Propiedad distributiva

Propiedad que involucra dos operaciones matemáticas.

En matemáticas , la propiedad distributiva de las operaciones binarias es una generalización de la ley distributiva , que afirma que la igualdad

$${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$$

álgebra elementalaritmética elemental

$${\displaystyle 2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3).}$$

la multiplicación se distribuyela suma

Esta propiedad básica de los números forma parte de la definición de la mayoría de las estructuras algebraicas que tienen dos operaciones llamadas suma y multiplicación, como los números complejos , polinomios , matrices , anillos y campos . También se encuentra en álgebra booleana y lógica matemática , donde cada uno de los and lógicos (denotado ) y el or lógico (denotado ) se distribuye sobre el otro. ${\displaystyle \,\land \,}$ ${\displaystyle \,\lor \,}$

Definición

Dado un conjunto y dos operadores binarios y en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle S,}$

• la operación es distributiva por la izquierda sobre (o con respecto a) si, dados algunos elementos de ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z);}$$

• la operación es distributiva por derechos si, dados algunos elementos de ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x);}$$

• y la operación es distributiva si es distributiva por izquierda y por derecha. ^[1] ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$

Cuando es conmutativo , las tres condiciones anteriores son lógicamente equivalentes . ${\displaystyle \,*\,}$

Significado

Los operadores utilizados para los ejemplos en esta sección son los de la suma y multiplicación habituales. ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,\cdot .\,}$

Si la operación indicada no es conmutativa, existe una distinción entre distributividad por la izquierda y distributividad por la derecha: ${\displaystyle \cdot }$

$${\displaystyle a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (left-distributive) }}}$$

$${\displaystyle (a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (right-distributive) }}.}$$

En cualquier caso, la propiedad distributiva se puede describir en palabras como:

Para multiplicar una suma (o diferencia ) por un factor, cada sumando (o minuendo y sustraendo ) se multiplica por este factor y los productos resultantes se suman (o restan).

Si la operación fuera del paréntesis (en este caso, la multiplicación) es conmutativa, entonces la distributividad por la izquierda implica distributividad por la derecha y viceversa, y se habla simplemente de distributividad .

Un ejemplo de una operación que es "sólo" distributiva por la derecha es la división, que no es conmutativa:

$${\displaystyle (a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.}$$

$${\displaystyle a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c}$$

Las leyes distributivas se encuentran entre los axiomas para anillos (como el anillo de los números enteros ) y campos (como el campo de los números racionales ). Aquí la multiplicación es distributiva sobre la suma, pero la suma no es distributiva sobre la multiplicación. Ejemplos de estructuras con dos operaciones cada una distributiva sobre la otra son las álgebras booleanas como el álgebra de conjuntos o el álgebra de conmutación .

La multiplicación de sumas se puede expresar en palabras de la siguiente manera: cuando una suma se multiplica por una suma, se multiplica cada sumando de una suma con cada sumando de la otra suma (teniendo en cuenta los signos) y luego se suman todos los productos resultantes.

Ejemplos

Numeros reales

En los siguientes ejemplos se ilustra el uso de la ley distributiva en el conjunto de números reales. Cuando se menciona la multiplicación en matemáticas elementales, normalmente se hace referencia a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un cuerpo , lo que asegura la validez de la ley distributiva. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Primer ejemplo (multiplicación mental y escrita)

Durante la aritmética mental, la distributividad se utiliza a menudo de forma inconsciente:

$${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$$

Por lo tanto, para calcular mentalmente, primero se multiplican y se suman los resultados intermedios. La multiplicación escrita también se basa en la ley distributiva. ${\displaystyle 6\cdot 16}$ ${\displaystyle 6\cdot 10}$ ${\displaystyle 6\cdot 6}$

Segundo ejemplo (con variables)

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$$

Tercer ejemplo (con dos sumas)

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$

Aquí la ley distributiva se aplicó dos veces y no importa qué grupo se multiplica primero.

