Punto crítico (matemáticas)

Punto donde la derivada de una función es cero

Las coordenadas x de los círculos rojos son puntos estacionarios ; los cuadrados azules son puntos de inflexión .

En matemáticas , un punto crítico es el argumento de una función donde la derivada de la función es cero (o indefinida, como se especifica a continuación). El valor de la función en un punto crítico esvalor crítico .^[1]

Más específicamente, cuando se trata de funciones de una variable real , un punto crítico, también conocido como punto estacionario , es un punto en el dominio de la función donde la derivada de la función es igual a cero (o donde la función no es diferenciable ). ^[2] De manera similar, cuando se trata de variables complejas , un punto crítico es un punto en el dominio de la función donde su derivada es igual a cero (o la función no es no holomorfa ). ^{[3] [4]} Asimismo, para una función de varias variables reales , un punto crítico es un valor en su dominio donde la norma del gradiente es igual a cero (o indefinida). ^[5]

Este tipo de definición se extiende a las aplicaciones diferenciables entre ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ siendo un punto crítico , en este caso, un punto donde el rango de la matriz jacobiana no es máximo. Se extiende además a las aplicaciones diferenciables entre variedades diferenciables , como los puntos donde el rango de la matriz jacobiana decrece. En este caso, los puntos críticos también se denominan puntos de bifurcación . En particular, si C es una curva plana , definida por una ecuación implícita f ( x , y ) = 0 , los puntos críticos de la proyección sobre el eje x , paralelo al eje y son los puntos donde la tangente a C es paralela al eje y , es decir, los puntos donde . En otras palabras, los puntos críticos son aquellos donde el teorema de la función implícita no se aplica. ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$

Punto crítico de una función de una sola variable

Un punto crítico de una función de una sola variable real , f ( x ) , es un valor x ₀ en el dominio de f donde f no es diferenciable o su derivada es 0 (es decir, ). ^[2] Un valor crítico es la imagen bajo f de un punto crítico. Estos conceptos se pueden visualizar a través del gráfico de f : en un punto crítico, el gráfico tiene una tangente horizontal si es que se puede asignar una. ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$

Observe cómo, para una función diferenciable , el punto crítico es el mismo que el punto estacionario .

Aunque se visualiza fácilmente en el gráfico (que es una curva), la noción de punto crítico de una función no debe confundirse con la noción de punto crítico, en alguna dirección, de una curva (ver más abajo para una definición detallada). Si g ( x , y ) es una función diferenciable de dos variables, entonces g ( x , y ) = 0 es la ecuación implícita de una curva. Un punto crítico de tal curva, para la proyección paralela al eje y (la función ( x , y ) → x ), es un punto de la curva donde Esto significa que la tangente de la curva es paralela al eje y , y que, en este punto, g no define una función implícita de x a y (ver teorema de la función implícita ). Si ( x ₀ , y ₀ ) es tal punto crítico, entonces x ₀ es el valor crítico correspondiente . Un punto crítico de este tipo también se denomina punto de bifurcación , ya que, generalmente, cuando x varía, hay dos ramas de la curva en un lado de x ₀ y cero en el otro lado. ${\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.}$

De estas definiciones se desprende que una función diferenciable f ( x ) tiene un punto crítico x ₀ con valor crítico y ₀ , si y solo si ( x ₀ , y ₀ ) es un punto crítico de su gráfica para la proyección paralela al eje x , con el mismo valor crítico y ₀ . Si f no es diferenciable en x ₀ debido a que la tangente se vuelve paralela al eje y , entonces x ₀ es nuevamente un punto crítico de f , pero ahora ( x ₀ , y ₀ ) es un punto crítico de su gráfica para la proyección paralela al eje y .

Por ejemplo, los puntos críticos del círculo unitario de la ecuación son (0, 1) y (0, -1) para la proyección paralela al eje x , y (1, 0) y (-1, 0) para la dirección paralela al eje y . Si se considera el semicírculo superior como el gráfico de la función , entonces x = 0 es un punto crítico con valor crítico 1 debido a que la derivada es igual a 0, y x = ±1 son puntos críticos con valor crítico 0 debido a que la derivada no está definida. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Ejemplos

• La función es diferenciable en todas partes, con la derivada Esta función tiene un único punto crítico −1, porque es el único número x ₀ para el cual Este punto es un mínimo global de f . El valor crítico correspondiente es La gráfica de f es una parábola cóncava hacia arriba , el punto crítico es la abscisa del vértice, donde la línea tangente es horizontal, y el valor crítico es la ordenada del vértice y puede representarse por la intersección de esta línea tangente y el eje y . ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ ${\displaystyle f'(x)=2x+2.}$ ${\displaystyle 2x+2=0.}$ ${\displaystyle f(-1)=2.}$
• La función está definida para todo x y es diferenciable para x ≠ 0 , con la derivada . Como f no es diferenciable en x = 0 y en los demás casos, es el único punto crítico. La gráfica de la función f tiene una cúspide en este punto con tangente vertical. El valor crítico correspondiente es ${\displaystyle f(x)=x^{2/3}}$ ${\displaystyle f'(x)={\tfrac {2x^{-1/3}}{3}}}$ ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$
• La función de valor absoluto es diferenciable en todas partes excepto en el punto crítico x = 0 , donde tiene un punto mínimo global, con valor crítico 0. ${\displaystyle f(x)=|x|}$
• La función no tiene puntos críticos. El punto x = 0 no es un punto crítico porque no está incluido en el dominio de la función. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$

Ubicación de puntos críticos

Según el teorema de Gauss-Lucas , todos los puntos críticos de una función polinómica en el plano complejo están dentro de la envoltura convexa de las raíces de la función. Por lo tanto, para una función polinómica con solo raíces reales, todos los puntos críticos son reales y están entre las raíces mayor y menor.

