En matemáticas , el teorema del isomorfismo del residuo de norma es un resultado largamente buscado que relaciona la teoría K de Milnor y la cohomología de Galois . El resultado tiene una formulación relativamente elemental y al mismo tiempo representa la coyuntura clave en las demostraciones de muchos teoremas aparentemente no relacionados del álgebra abstracta, la teoría de formas cuadráticas , la teoría K algebraica y la teoría de motivos . El teorema afirma que cierta afirmación es válida para cualquier número primo y natural . John Milnor [1] especuló que este teorema podría ser cierto para todos y cada uno , y esta pregunta se conoció como la conjetura de Milnor . El caso general fue conjeturado por Spencer Bloch y Kazuya Kato [2] y se conoció como conjetura de Bloch-Kato o conjetura motívica de Bloch-Kato para distinguirla de la conjetura de Bloch-Kato sobre valores de funciones L. [3] Vladimir Voevodsky demostró el teorema del isomorfismo del residuo de norma utilizando una serie de resultados altamente innovadores de Markus Rost .
Para cualquier número entero ℓ invertible en un campo hay un mapa donde denota el módulo de Galois de ℓ-ésimas raíces de la unidad en algún cierre separable de k . Induce un isomorfismo . El primer indicio de que esto está relacionado con la teoría K es que es el grupo K 1 ( k ). Tomando los productos tensoriales y aplicando la multiplicatividad de la cohomología étale se obtiene una extensión del mapa a mapas:
Estos mapas tienen la propiedad de que, para cada elemento a en , desaparece. Ésta es la relación que define la teoría de Milnor K. Específicamente, la teoría de Milnor K se define como las partes graduadas del anillo:
donde es el álgebra tensorial del grupo multiplicativo y el cociente es el ideal bilateral generado por todos los elementos de la forma . Por lo tanto, el mapa factoriza a través de un mapa:
Este mapa se llama símbolo de Galois o mapa de residuos de normas . [4] [5] [6] Debido a que la cohomología étale con coeficientes mod-ℓ es un grupo de torsión ℓ, este mapa también factoriza a través de .
El teorema del isomorfismo del residuo de norma (o conjetura de Bloch-Kato) establece que para un campo k y un número entero ℓ que es invertible en k , el mapa de residuos de norma
desde la teoría K de Milnor mod-ℓ hasta la cohomología étale es un isomorfismo. El caso ℓ = 2 es la conjetura de Milnor y el caso n = 2 es el teorema de Merkurjev-Suslin. [6] [7]
La cohomología étale de un campo es idéntica a la cohomología de Galois , por lo que la conjetura equipara la ℓésima cotorsión (el cociente por el subgrupo de ℓ-elementos divisibles) del grupo Milnor K de un campo k con la cohomología de Galois de k con coeficientes en el módulo de Galois de ℓésimas raíces de la unidad. El objetivo de la conjetura es que hay propiedades que se ven fácilmente para los grupos K de Milnor pero no para la cohomología de Galois, y viceversa; El teorema del isomorfismo del residuo de norma permite aplicar técnicas aplicables al objeto de un lado del isomorfismo al objeto del otro lado del isomorfismo.
El caso en el que n es 0 es trivial, y el caso en el que n = 1 se sigue fácilmente del teorema de Hilbert 90 . El caso n = 2 y ℓ = 2 fue demostrado por (Merkurjev 1981) . Un avance importante fue el caso n = 2 y ℓ arbitrario. Este caso fue demostrado por (Merkurjev y Suslin 1982) y se conoce como teorema de Merkurjev-Suslin . Posteriormente, Merkurjev y Suslin, e independientemente, Rost, demostraron el caso n = 3 y ℓ = 2 (Merkurjev & Suslin 1991) (Rost 1986) .
El nombre "residuo de norma" originalmente se refería al símbolo de Hilbert , que toma valores en el grupo de Brauer de k (cuando el campo contiene todas las raíces unitarias ℓ-ésimas). Su uso aquí es en analogía con la teoría de campos de clases local estándar y se espera que sea parte de una teoría de campos de clases "superior" (aún no desarrollada).
El teorema del isomorfismo del residuo de norma implica la conjetura de Quillen-Lichtenbaum . Es equivalente a un teorema cuyo enunciado alguna vez se denominó conjetura de Beilinson-Lichtenbaum.