Cuarto ejemplo

Aquí la ley distributiva se aplica al revés en comparación con los ejemplos anteriores. Considerar

$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$$

Dado que el factor ocurre en todos los sumandos, se puede factorizar. Es decir, debido a la ley distributiva se obtiene ${\displaystyle 6a^{2}b}$

$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}$$

matrices

La ley distributiva es válida para la multiplicación de matrices . Más precisamente,

$${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$$

${\displaystyle l\times m}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$$

${\displaystyle l\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B,C.}$

Otros ejemplos

• La multiplicación de números ordinales , por el contrario, sólo es distributiva por la izquierda, no por la derecha.
• El producto cruzado es distributivo por izquierda y derecha sobre la suma de vectores , aunque no conmutativo.
• La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección y la intersección es distributiva sobre la unión.
• La disyunción lógica ("o") es distributiva sobre la conjunción lógica ("y"), y viceversa.
• Para números reales (y para cualquier conjunto totalmente ordenado ), la operación máxima es distributiva sobre la operación mínima , y ​​viceversa:
  $${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).}$$
• Para los números enteros , el máximo común divisor es distributivo sobre el mínimo común múltiplo , y viceversa:
  $${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).}$$
• Para números reales, la suma se distribuye entre la operación máxima y también sobre la operación mínima:
  $${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ and }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}$$
• Para la multiplicación binomial , la distribución a veces se denomina método FOIL ^[2] (primeros términos exterior interior y último ), como por ejemplo: ${\displaystyle ac,}$ ${\displaystyle ad,}$ ${\displaystyle bc,}$ ${\displaystyle bd}$ ${\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}$
• En todos los semirings , incluidos los números complejos , los cuaterniones , los polinomios y las matrices , la multiplicación se distribuye sobre la suma: ${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}$
• En todas las álgebras sobre un campo , incluidos los octoniones y otras álgebras no asociativas , la multiplicación se distribuye sobre la suma.

Lógica proposicional

Regla de reemplazo

En la lógica proposicional funcional de verdad estándar, la distribución ^{[3] [4]} en pruebas lógicas utiliza dos reglas válidas de reemplazo para expandir ocurrencias individuales de ciertos conectivos lógicos , dentro de alguna fórmula , en aplicaciones separadas de esos conectivos en subfórmulas de la fórmula dada. las reglas son

$${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ and }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$$

símbolo metalógicológicamente equivalente ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \,\equiv ,\,}$

Conectivos funcionales de verdad

La distributividad es una propiedad de algunos conectivos lógicos de la lógica proposicional funcional de verdad . Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de conectivos particulares. Las siguientes son tautologías funcionales de verdad .

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}}$$

Doble distribución

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}}$$

Distributividad y redondeo

En aritmética aproximada, como la aritmética de coma flotante , la propiedad distributiva de la multiplicación (y división) sobre la suma puede fallar debido a las limitaciones de la precisión aritmética . Por ejemplo, la identidad falla en aritmética decimal , independientemente del número de dígitos significativos . Métodos como el redondeo bancario pueden ayudar en algunos casos, al igual que aumentar la precisión utilizada, pero en última instancia, algunos errores de cálculo son inevitables. ${\displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3}$

En anillos y otras estructuras.

La distributividad se encuentra más comúnmente en semianillos , en particular en los casos particulares de anillos y redes distributivas .

Un semianillo tiene dos operaciones binarias, comúnmente denominadas y y requiere que se deben distribuir sobre ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,*,}$ ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+.}$

Un anillo es un semianillo con inversos aditivos.

Una red es otro tipo de estructura algebraica con dos operaciones binarias. Si cualquiera de estas operaciones se distribuye sobre la otra (por ejemplo, distribuye sobre ), entonces lo contrario también se cumple ( distribuye sobre ), y la red se llama distributiva. Véase también Distributividad (teoría del orden) . ${\displaystyle \,\land {\text{ and }}\lor .}$ ${\displaystyle \,\land \,}$ ${\displaystyle \,\lor }$ ${\displaystyle \,\lor \,}$ ${\displaystyle \,\land \,}$

Un álgebra booleana se puede interpretar como un tipo especial de anillo (un anillo booleano ) o como un tipo especial de red distributiva (una red booleana ). Cada interpretación es responsable de diferentes leyes distributivas en el álgebra de Boole.

