx 1}$ ${\displaystyle K(\lambda )=1/2\ln \left({16}/{(1-\lambda ^{2})}\right)}$ ${\displaystyle E(\lambda )=1}$

Para una distribución uniforme de vorticidad en el disco, la función de corriente de Stokes se puede aproximar mediante </ref> ${\displaystyle \omega (r,x)=\omega _{0}}$ $${\displaystyle \psi (r,x)=-{\frac {\omega _{0}}{2\pi }}R\iint {\left(\ln {\frac {8R}{r_{1}}}-2\right)\,dr'dx'}}$$

La circulación resultante , el impulso hidrodinámico y la energía cinética son ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma &=\pi \omega _{0}a^{2}\\I&=\rho \pi \Gamma R^{2}\\E&={\frac {1}{2}}\rho \Gamma ^{2}R\left(\ln {\frac {8R}{a}}-{\frac {7}{4}}\right)\end{aligned}}}$$

También es posible encontrar la velocidad de traslación del anillo (que es finita) de dicho anillo de vórtice de núcleo delgado aislado: lo que finalmente da como resultado la conocida expresión encontrada por Kelvin y publicada en la traducción al inglés por Tait del artículo de von Helmholtz : ^{[48] [49] [51]} $${\displaystyle U={\frac {E}{2I}}+{\frac {3}{8\pi }}{\frac {\Gamma }{R}}}$$ $${\displaystyle U={\frac {\Gamma }{4\pi R}}\left(\ln {\frac {8R}{a}}-{\frac {1}{4}}\right)}$$

Vórtices esféricos

El vórtice esférico de Hill ^[52] es un ejemplo de flujo de vórtice constante y puede utilizarse para modelar anillos de vórtices que tienen una distribución de vorticidad que se extiende hasta la línea central. Más precisamente, el modelo supone una distribución de vorticidad distribuida linealmente en la dirección radial que comienza desde la línea central y está limitada por una esfera de radio como: donde es la velocidad de traslación constante del vórtice. ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {\omega }{r}}={\frac {15}{2}}{\frac {U}{a^{2}}}}$$ ${\displaystyle U}$

Finalmente, se puede calcular la función de corriente de Stokes del vórtice esférico de Hill, que se obtiene mediante: ^{[52] [51]} Las expresiones anteriores corresponden a la función de corriente que describe un flujo constante. En un marco de referencia fijo, se debe agregar la función de corriente del flujo masivo que tiene una velocidad . $${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi (r,x)=-{\frac {3}{4}}{\frac {U}{a^{2}}}r^{2}\left(a^{2}-r^{2}-x^{2}\right)&&{\text{inside the vortex}}\\&\psi (r,x)={\frac {1}{2}}Ur^{2}\left[1-{\frac {a^{3}}{\left(x^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}}\right]&&{\text{outside the vortex}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle U}$

La circulación , el impulso hidrodinámico y la energía cinética también se pueden calcular en términos de la velocidad de traslación y el radio : ^{[52] [51]} </ref> ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma &=5Ua\\I&=2\pi \rho Ua^{3}\\E&={\frac {10\pi }{7}}\rho U^{2}a^{3}\end{aligned}}}$$

Se ha sugerido una estructura de este tipo o un equivalente electromagnético como explicación de la estructura interna de los rayos globulares . Por ejemplo, Shafranov ^{[ cita requerida ]} utilizó una analogía magnetohidrodinámica (MHD) con el vórtice mecánico de fluido estacionario de Hill para considerar las condiciones de equilibrio de las configuraciones MHD axialmente simétricas, reduciendo el problema a la teoría del flujo estacionario de un fluido incompresible. En la simetría axial, consideró el equilibrio general para corrientes distribuidas y concluyó, según el Teorema del Virial , que si no hubiera gravitación, una configuración de equilibrio acotada podría existir solo en presencia de una corriente azimutal. ^{[ cita requerida ]}

Modelo de Fraenkel-Norbury

El modelo de Fraenkel-Norbury de anillo de vórtice aislado, a veces denominado modelo estándar, se refiere a la clase de anillos de vórtice estables que tienen una distribución lineal de vorticidad en el núcleo y parametrizada por el radio medio del núcleo , donde es el área del núcleo del vórtice y es el radio del anillo. Se encontraron soluciones aproximadas para anillos de núcleo delgado, es decir , ^{[53] [54]} y anillos de vórtice gruesos tipo Hill, es decir , ^{[55] [56]} vórtice esférico de Hill que tiene un radio medio del núcleo de exactamente . Para radios medios del núcleo intermedios, uno debe confiar en métodos numéricos. Norbury (1973) ^[56] encontró numéricamente el anillo de vórtice estable resultante de un radio medio del núcleo dado, y esto para un conjunto de 14 radios medios del núcleo que van desde 0,1 a 1,35. Se tabularon las líneas de corriente resultantes que definen el núcleo del anillo, así como la velocidad de traslación. Además, se calcularon la circulación, el impulso hidrodinámico y la energía cinética de dichos anillos de vórtices estables y se presentaron en forma adimensional. ${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {A/\pi R^{2}}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {2}}}$

Inestabilidades

^{Maxworthy [57]} observó un tipo de estructura radiante simétrica azimutal cuando el anillo de vórtices se movía alrededor de una velocidad crítica, que se encuentra entre los estados turbulento y laminar. Más tarde, Huang y Chan ^[58] informaron que si el estado inicial del anillo de vórtices no es perfectamente circular, se produciría otro tipo de inestabilidad. Un anillo de vórtices elíptico experimenta una oscilación en la que primero se estira en la dirección vertical y se comprime en la dirección horizontal, luego pasa por un estado intermedio donde es circular, luego se deforma en la dirección opuesta (se estira en la dirección horizontal y se comprime en la vertical) antes de invertir el proceso y regresar al estado original. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Cañón de vórtice de aire
• Anillo de burbujas – anillo de vórtice submarino
• Nube de hongo
• Momento toroidal
• Cañón de anillo de vórtice
• Juguete de anillo de vórtice

Referencias

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Enlaces externos

• Vídeo de YouTube del cañón de anillo Vortex
• Conferencia sobre dinámica de fluidos que aborda los vórtices
• Una animación de un anillo de vórtice.
• Generador de anillos de vórtice gigante
• Física de la caja de juguetes: vórtices, cañones de aire y nubes con forma de hongo
• Tesis sobre la formación de anillos de vórtices y sus interacciones
• Semianillo de vórtice en una piscina, Dianna Cowern (Physics Girl), YouTube
• Más experimentos con anillos de vórtice en una piscina, Dianna Cowern (Physics Girl), YouTube