La conjetura de Milnor fue demostrada por Vladimir Voevodsky . [8] [9] [10] [11] Posteriormente, Voevodsky demostró la conjetura general de Bloch-Kato. [12] [13]
El punto de partida de la demostración es una serie de conjeturas debidas a Lichtenbaum (1983) y Beilinson (1987) . Conjeturaron la existencia de complejos motívicos , complejos de haces cuya cohomología estaba relacionada con la cohomología motívica . Entre las propiedades conjeturales de estos complejos había tres propiedades: una que conectaba su cohomología de Zariski con la teoría K de Milnor, otra que conectaba su cohomología etale con cohomología con coeficientes en los haces de raíces de la unidad y otra que conectaba su cohomología de Zariski con su cohomología etale. Estas tres propiedades implicaban, como caso muy especial, que el mapa de residuos de normas debería ser un isomorfismo. La característica esencial de la prueba es que utiliza la inducción sobre el "peso" (que es igual a la dimensión del grupo de cohomología en la conjetura) donde el paso inductivo requiere conocer no sólo el enunciado de la conjetura de Bloch-Kato sino la mucho más general. afirmación que contiene gran parte de las conjeturas de Beilinson-Lichtenbaum. A menudo ocurre en las pruebas por inducción que el enunciado que se está demostrando debe reforzarse para poder probar el paso inductivo. En este caso, el fortalecimiento que se necesitaba requería el desarrollo de una gran cantidad de nuevas matemáticas.
La prueba más antigua de la conjetura de Milnor está contenida en una preimpresión de 1995 de Voevodsky [8] y está inspirada en la idea de que debería haber análogos algebraicos de la teoría K de Morava (estas teorías K algebraicas de Morava fueron construidas más tarde por Simone Borghesi [14] ). En una preimpresión de 1996, Voevodsky pudo eliminar la teoría de Morava K del panorama introduciendo en su lugar cobordismos algebraicos y utilizando algunas de sus propiedades que no fueron probadas en ese momento (estas propiedades se demostraron más tarde). Ahora se sabe que las construcciones de las preimpresiones de 1995 y 1996 son correctas, pero la primera prueba completa de la conjetura de Milnor utilizó un esquema algo diferente.
También es el esquema que sigue la prueba de la conjetura completa de Bloch-Kato. Fue ideado por Voevodsky unos meses después de que apareciera la preimpresión de 1996. La implementación de este esquema requirió realizar avances sustanciales en el campo de la teoría de la homotopía motívica , así como encontrar una manera de construir variedades algebraicas con una lista específica de propiedades. De la teoría de la homotopía motívica la prueba requería lo siguiente:
Las dos primeras construcciones fueron desarrolladas por Voevodsky en 2003. Combinadas con los resultados que se conocían desde finales de la década de 1980, fueron suficientes para refutar la conjetura de Milnor .
También en 2003, Voevodsky publicó en la web una preimpresión que casi contenía una demostración del teorema general. Siguió el esquema original pero le faltaron las pruebas de tres afirmaciones. Dos de estas afirmaciones estaban relacionadas con las propiedades de las operaciones motívicas de Steenrod y requerían el tercer hecho anterior, mientras que la tercera requería hechos entonces desconocidos sobre las "variedades de normas". Las propiedades que debían tener estas variedades fueron formuladas por Voevodsky en 1997, y las variedades mismas fueron construidas por Markus Rost en 1998-2003. Andrei Suslin y Seva Joukhovitski completaron la prueba de que tienen las propiedades requeridas en 2006.
El tercer hecho anterior requirió el desarrollo de nuevas técnicas en la teoría de la homotopía motívica. El objetivo era demostrar que un functor, que no se suponía que conmutara con límites o colimites, conservaba equivalencias débiles entre objetos de una determinada forma. Una de las principales dificultades fue que el enfoque estándar para el estudio de equivalencias débiles se basa en sistemas de factorización de Bousfield-Quillen y estructuras de categorías modelo , y estos eran inadecuados. Hubo que desarrollar otros métodos, y Voevodsky completó este trabajo recién en 2008. [ cita necesaria ]
En el curso del desarrollo de estas técnicas, quedó claro que la primera afirmación utilizada sin pruebas en la preimpresión de Voevodsky de 2003 es falsa. La prueba tuvo que modificarse ligeramente para adaptarse a la forma corregida de esa afirmación. Mientras Voevodsky continuaba trabajando en los detalles finales de las demostraciones de los teoremas principales sobre los espacios motívicos de Eilenberg-MacLane , Charles Weibel inventó un método para corregir el lugar en la demostración que tenía que modificarse. Weibel también publicó en 2009 un artículo que contenía un resumen de las construcciones de Voevodsky combinado con la corrección que descubrió. [15]
Sea X una variedad suave sobre un campo que contiene . Beilinson y Lichtenbaum conjeturaron que el grupo de cohomología motívico es isomorfo al grupo de cohomología étale cuando p ≤ q . Esta conjetura ahora ha sido probada y es equivalente al teorema del isomorfismo del residuo de norma.