Estructuras similares sin leyes distributivas son anillos cercanos y campos cercanos en lugar de anillos y anillos de división . Las operaciones generalmente se definen como distributivas por la derecha pero no por la izquierda.

Generalizaciones

En varias áreas matemáticas, se consideran leyes de distributividad generalizadas. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la extensión a operaciones infinitas. Especialmente en la teoría del orden se encuentran numerosas variantes importantes de la distributividad, algunas de las cuales incluyen operaciones infinitarias, como la ley distributiva infinita ; otros se definen en presencia de una sola operación binaria, como las definiciones correspondientes y sus relaciones se dan en el artículo distributividad (teoría del orden) . Esto también incluye la noción de red completamente distributiva .

En presencia de una relación de ordenamiento, también se pueden debilitar las igualdades anteriores reemplazándolas por o. Naturalmente, esto conducirá a conceptos significativos sólo en algunas situaciones. Una aplicación de este principio es la noción de subdistributividad como se explica en el artículo sobre aritmética de intervalos . ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\geq .}$

En la teoría de categorías , si y son mónadas en una categoría , una ley distributiva es una transformación natural tal que es un mapa laxo de mónadas y es un mapa colax de mónadas. Estos son exactamente los datos necesarios para definir una estructura de mónadas en : el mapa de multiplicación es y el mapa unitario es Ver: ley distributiva entre mónadas . ${\displaystyle (S,\mu ,\nu )}$ ${\displaystyle \left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle \lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle \left(S^{\prime },\lambda \right)}$ ${\displaystyle S\to S}$ ${\displaystyle (S,\lambda )}$ ${\displaystyle S^{\prime }\to S^{\prime }.}$ ${\displaystyle S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S}$ ${\displaystyle \eta ^{\prime }S.\eta .}$

También se ha propuesto una ley distributiva generalizada en el área de la teoría de la información .

Antidistributividad

La identidad ubicua que relaciona las inversas con la operación binaria en cualquier grupo , es decir, que se toma como axioma en el contexto más general de un semigrupo con involución , ha sido a veces llamada propiedad antidistributiva (de la inversión como operación unaria ). ^[5] ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}$

En el contexto de un anillo cercano , que elimina la conmutatividad del grupo escrito aditivamente y asume solo distributividad unilateral, se puede hablar de elementos distributivos (bilaterales) pero también de elementos antidistributivos . Estos últimos invierten el orden de la suma (no conmutativa); suponiendo un acercamiento a la izquierda (es decir, uno en el que todos los elementos se distribuyen cuando se multiplican por la izquierda), entonces un elemento antidistributivo invierte el orden de suma cuando se multiplica por la derecha: ^[6] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (x+y)a=ya+xa.}$

En el estudio de la lógica proposicional y el álgebra booleana , el término ley antidistributiva se utiliza a veces para denotar el intercambio entre conjunción y disyunción cuando la implicación factoriza sobre ellas: ^[7]

$${\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)}$$

$${\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}$$

Estas dos tautologías son consecuencia directa de la dualidad en las leyes de De Morgan .

Notas

1. Distributividad de operaciones binarias de Mathonline
2. Kim Steward (2011) Multiplicación de polinomios del laboratorio virtual de matemáticas de la Universidad West Texas A&M
3. Elliott Mendelson (1964) Introducción a la lógica matemática , página 21, D. Van Nostrand Company
4. Alfred Tarski (1941) Introducción a la lógica , página 52, Oxford University Press
5. Chris Brink; Wolfram Kahl; Günther Schmidt (1997). Métodos relacionales en informática . Saltador. pag. 4.ISBN​ 978-3-211-82971-4.
6. Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: algunos desarrollos vinculados a semigrupos y grupos . Editores académicos de Kluwer. págs.62 y 67. ISBN 978-1-4613-0267-4.
7. Eric CR Hehner (1993). Una teoría práctica de la programación . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 230.ISBN​ 978-1-4419-8596-5.

enlaces externos

• Una demostración de la Ley Distributiva para la aritmética de enteros (de cut-the-knot )