La conjetura de Sendov afirma que, si todas las raíces de una función se encuentran en el disco unitario del plano complejo, entonces hay al menos un punto crítico dentro de la distancia unitaria de cualquier raíz dada.

Puntos críticos de una curva implícita

Los puntos críticos desempeñan un papel importante en el estudio de curvas planas definidas por ecuaciones implícitas , en particular para trazarlas y determinar su topología . La noción de punto crítico que se utiliza en esta sección puede parecer diferente a la de la sección anterior. De hecho, es la especialización de un caso simple de la noción general de punto crítico que se presenta a continuación.

Así, consideramos una curva C definida por una ecuación implícita , donde f es una función diferenciable de dos variables, comúnmente un polinomio bivariado . Los puntos de la curva son los puntos del plano euclidiano cuyas coordenadas cartesianas satisfacen la ecuación. Hay dos proyecciones estándar y , definidas por y que proyectan la curva sobre los ejes de coordenadas . Se denominan proyección paralela al eje y y proyección paralela al eje x , respectivamente. ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$ ${\displaystyle \pi _{x}}$ ${\displaystyle \pi _{y}((x,y))=x}$ ${\displaystyle \pi _{x}((x,y))=y,}$

Un punto de C es crítico para , si la tangente a C existe y es paralela al eje y . En ese caso, las imágenes de del punto crítico y de la tangente son el mismo punto del eje x , llamado valor crítico . Por lo tanto, un punto de C es crítico para si sus coordenadas son una solución del sistema de ecuaciones : ${\displaystyle \pi _{y}}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$

Esto implica que esta definición es un caso especial de la definición general de un punto crítico, que se da a continuación.

La definición de un punto crítico para es similar. Si C es el gráfico de una función , entonces ( x , y ) es crítico para si y solo si x es un punto crítico de g , y los valores críticos son los mismos. ${\displaystyle \pi _{x}}$ ${\displaystyle y=g(x)}$ ${\displaystyle \pi _{x}}$

Algunos autores definen los puntos críticos de C como los puntos que son críticos para o , aunque no sólo dependen de C , sino también de la elección de los ejes de coordenadas. Depende también de los autores si los puntos singulares se consideran como puntos críticos. De hecho, los puntos singulares son los puntos que satisfacen ${\displaystyle \pi _{x}}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$,

y son, por lo tanto, soluciones de cualquiera de los sistemas de ecuaciones que caracterizan los puntos críticos. Con esta definición más general, los puntos críticos para son exactamente los puntos donde no se aplica el teorema de la función implícita . ${\displaystyle \pi _{y}}$

Uso del discriminante

Cuando la curva C es algebraica, es decir cuando está definida por un polinomio bivariado f , entonces el discriminante es una herramienta útil para calcular los puntos críticos.

Aquí consideramos sólo la proyección ; se aplican resultados similares al intercambiar x e y . ${\displaystyle \pi _{y}}$ ${\displaystyle \pi _{x}}$

Sea el discriminante de f considerado como un polinomio en y con coeficientes que son polinomios en x . Este discriminante es, por tanto, un polinomio en x que tiene los valores críticos de entre sus raíces. ${\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(f)}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$

Más precisamente, una raíz simple de es un valor crítico de tal manera que el punto crítico correspondiente es un punto que no es singular ni un punto de inflexión, o la coordenada x de una asíntota que es paralela al eje y y es tangente "en el infinito" a un punto de inflexión (asíntota de inflexión). ${\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(f)}$ ${\displaystyle \pi _{y}}$

Una raíz múltiple del discriminante corresponde a varios puntos críticos o asíntotas de inflexión que comparten el mismo valor crítico, o a un punto crítico que es también un punto de inflexión, o a un punto singular.

Varias variables

Para una función de varias variables reales , un punto P (es decir, un conjunto de valores para las variables de entrada, que se considera un punto en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ) es crítico si es un punto donde el gradiente es cero o indefinido. ^[5] Los valores críticos son los valores de la función en los puntos críticos.

Un punto crítico (donde la función es diferenciable) puede ser un máximo local , un mínimo local o un punto de silla . Si la función es al menos dos veces continuamente diferenciable, los diferentes casos pueden distinguirse considerando los valores propios de la matriz hessiana de derivadas segundas.

