En geometría , un deltaedro ( deltaedro plural ) es un poliedro cuyas caras son todas triángulos equiláteros ( congruentes ) . El nombre proviene de la letra griega mayúscula delta (Δ), que tiene la forma de un triángulo equilátero. Hay infinitos deltaedros. Según el lema del apretón de manos , cada deltaedro tiene un número par de caras. Sólo ocho deltaedros son estrictamente convexos ; estos tienen 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 o 20 caras. [1] Los ocho deltaedros convexos, con sus respectivos números de caras, aristas y vértices , se enumeran a continuación.
Hay ocho deltaedros estrictamente convexos: tres son poliedros regulares y sólidos platónicos , los ocho son sólidos de Johnson .
En el deltaedro de 6 caras, algunos vértices tienen grado 3 y algunos grado 4. En los deltaedros de 10, 12, 14 y 16 caras, algunos vértices tienen grado 4 y algunos grado 5. Estos cinco deltaedros irregulares pertenecen a la clase de sólidos de Johnson : poliedros convexos con polígonos regulares por caras.
Los deltaedros conservan su forma incluso si las aristas pueden girar libremente alrededor de sus vértices, de modo que los ángulos entre las aristas sean fluidos. No todos los poliedros tienen esta propiedad: por ejemplo, si algunos de los ángulos de un cubo se relajan, el cubo puede deformarse en un prisma cuadrado no recto .
No existe un deltaedro convexo de 18 caras. [2] Sin embargo, el icosaedro de aristas contraídas da un ejemplo de un octadecaedro que puede hacerse convexo con 18 caras triangulares irregulares o con triángulos equiláteros que incluyen dos conjuntos coplanares de tres triángulos.
Hay infinitos casos con triángulos coplanares, lo que permite secciones de infinitos mosaicos triangulares . Si los conjuntos de triángulos coplanares se consideran una sola cara, se puede contar un conjunto más pequeño de caras, aristas y vértices. Las caras triangulares coplanares se pueden fusionar en caras poligonales rómbicas, trapezoidales, hexagonales u otras caras equiláteras. Cada cara debe ser un polidiamante convexo como
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y
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Algunos ejemplos más pequeños incluyen:
Hay una infinidad de formas no convexas.
Algunos ejemplos de deltaedros que se cruzan con caras:
Se pueden generar otros deltaedros no convexos agregando pirámides equiláteras a las caras de los 5 sólidos platónicos:
Otros aumentos del tetraedro incluyen:
También añadiendo pirámides invertidas a las caras: