En geometría , se dice que dos diámetros de una sección cónica son conjugados si cada cuerda paralela a un diámetro es bisecada por el otro diámetro. Por ejemplo, dos diámetros de un círculo son conjugados si y sólo si son perpendiculares .
Para una elipse , dos diámetros son conjugados si y sólo si la línea tangente a la elipse en un punto final de un diámetro es paralela al otro diámetro. Cada par de diámetros conjugados de una elipse tiene un paralelogramo tangente correspondiente , a veces llamado paralelogramo delimitador (sesgado en comparación con un rectángulo delimitador ). En su manuscrito De motu corporum in gyrum y en los ' Principia ', Isaac Newton cita como lema demostrado por autores anteriores que todos los paralelogramos (limitantes) de una elipse dada tienen la misma área .
Es posible reconstruir una elipse a partir de cualquier par de diámetros conjugados o de cualquier paralelogramo delimitador. Por ejemplo, en la proposición 14 del Libro VIII de su Colección , Pappus de Alejandría da un método para construir los ejes de una elipse a partir de un par dado de diámetros conjugados. Otro método es utilizar la construcción de Rytz , que aprovecha el teorema de Tales para encontrar las direcciones y longitudes de los ejes mayor y menor de una elipse independientemente de su rotación o corte .
De manera similar al caso elíptico, los diámetros de una hipérbola se conjugan cuando cada uno biseca todas las cuerdas paralelas al otro. [1] En este caso, tanto la hipérbola como su conjugado son fuentes de las cuerdas y los diámetros.
En el caso de una hipérbola rectangular, su conjugado es la reflexión a través de una asíntota . El diámetro de una hipérbola se conjuga con su reflejo en la asíntota, que es el diámetro de la otra hipérbola. Así como la perpendicularidad es la relación de los diámetros conjugados de un círculo, la ortogonalidad hiperbólica es la relación de los diámetros conjugados de las hipérbolas rectangulares.
La colocación de tirantes que refuerzan un conjunto cuadrado de vigas se guía por la relación de diámetros conjugados en un libro sobre geometría analítica . [2]
Los diámetros conjugados de las hipérbolas también son útiles para establecer el principio de relatividad en la física moderna del espacio-tiempo . El concepto de relatividad se introduce por primera vez en un plano que consta de una única dimensión en el espacio , siendo la segunda dimensión el tiempo . En tal plano, una hipérbola corresponde a eventos a un intervalo constante de tipo espacial desde el evento de origen, la otra hipérbola corresponde a eventos a un intervalo constante de tiempo desde él. El principio de la relatividad se puede formular: "Cualquier par de diámetros conjugados de hipérbolas conjugadas puede tomarse como ejes del espacio y del tiempo". Esta interpretación de la relatividad fue enunciada por ET Whittaker en 1910. [3]
Cada línea en geometría proyectiva contiene un punto en el infinito , también llamado punto figurado . La elipse, la parábola y la hipérbola se consideran cónicas en geometría proyectiva, y cada cónica determina una relación de polo y polar entre puntos y líneas. Utilizando estos conceptos, "dos diámetros son conjugados cuando cada uno es el polar del punto figurado del otro". [4]
Sólo uno de los diámetros conjugados de una hipérbola corta la curva.
La noción de separación de pares de puntos distingue una elipse de una hipérbola: en la elipse, cada par de diámetros conjugados separa a todos los demás pares. En una hipérbola, un par de diámetros conjugados nunca separa a otro par.