Un punto crítico en el que la matriz hessiana es no singular se dice que es no degenerada , y los signos de los valores propios de la hessiana determinan el comportamiento local de la función. En el caso de una función de una sola variable, la hessiana es simplemente la segunda derivada , vista como una matriz 1×1, que es no singular si y solo si no es cero. En este caso, un punto crítico no degenerado es un máximo local o un mínimo local, dependiendo del signo de la segunda derivada, que es positiva para un mínimo local y negativa para un máximo local. Si la segunda derivada es nula, el punto crítico es generalmente un punto de inflexión , pero también puede ser un punto de ondulación , que puede ser un mínimo local o un máximo local.

Para una función de n variables, el número de valores propios negativos de la matriz hessiana en un punto crítico se denomina índice del punto crítico. Un punto crítico no degenerado es un máximo local si y solo si el índice es n o, equivalentemente, si la matriz hessiana es definida negativa ; es un mínimo local si el índice es cero o, equivalentemente, si la matriz hessiana es definida positiva . Para los demás valores del índice, un punto crítico no degenerado es un punto de silla , es decir, un punto que es un máximo en algunas direcciones y un mínimo en otras.

Aplicación a la optimización

Según el teorema de Fermat , todos los máximos y mínimos locales de una función continua se dan en puntos críticos. Por lo tanto, para encontrar los máximos y mínimos locales de una función diferenciable, teóricamente basta con calcular los ceros del gradiente y los valores propios de la matriz hessiana en estos ceros. Esto requiere la solución de un sistema de ecuaciones , lo que puede ser una tarea difícil. Los algoritmos numéricos habituales son mucho más eficientes para encontrar extremos locales, pero no pueden certificar que se hayan encontrado todos los extremos. En particular, en la optimización global , estos métodos no pueden certificar que el resultado sea realmente el óptimo global.

Cuando la función a minimizar es un polinomio multivariado , los puntos críticos y los valores críticos son soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas , y los algoritmos modernos para resolver dichos sistemas proporcionan métodos certificados competitivos para encontrar el mínimo global.

Punto crítico de un mapa diferenciable

Dado un mapa diferenciable ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},}$ los puntos críticos de f son los puntos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$ donde el rango de la matriz jacobiana de f no es máximo. ^[6] La imagen de un punto crítico bajo f se llama un valor crítico. Un punto en el complemento del conjunto de valores críticos se llama un valor regular . El teorema de Sard establece que el conjunto de valores críticos de un mapa suave tiene medida cero .

Algunos autores ^[7] dan una definición ligeramente diferente: un punto crítico de f es un punto de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ donde el rango de la matriz jacobiana de f es menor que n . Con esta convención, todos los puntos son críticos cuando m < n .

Estas definiciones se extienden a aplicaciones diferenciales entre variedades diferenciables de la siguiente manera. Sea una aplicación diferencial entre dos variedades V y W de dimensiones respectivas m y n . En la vecindad de un punto p de V y de f ( p ) , las gráficas son difeomorfismos y El punto p es crítico para f si es crítico para Esta definición no depende de la elección de las gráficas porque las aplicaciones de transición al ser difeomorfismos, sus matrices jacobianas son invertibles y multiplicar por ellas no modifica el rango de la matriz jacobiana de Si M es una variedad de Hilbert (no necesariamente de dimensión finita) y f es una función de valores reales, entonces decimos que p es un punto crítico de f si f no es una inmersión en p . ^[8] ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle \varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$ ${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$

Aplicación a la topología

Los puntos críticos son fundamentales para estudiar la topología de variedades y variedades algebraicas reales . ^[1] En particular, son la herramienta básica para la teoría de Morse y la teoría de catástrofes .

El vínculo entre los puntos críticos y la topología aparece ya en un nivel inferior de abstracción. Por ejemplo, sea una subvariedad de y P un punto fuera de El cuadrado de la distancia a P de un punto de es una función diferencial tal que cada componente conexo de contiene al menos un punto crítico, donde la distancia es mínima. De ello se deduce que el número de componentes conexos de está acotado por encima del número de puntos críticos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

En el caso de variedades algebraicas reales, esta observación asociada al teorema de Bézout permite acotar el número de componentes conexos en función de los grados de los polinomios que definen la variedad.

Véase también

• Punto singular de una curva
• Teoría de la singularidad

Referencias

1. Milnor, John (1963). Teoría de Morse . Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.
2. Problemas en el análisis matemático . Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscú (IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612.OCLC 799468131  .{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
3. Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 9780495011668.OCLC 144526840  .
4. Larson, Ron (2010). Cálculo . Edwards, Bruce H., 1946- (novena edición). Belmont, California: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 9780547167022.OCLC 319729593  .
5. Adams, Robert A.; Essex, Christopher (2009). Cálculo: un curso completo . Pearson Prentice Hall . pág. 744. ISBN 978-0-321-54928-0.
6. Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Geometría diferencial de curvas y superficies . Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.
7. Lafontaine, Jacques (2015). Introducción a las variedades diferenciales . Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN . 978-3-319-20734-6.
8. Serge Lang , Fundamentos de geometría diferencial, pág. 186, doi :10.1007/978-1-4612-0541-8